三角形解答题.doc

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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………

绝密★启用前
2014-2015学年度???学校9月月考卷
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
题号
一
二
三
四
五
总分
得分

注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明

评卷人
得分

一、选择题（题型注释）

第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明

评卷人
得分

二、填空题（题型注释）

评卷人
得分

三、计算题（题型注释）

评卷人
得分

四、解答题（题型注释）
1．画图并填空：
（1）画出图中△ABC的高AD（标注出点D的位置）；
（2）画出把△ABC沿射线AD方向平移3cm后得到的△A1B1C1；
（3）根据“图形平移”的性质，得BB1= cm，AC与A1C1的位置关系是：

【答案】(1)画图见解析；(2)画图见解析；（3）3，互相平行.
【解析】
试题分析：（1）根据三角形的高线的定义作出即可；
（2）先确定出点A1的位置，过点B作BB1∥AA1，使BB1=AA1，确定出点B1的位置，过点C作CC1∥AA1，使CC1=AA1，确定出点C1的位置，然后顺次连接即可；
（3）根据平移的性质，对应点的连线互相平行且相等解答．
试题解析：（1）高AD如图所示；
（2）△A1B1C1如图所示；
（3）BB1=3cm，AC与A1C1的位置关系是互相平行．

考点：作图-平移变换．
2．如图，已知DE是AC的垂直平分线，AB=10cm，BC=11cm，求△ABD的周长．

【答案】21cm.
【解析】
试题分析：先根据线段垂直平分线的性质得出AD=CD，故可得出BD+AD=BD+CD=BC，进而可得出结论．
试题解析：∵DE垂直平分，
∴AD=CD，
∴BD+AD=BD+CD=BC=11cm，
又∵AB=10cm，
∴△ABD的周长=AB+BC=10+11=21（cm）．
考点：线段垂直平分线的性质．
3．如图，已知AB∥CD，若∠A=20°，∠E=35°，求∠C．

【答案】55°．
【解析】
试题分析：根据三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和以及平行线的性质进行求解．
试题解析：∵∠A=20°，∠E=35°，
∴∠EFB=∠A+∠E=55°，
∵AB∥CD，
∴∠C=∠EFB=55°．
考点：1.三角形的外角性质；2.平行线的性质．
4．如图，点D、E分别在AB、AC上，且AD＝AE，∠BDC＝∠CEB，则BD＝CE吗？请说明理由。

【答案】BD=CE
【解析】
试题分析：首先证明△ADC≌△AEB，推出AB-AD=AC-AE，可得BD=CE
试题解析：
证明：∵∠ADC+∠BDC=180°，∠BEC+∠AEB=180°，
又∵∠BDC=∠CEB，
∴∠ADC=∠AEB．
在△ADC和△AEB中，
∠A＝∠A(公共角) AD＝AE(已知) ∠ADC＝∠AEB(已证) ，
∴△ADC≌△AEB（ASA）．
∴AB=AC．
∴AB-AD=AC-AE．
即BD=CE
考点：全等三角形的判定与性质
5．三角形三条边长分别为1、2、，求其三条中线长．
【答案】其三条中线长为．
【解析】
试题分析：先根据勾股定理的逆定理判定△ABC为直角三角形，再利用勾股定理求出中线AD与BE的长，利用直角三角形的性质求得斜边上的中线CF的长．
试题解析：如图，△ABC中，AC=1，BC=，AB=2，

∵12+（）2=22，
∴△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，
∴斜边长AB为2，
∵直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，
∴CF=AB=1．
在Rt△ACD中，∵∠ACD=90°，
∴AD=．
Rt△BCE中，∵∠BCE=90°，
∴BE=．
考点：1.勾股定理的逆定理2.直角三角形的性质．
6．如图，∠A=∠C=54°，点B在AC上，且AB=EC，AD=BC，BF⊥DE于点F．
（1）证明：BD=BE；
（2）求∠DBF的度数．

【答案】（1）证明见解析；（2）27°
【解析】
试题分析：（1）根据条件易证△ADB≌△CBE，可证BD=BE；
（2）由（1）可求出∠DBE的度数，再根据等腰三角形的性质即可求出∠DBF的度数．
试题解析：（1）证明：在△ADB和△CBE中

∴△ADB≌△CBE
∴BD=EB
（2） ∵△ADB≌△CBE
∴∠ADB=∠CBE
在△ABD中，∠A+∠ADB+∠ABD=180°
又∵∠DBE+∠EBC+∠ABD=180°
∴∠DBE=∠A=54°
∵BD=EB 且BF⊥DE
∴∠DBF=∠EBF=∠DBE=27°
考点：1.全等三角形的判定；2.等腰三角形的性质.
7．已知：如图，C为BE上一点，点A，D分别在BE两侧，AB∥ED，AB=CE，BC=ED．求证：AC=CD．

【答案】证明见解析.
【解析】
试题分析：根据AB∥ED推出∠B=∠E，再利用SAS判定△ABC≌△CED从而得出AC=CD．
试题解析：证明：∵AB∥ED，
∴∠B=∠E．
在△ABC和△CED中，
，
∴△ABC≌△CED．
∴AC=CD．
考点：全等三角形的判定与性质．
8．在△ABC中，求作BC上一点D，使其到AB、AC的距离相等．

【答案】作图见解析.
【解析】
试题分析：本题作图的理论依据是角平分线上的点到两边的距离都相等．（本题中的角平分线上的点指的是∠BAC的平分线与BC的交点）
试题解析：如图所示：作∠BAC的平分线AD交BC于点D，则点D即为所求．

考点：作图—基本作图；角平分线的性质．
9．如图，C是线段AB的中点，CD∥BE，且CD=BE，求证：AD=CE．

【答案】详见解析
【解析】
试题分析：根据中点定义求出AC=CB，两直线平行，同位角相等，求出∠ACD=∠B，然后证明△ACD和△CBE全等，再利用全等三角形的对应边相等进行解答．
试题解析：∵C是AB的中点（已知），
∴AC=CB（线段中点的定义），
∵CD∥BE（已知），∴∠ACD=∠B（两直线平行，同位角相等）
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（SAS）．
∴AD=CE．
考点：全等三角形的判定与性质
10．已知：如图，点E，F是□ABCD中AB，DC边上的点，且AE=CF，联结DE，BF．
求证：DE =BF．

【答案】详见解析
【解析】
试题分析：根据平行四边形的性质证得AB=CD面积可得到DF=BE，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证得四边形DEBF是平行四边形，然后根据平行四边形的性质即可证得．
试题解析：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD．
∵AE=CF，
∴AB﹣AE=CD﹣CF，即EB=DF．
∴四边形DEBF是平行四边形．
∴DE=BF．
考点：平行四边形的判定与性质
11．已知：如图，E，F是▱ABCD的对角线AC上两点，且AE=CF．求证：BE=DF．

【答案】详见解析
【解析】
试题分析：利用平行四边形的性质可得∠BAE=∠DCF，再由全等三角形的判定定理可得出结论．
试题解析∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB=DC．
∴∠BAE=∠DCF．
在△AEB和△CFD中，
，
∴△AEB≌△CFD（SAS）．
∴BE=DF．
考点：1．平行四边形的性质；2．全等三角形的判定与性质．
12．如图，在正方形ABCD和正方形ECGF中，连接BE，DG．求证：BE=DG

【答案】证明见解析
【解析】
试题分析：由已知可知BC＝DC，EC＝GC，∠BCD＝∠ECG＝90°，进而可得∠BCE＝∠DCG，利用SAS即可证明得
试题解析：∵四边形ABCD和ECGF是正方形，
∴BC＝DC，EC＝GC，∠BCD＝∠ECG＝90°
∴∠BCD－∠ECD＝∠ECG－∠ECD.
即：∠BCE＝∠DCG
∴△BCE≌△DCG（SAS ).
∴BE＝DG
考点：1、正方形的性质；2、三角形全等的判定
13．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上的一点，DA平分∠EDC，且∠E=∠B．求证：△ADE≌△ADC．

【答案】证明见解析.
【解析】
试题分析：首先由角平分线的性质得出∠ADE=∠ADC，再由等腰三角形的性质结合∠E=∠B，可得∠E=∠C，运用AAS定理可进行全等的证明．
试题解析：证明：∵DA平分∠EDC，
∴∠ADE=∠ADC，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
又∵∠E=∠B，
∴∠E=∠C，
在△ADE和△ADC中，
，
∴△ADE≌△ADC（AAS）．
考点：全等三角形的判定．
14．如图，已知线段AB、CD相交于点O，AD、CB的延长线交于点E，∠ODA＝∠OBC，AD＝CB，求证：AE＝CE．

【答案】详见解析
【解析】
试题分析：可先证明，得∠A=∠C，再证明，即可得证.
试题解析：∵∠ODA＝∠OBC，AD＝CB，∠AOD=∠COB,
∴
∴∠A=∠C，OA=OC，OD=OB
∴OA+OB=OC+OD
∴AB=CD
∵∠E=∠E，∠A=∠C，AB=CD
∴
∴AE＝CE
考点：全等三角形的判定
15．如图，点C为AD的中点，过点C的线段BE⊥AD，且AB=DE．求证：AB∥ED．

【答案】详见解析
【解析】
试题分析：由AC=CD，∠ACB=∠DCE=90°，根据HL证出Rt△ACB≌Rt△DCE，推出∠A=∠D即可．
试题解析：∵点C为AD的中点，
∴AC=CD，
∵BE⊥AD，
∴∠ACB=∠DCE=90°，
在Rt△ACB和Rt△DCE中，
，
∴Rt△ACB≌Rt△DCE（HL），
∴∠A=∠D，
∴AB∥ED．
考点：全等三角形的判定与性质
16．用剪刀将形状如图1所示的矩形纸片ABCD沿着直线CM剪成两部分,其中M为AD的中点.用这两部分纸片可以拼成一些新图形,例如图2中的Rt△BCE就是拼成的一个图形. 用这两部分纸片除了可以拼成图2中的Rt△BCE外，还可以拼成一些四边形，请你试一试，把拼成的四边形分别画在图3、图4的虚框内。
E
B
A
C
B
A
M
C
D
M
图3
图4
图1
图2

【答案】作图见解析.
【解析】
试题分析：根据相等的边为CD与AB；AM=MD让相等的边重合，即可拼成等腰梯形和平行四边形．
试题解析：根据题意，可以拼成如下四边形：
．
考点：图形的剪拼．
17．（本小题满分9分）
如图，在中，AD是BC边上的高，BE平分交AD于点E，，，求和的度数．
E
A
C
D
B

【答案】∠ABC =40°；∠BAC=80°
【解析】
试题分析：由AD是BC边上的高可得出∠ADB=90°，根据直角三角形的性质求出∠DBE的度数，再由BE平分∠ABC可求出∠ABC的度数，根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数即可
试题解析：∵AD是BC的高，
∴∠ADB=90°，
∴∠DBE+∠BED=90°．
∵∠BED=70°，
∴∠DBE=20°．
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠DBE=40°．
∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，
∴∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠C
=180°﹣40°﹣60°
=80°．
考点：三角形内角和定理
18．一个多边形的内角和比它的外角和多，求这个多边形的边数.
【答案】7
【解析】设这个多边形的边数为，依题意得：

解得：
答：这个多边形的边数为7.
19．求图中的值.

（1） （2）

【答案】（1）60 （2）100
【解析】（1）由三角形外角等于与它不相邻的两个内角的和，得

解得：
（2）由四边形内角和等于，得

解得：
20．已知：如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠BDC=∠BCD，点E是线段BD上一点，且BE=AD．

证明：△ADB≌△EBC
【答案】见解析
【解析】∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠EBC，
∵∠BDC=∠BCD，
∴BD=BC，
在△ADB和△EBC中，

∴△ADB≌△EBC（SAS）
21．如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF．
（1）试判断BF与AE有什么样的数量关系．并说明理由；
（2）若CD=2，求AF的长．

【答案】（1）BF=2AE．理由见解析；
（2）AF=2．
【解析】
试题分析：（1）判断出△ABD是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AD=BD，根据同角的余角相等求出∠CAD=∠CBE，然后利用“角边角”证明△ADC和△BDF全等，根据全等三角形对应边相等可得BF=AC，根据等腰三角形三线合一的性质可得AC=2AE，从而得解；
（2）根据全等三角形对应边相等可得DF=CD，利用勾股定理列式求出CF，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AF=FC．
试题解析：（1）BF=2AE．
理由如下：∵AD⊥BC，∠BAD=45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AD=BD，
∵BE⊥AC，AD⊥BC，
∴∠CAD+∠ACD=90°，∠CBE+∠ACD=90°，
∴∠CAD=∠CBE，
在△ADC和△BDF中，
∠CAD=∠CBE，AD=BD，∠ADC=∠BDF=90°，，
∴△ADC≌△BDF（ASA），
∴BF=AC，
∵AB=BC，BE⊥AC，
∴AC=2AE，
∴BF=2AE；
（2）∵△ADC≌△BDF，
∴DF=CD=2，
在Rt△CDF中，CF==2，
∵BE⊥AC，AE=EC，
∴AF=CF=2．
考点：1.全等三角形的判定与性质2.等腰直角三角形．
22．如图，在正方形ABCD中，E是边CD上一点，AF⊥AE交CB的延长线于点F，联结DF，分别交AE、AB于点G、P．
（1）求证：AE=AF；
（2）若∠BAF=∠BFD，求证：四边形APED是矩形．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
试题分析：（1）若要证明AE=AF，则可证明以上两条线段所在的三角形全等即可；
（2）利用正方形的性质以及垂直定义得出∠1=∠3=∠4=∠5，进而利用全等三角形的判定与性质得出AP=DE，进而利用平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可．
试题解析：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADE=∠ABC=∠DAB=90°，AD=AB，AD∥BC，AB∥CD，
∵AF⊥AE，
∴∠EAF=90°，
∴∠DAE=∠BAF，
在△ADE和△ABF中，
，
∴△ADE≌△ABF（ASA），
∴AF=AE；
（2）如图：

∵AF⊥AE，
∴∠1+∠2=90°，
∵∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
∵AD∥FC，
∴∠4=∠5，
∵∠1=∠5，
∴∠1=∠3=∠4=∠5，
在△ADE和△DAP中，
，
∴△ADE≌△DAP（ASA），
∴AP=DE，
又∵AP∥DE，
∴四边形APED是平行四边形，
∵∠PAD=90°，
∴平行四边形APED是矩形．
考点：1.正方形的性质；2.全等三角形的判定与性质；3.矩形的判定．
23．在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF．
（1）求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；
（2）若∠CAE=30°，求∠ACF的度数．

【答案】（1）证明见解析；（2）60°．
【解析】
试题分析：（1）由AB=CB，∠ABC=90°，AE=CF，即可利用HL证得Rt△ABE≌Rt△CBF；
（2）由AB=CB，∠ABC=90°，即可求得∠CAB与∠ACB的度数，即可得∠BAE的度数，又由Rt△ABE≌Rt△CBF，即可求得∠BCF的度数，则由∠ACF=∠BCF+∠ACB即可求得答案．
试题解析：（1）证明：∵∠ABC=90°，
∴∠CBF=∠ABE=90°，
在Rt△ABE和Rt△CBF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）；
（2）解：∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠CAB=∠ACB=45°，
又∵∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-30°=15°，
由（1）知：Rt△ABE≌Rt△CBF，
∴∠BCF=∠BAE=15°，
∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=45°+15°=60°．
考点：全等三角形的判定与性质．
24．如图，△ABC的边BC在直线上，AC⊥BC，且AC＝BC，△EFP的边FP也在直线上，边EF与边AC重合，且EF＝FP。

（1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；
（2）将△EFP沿直线向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连结AP、BQ。猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想。
【答案】（1）∠PEF=45°，∠BAP=45°+45°=90°，AB=AP且AB⊥AP．（2）AP⊥B
【解析】
试题分析：（1）根据等腰直角三角形性质得出AB=AP，∠BAC=∠PAC=45°，求出∠BAP=90°即可；
（2）求出CQ=CP，根据SAS证△BCQ≌△ACP，推出AP=BQ，∠CBQ=∠PAC，根据三角形内角和定理求出∠CBQ+∠BQC=90°，推出∠PAC+∠AQG=90°，求出∠AGQ=90°即可．
试题解析：（1）AB=AP且AB⊥AP，
证明：∵AC⊥BC且AC=BC，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠ABC=（180°-∠ACB）=45°，
又∵△ABC与△EFP全等，
同理可证∠PEF=45°，
∴∠BAP=45°+45°=90°，
∴AB=AP且AB⊥AP．
（2）BQ与AP所满足的数量关系是AP=BQ，位置关系是AP⊥BQ，
证明：延长BQ交AP于G，
由（1）知，∠EPF=45°，∠ACP=90°，
∴∠PQC=45°=∠QPC，
∴CQ=CP，
∵∠ACB=∠ACP=90°，AC=BC，
∴在△BCQ和△ACP中
BC＝AC
∠BCQ＝∠ACP
CQ＝CP，
∴△BCQ≌△ACP（SAS），
∴AP=BQ，∠CBQ=∠PAC，
∵∠ACB=90°，
∴∠CBQ+∠BQC=90°，
∵∠CQB=∠AQG，
∴∠AQG+∠PAC=90°，
∴∠AGQ=180°-90°=90°，
∴AP⊥BQ．
考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形
25．如图在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线AD交BC于点D。若DE垂直平分AB，求∠B的度数。

【答案】∠B=30°
【解析】
试题分析：根据DE垂直平分AB求证∠DAE=∠B，再利用角平分线的性质和三角形内角和定理，即可求得∠B的度数．
试题解析：解：∵在直角△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线AD交BC于D，
∴∠DAE= ∠CAB=（90°-∠B），
∵DE垂直平分AB，
∴AD=BD，
∴∠DAE=∠B，
∴∠DAE= ∠CAB= （90°-∠B）=∠B，
∴3∠B=90°，
∴∠B=30°．
答：若DE垂直平分AB，∠B的度数为30°．
考点：线段垂直平分线的性质；三角形内角和定理；角平分线的性质
26．如图，△ABC是边长为3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P运动的时间为t（s），当t为何值时，△PBQ是直角三角形？

【答案】当t=1秒或t=2秒时，△PBQ是直角三角形
【解析】
试题分析：本题涉及的是一道有关等边三角形的性质和勾股定理来解答的数形结合试题，根据等边三角形的性质可以知道这个直角三角形∠B=60°，所以就可以表示出BQ与PB的关系，要分情况进行讨论：①∠BPQ=90°；②∠BQP=90°．然后在直角三角形BQP中根据BP，BQ的表达式和∠B的度数进行求解即可．
试题解析：根据题意得AP=tcm，BQ=tcm，
△ABC中，AB=BC=3cm，∠B=60°，
∴BP=（3-t）cm，
△PBQ中，BP=3-t，BQ=t，若△PBQ是直角三角形，则
∠BQP=90°或∠BPQ=90°，
当∠BQP=90°时，BQ=BP，
即t=（3-t），t=1（秒），
当∠BPQ=90°时，BP=BQ，
3-t= t，t=2（秒）．
答：当t=1秒或t=2秒时，△PBQ是直角三角形．
考点：一元二次方程的应用；等边三角形的性质；勾股定理
27．小明把两个大小不相等的等腰直角三角形如图放置（阴影部分），点D在AC上，连接AE、BD．经分析思考后，小明得出如下结论：
（1）AE=BD；
（2）AE⊥BD．
聪明的你，请判断小明的结论是否正确，并说明理由．

【答案】正确，理由见解析.
【解析】
试题分析：小明的结论是正确的，理由为：
（1）由三角形EDC与三角形ABC都为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质得到两边及夹角相等，利用SAS得到三角形ACE与三角形BCD全等，利用全等三角形的性质即可得证；
（2）延长BD交AE于点F，由三角形ACE与三角形BCD全等，利用全等三角形的对应角相等得到∠CAE=∠CBD，利用等式的性质及直角三角形两锐角互余，即可得证．
试题解析：小明的结论是正确的，理由为：
（1）在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE=BD；
（2）延长BD交AE于点F，

∵△ACE≌△BCD，
∴∠CAE=∠CBD，
∴∠ABF+∠BAF=∠ABF+∠CAE+∠BAC=∠ABD+∠CBD+∠BAC=∠ABC+∠BAC=90°，
∴∠BFA=90°，
则AE⊥BD．
考点：全等三角形的判定与性质．
28．如图1，已知正方形ABCD，把一个直角与正方形叠合，使直角顶点与一重合，当直角的一边与BC相交于E点，另一边与CD的延长线相交于F点时．
（1）证明：BE=DF；
（2）如图2，作∠EAF的平分线交CD于G点，连接EG．证明：BE＋DG=EG；
（3）如图3，将图1中的“直角”改为“∠EAF=45°”，当∠EAF的一边与BC的延长线相交于E点，另一边与CD的延长线相交于F点，连接EF．线段BE，DF和EF之间有怎样的数量关系？并加以证明．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）BE=DF+EF.证明见解析.
【解析】
试题分析：（1）根据题中所给条件证明△ABE≌△ADF即可．
（2）结合（1）中已证得的条件应证明EG=FG，证明△AEG≌△AFG即可．
（3）如图，过点A作AG⊥AE，交BC于点G，通过证明△AEG≌△AEF即可证明BE=DF+EF.
试题解析：（1）∵∠BAE=∠DAF，AB=AD，∠B=∠ADF=90°，
∴△ABE≌△ADF，
∴AE=AF，BE=DF．
（2）∵AG为∠EAF的角平分线，
∴∠EAG=∠FAG，
又∵AE=AF，AG=AG，
∴△AEG≌△AFG，
∴EG=FG，
∵FG=DG+FD，
∴EG=BE+DG．
（3）如图：
G

过点A作AG⊥AE，交BC于点G
由（1）可知：△ABG≌△ADF
∴AG=AF，BG=DF
∵AG⊥AF，∠EAF=45°
∴∠GAE=∠EAF=45°
∵AG=AF，AE=AE
∴△AEG≌△AEF
∴EG=EF
∵BE=BG+GE
∴BE=DF+EF.
考点：1.正方形的性质；2.全等三角形的判定与性质
29．现场学习：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．小华同学在解答这道题时，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．这种方法叫做构图法．
（1）△ABC的面积为：　_________　；
（2）若△DEF三边的长分别为、、，请在图1的正方形网格中画出相应的△DEF，并利用构图法求出它的面积；
（3）如图2，一个六边形的花坛被分割成7个部分，其中正方形PRBA，RQDC，QPFE的面积分别为13，10，17，且△PQR、△BCR、△DEQ、△AFP的面积相等，求六边形花坛ABCDEF的面积．

【答案】（1）；（2）画图见解析，3；（3）62.
【解析】
试题分析：（1）画出格子后可以根据格子的面积很容易的算出三角形的面积，大矩形的面积减去矩形内除去所求三角形的面积即可．
（2）构造时取（1，3）（2，2）（1，4）即可．
（3）根据PRQ的长度取（1，3）（1，4）（2，3）在网格中画图，求出其面积．
试题解析：（1）根据格子的数可以知道面积为S=3×3-(1×2+1×3+2×3)=；
（2）画图为

计算出正确结果S△DEF=2×4-（1×2+1×4+2×2）=3；
（3）利用构图法计算出S△PQR=，
△PQR、△BCR、△DEQ、△AFP的面积相等，
计算出六边形花坛ABCDEF的面积为S正方形PRBA+S正方形RQDC+S正方形QPFE+4S△PQR=13+10+17+4×=62．
考点：作图—应用与设计作图．
30．如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE的延长线上，求证：

【答案】证明见解析.
【解析】
试题分析：连结BD，根据等边三角形的性质就可以得出△AEC≌△BDC，就可以得出AE=BD，∠E=∠BDC，由等腰直角三角形的性质就可以得出∠ADB=90°，由勾股定理就可以得出结论．
试题解析：证明：连结BD，

∵△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，
∴∠ECD=∠ACB=90°，∠E=∠ADC=∠CAB=45°，
EC=DC，AC=BC，AC2+BC2=AB2，
∴2AC2=AB2．∠ECD-ACD=∠ACB-∠ACD，
∴∠ACE=∠BCD．
在△AEC和△BDC中，
，
∴△AEC≌△BDC（SAS）．
∴AE=BD，∠E=∠BDC．
∴∠BDC=45°，
∴∠BDC+∠ADC=90°，
即∠ADB=90°．
∴AD2+BD2=AB2，
∴AD2+AE2=2AC2．
考点：1.全等三角形的判定与性质；2.等边三角形的性质；3.直角三角形的性质；4.勾股定理；5.等腰直角三角形．
31．在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，点B与点C都在x轴上，且点B在点C的左侧，满足BC=OA，若-3am-1b2与anb2n-2是同类项且OA=m，OB=n．
（1）m= ；n= ．
（2）点C的坐标是 ．
（3）若坐标平面内存在一点D，满足△BCD全等△ABO，试求点D的坐标．
【答案】（1）3，2；（2）（5，0）或（1，0）；（3）（5，2）或（5，-2）或（2，2）或（2，-2），（1，2）或（1，-2）或（-2，2）或（-2，-2）．
【解析】
试题分析：（1）根据同类项的概念即可求得；
（2根据已知条件即可求得B（2，0）或（-2，0），根据点B在点C的左侧，BC=OA，即可确定C的坐标；
（3）根据三角形全等的性质即可确定D的坐标；
试题解析：（1）∵-3am-1b2与anb2n-2是同类项，
∴，
解得．
（2）∵OA=m，OB=n，
∴B（2，0）或（-2，0），
∵点B在点C的左侧，BC=OA，
∴C（5，0）或（1，0）；
（3）当C（5，0）时，∵△BCD全等△ABO，BC=OA=3，
∴CD=2或BD=2，
∴D的坐标为（5，2）或（5，-2）或（2，2）或（2，-2）；
当C（1，0）时，∵△BCD全等△ABO，BC=OA=3，
∴CD2或BD=2，
∴D的坐标为（1，2）或（1，-2）或（-2，2）或（-2，-2）．
所以D点的坐标为（5，2）或（5，-2）或（2，2）或（2，-2），（1，2）或（1，-2）或（-2，2）或（-2，-2）．
考点：1.全等三角形的判定与性质；2.同类项；3.坐标与图形性质．
32． 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D．把三角形沿AE对折使点C落在AB边上的点F上，CD与折痕AE相交于G，连结FG并延长交AC于H．
（1）判断FH与BC的位置关系，并说明理由；
（2）判断HG与DG的数量关系，并说明理由．

【答案】（1）FH∥BC；理由见解析；（2）HG=DG；理由见解析．
【解析】
试题分析：（1）连接EF，根据翻折变换的性质可得∠CAE=∠EAF，∠AFE=90°，CE=EF，根据垂直的定义可得∠ADC=90°，然后根据同位角相等，两直线平行判断出EF∥CD，然后根据等角的余角相等求出∠AGD=∠AEC，再求出∠CGE=∠AEC，根据等角对等边可得CG=CE，然后求出CG=EF，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断出四边形CEFG是平行四边形，根据平行四边形对边平行可得GF∥CE，即FH∥BC；
（2）根据两直线平行，同位角相等可得∠AHG=∠ACB=90°，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得HG=DG．
试题解析：（1）解：如图，连接EF，

由翻折的性质得，∠CAE=∠EAF，∠AFE=∠ACB=90°，CE=EF，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
∴∠ADC=∠AFE，
∴EF∥CD，
∵∠CAE=∠EAF，∠CAE+∠AEC=∠EAF+∠AGD=90°，
∴∠AGD=∠AEC，
又∵∠AGD=∠CGE（对顶角相等），
∴∠CGE=∠AEC，
∴CE=CG，
∴CG=EF，
∴四边形CEFG是平行四边形，
∴GF∥CE，
即FH∥BC；
（2）解：∵FH∥BC，
∴∠AHG=∠ACB=90°，
又∵∠CAE=∠EAF，
∴HG=DG．
考点：翻折变换（折叠问题）．
33．已知：如图，点E、F分别为▱ABCD的BC、AD边上的点，且∠1=∠2．求证：AE=FC．

【答案】详见解析
【解析】
试题分析：根据平行四边形的对边相等，对角相等，易得△ABE≌△CDF，即可得AE=CF．
试题解析：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠B=∠D．
在△ABE与△CDF中，

∴△ABE≌△CDF．
∴AE=CF．
考点：1.平行四边形的性质；2.全等三角形的判定与性质．
34．如图，在△ABC中，AB=AC，∠CAB=30°．
（1）用直尺和圆规作AC边上的高线BD交AC于点D（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）中作出AC边上的高线BD后，求∠DBC的度数．

【答案】（1）作图见解析；（2）15°．
【解析】
试题分析：（1）根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法作图即可；
（2）首先根据等边对等角可得∠C的度数，再计算出∠DBC的度数．
试题解析：（1）如图所示：

（2）∵AB=AC，∠CAB=30°，
∴∠B==75°，
∵DB⊥AC，
∴∠BDC=90°，
∴∠DBC=180°-90°-75°=15°．
考点：作图—复杂作图．
35．如图，在△中，, 底边BC上的高AD=12，tan C = 2，如果将△沿直线l翻折后，点刚好落在边的中点E处，直线l与边AB交于点F，与边交于点H，求BH的长．

【答案】6.5
【解析】
试题分析：过点E作EG⊥BC,垂足为G,由已知AB=AC、AD⊥BC，E为AC中点以及tan C = 2，则可求出BD、CD、EG、DG等的长度，然后在Rt△EHG中利用勾股定理则可求出EH的长
试题解析：过点E作EG⊥BC,垂足为G,
又∵ AB=AC AD⊥BC, AE=EC AD=12,
∴ BD=DC EG=AD=6 DG=GC
∵,
∴DC=6 CG=3
设BH=x则HE=BH=x HG= 9 -x
在Rt△EGH中：EH2=EG2+HG2,
即x2=62+(9-x)2
解得x=6.5

考点：1、等腰三角形的性质；2、勾股定理；3、三角形的中位线
36．如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC＝BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，求证: AC=EF

【答案】证明见解析
【解析】
试题分析：由∠ACB＝90°，CD⊥AB可得∠ACD=∠B，再由ASA即可证得
试题解析：∵CD⊥AB ∠ACB＝90°，
∴ ∠A+∠ACD=90o ∠A+∠B=90o
∴∠ACD=∠B
∵ EF⊥AC ,
∴∠CEF=∠ACB=90o
在△ABC与△FCE中
,
∴△ABC≌△FCE (ASA )
∴ AC=EF
考点：三角形全等的判定
37．李倩同学在学习中善于总结解决问题的方法，并把总结出的结果灵活运用到做题中．例如，总结出“图形中有角平分线＋平行线，通常会出现等腰三角形”后，老师出了这样一道题：
（1）如图1，在矩形ABCD中，F是BC边上的一点，AE平分∠FAD，与CD交于点E，与BC的延长线交于点M，E是CD的中点，请问 AF＝FC＋AD成立吗？

（2）若把矩形ABCD变成平行四边形ABCD（如图2），其它条件不变，你的结论还正确吗？说明理由．

【答案】(1) AF＝FC＋AD成立.
(2) AF＝FC＋AD成立 ；理由见解析
【解析】
试题分析：（1）由E为CD中点，AD//BM这些条件利用AAS可得△ADE≌△MCE，从而得AD=CM，再由AE平分∠FAD、AD//BM可得AF=FM，从而可得；
（2）由E为CD中点，AD//BM这些条件利用AAS可得△ADE≌△MCE，从而得AD=CM，再由AE平分∠FAD、AD//BM可得AF=FM，从而可得.
试题解析：(1) AF＝FC＋AD成立.
(2) AF＝FC＋AD成立
理由：在□ABCD中
∵AD∥BC,
∴∠DAE＝∠M.
∵AE平分∠FAD,
∴∠DAE＝∠FAM.
∴∠M＝∠FAM.
∴A