数与代数知识点大全.doc

总复习（数与代数概念部分）一、数的意义：1、整数：像3、2、1、0、1、2、3这样的数统称为整数。整数的个数是无限的。没有最小的整数，也没有最大的整数，自然数是整数的一部分。2、自然数：用来表示物体个数的数。像1、2、3、4、5叫做自然数。一个物体也没有用0表示。自然数的个数是无限的，最小的自然数是0，没有最大的自然数。3、小数：把整数“1”平均分成10份、100份、1000份这样的一分或几份的数是十分之几、百分之几、千分之几可以用小数表示。4、小数的分类： （1）纯小数和带小数：整数部分是o的小数叫做纯小数，整数部分不是o的小数叫做带小数。（2）有限小数和无限小数：小数部分的位数是有限的小数叫做有限小数；小数部分的位数是无限的小数叫做无限小数。（3）循环小数：一个小数，从小数部分的某一位起一个数字或几个数字依次不断地重复出现，这样的小数叫做循环小数。（4）循环节：一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字叫做这个小数的循环节。 (5）纯循环小数和混循环小数：循环节从小数部分第一位开始的，叫做纯循环小数；循环节不是从第一位开始的，叫做混循环小数。5、计数单位：个、十、百、千以及十分之一、百分之一、千分之一都是计数单位。6、数位：各个计数单位所占的位置叫做数位。7、十进制计数法：“十进制计数法”是世界各国最常用的一种计数方法。它的特点是每相邻的两个计数单位之间的进率都是“十”就是10个较低的计数单位可以进成一个较高的计数单位（既通常说的“逢十进一”）， 这种以“十”为基础进位的计数方法，叫做十进制计数法。8、整数和小数数位顺序表：9、分数：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。 （1）分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份的数就是这个分数的分数单位。 （2）分数的分类：真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于1。假分数：分子比分母大或者分子等于分母的分数叫做假分数，假分数110、百分数：表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数，百分数也叫百分率或百分比。百分数的分数单位是1%。百分数的分母是100。11、分数和百分数的关系：分数既可以表示一个数（后面可加数量单位）；也可以表示两个数的比（两数之间的关系）。而百分数只表示一个数占另一个数的百分比（两数之间的关系），不能表示具体的数。因此百分数不带单位。12、正数和负数：像1/3、+2、0.5、+4.5这样的数叫做正数；像1/2、5.5、6这样的数叫做负数。 （不能认为：一个数的前面加上“+”号这个数就是正数，也不能认为：一个数的前面加上“”号这个数就是负数）。比如：“a”这个数我们就不能判断是负数，因为a可能：是正数、是负数、0都有可能；所以我们无法判断。自然数是等于或大于0的整数，也可以说是不小于0的整数，既是非负整数。0既不是正数也不是负数。二、数的读法和写法。1、读法：从高位到低位，一级一级的往下读，每一级末尾的0都不读出来，其他数位的连续的几个0都只读一个。2、写法：从高位到低位，一级一级的往下写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数为上写0。（一）、小数的读法与写法：读法：通常是整数部分按整数的读法去读，小数点读作“点”，小数部分按从左向右的顺序只读出数字。写法：写小数时，整数部分按整数部分的写法去写，小数点写在个位的右下角，小数部分按从左向右的顺序依次写出每一个数位上的数字。（二）、分数的读法与写法：读法：读分数时，先读分数的分母，再读“分之”最后读分子。读带分数时，要先读整数部分，再读“又”字，最后按分数部分的读法读分数部分。（分数线的读法：“分之”），写法：写分数时，要先写分数线，再写分母，最后写分子，写带分数时，要先写整数部分，再写分数部分，整数部分要对其分数线，二者要紧凑。（三）、百分数的读法与写法：读法：百分数的读法与分数相同。写法：百分数通常不写成分数形式，而是在原来的分子后面加上百分号“%”来表示。写百分数时，先写分子，再写百分号。（四）、数的大小比较：1、整数的大小比较：比较两个整数的大小，首先要看它们的位数，如果位数不相同，那么位数多的那个数就大；如果位数相同，就先从高位比起，相同数位上的数大的那个数就大；2、小数的大小比较：先比较它们的整数部分，整数部分大的那个数就大；整数部分相同的，十分位上数大的那个数就大；十分位上的数字相同，百分位上的数大那个数就大。以此类推。3、分数的大小比较：分母相同的分数，分子大的那个分数就大；（因为分母相同，分数单位就相等，分子大的就意味着含有的分数单位多。）；分子相同的分数相比较，分母小的那个分数大。（分子相同含有的分数单位数相同，分母小的分数分数单位就大）分子、分母都不同的分数相比较，先通分，转化成同分母分数后，再比较大小。4、正数和负数的大小比较：负数都比正数小。0大于一切负数，0小于一切正数。5、两个负数相比较：如果ab（a、b均为正数），则ab。就是在不看负数符号的情况下：数大的那个数反而小。三、数的性质： 1、分数的性质：分子和分母同时乘上或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变。（注意：分数的分单位有变化，分子、分母都有变化）2、约分和通分：把一个分数化成和原分数相等的，且分子分母都比原分数小的的分数叫做约分；把异分母分数分别化成和原分数相等的同分母分数，叫做通分。3、最简分数：分子和分母只有公因数1的分数叫做最简分数。4、小数的基本性质：小数的末尾添上或去掉0，小数的大小不变。（注意：小数的位数有变化，精确度有变化。）5、小数点的位置移动引起小数的大小变化规律：小数点每向右移动一位、两位、三位这个数就扩大到原来的10倍、100倍、1000倍小数点每向左移动一位、两位、三位该数就缩小到原数的1/10、1/100、1/1000四、数的改写：1、把多位数改写成以”万“或者以”亿”单位的数。（1）直接改写：把多位数改写成以”万“或者以”亿”单位的数，先把原来的小数点向左移动4位或者8位，再在数后面加上“万”或“亿”字，中间用“=”连接。（2）省略尾数改写成近似数：先用“四舍五入法”省略万位或者亿位后面的尾数，再在这个数的后面写上“万”字或者“亿”字。得出的是近似数，中间用“”连接。2、求小数的近似数：根据要求，要把小数保留到哪一位，就把这一位后面的尾数按照“四舍五入法”省略，中间用“”。3、小数、分数、百分数的互化： 小数化成分数方法：先看小数点后面有几位小数，就在1的后面添上几个0做分母，原来的小数去掉小数点后做分子。能约分的要约成最简分数。分数化成小数方法：用分子除以分母。小数化成百分数的方法：把小数的小数点向右移动两位，（位数不足时用0补足）同时在后面添上“%”。百分数化成小数的方法：把百分数的分子的小数点向左移动两位，同时去掉后面的“%”。百分数化成分数的方法：先把百分数的改写成分母是100的分数，然后约成最简分数。分数化成百分数的方法：先把分数化成小数，在把小数化成百分数。4、判断一个分数能否化成有限小数的方法：一个最简分数，如果分母中除了含有质因数2和5以外，不含有其它质因数， 这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有了2和5以外的其他质因数，这个分数就不能化成有限小数。五、数的整除：1、整除：整数a除以整数b（b0），除得的商正好是整数且没有余数，我们就说数a能被数b整除。（也可以说b能整除a）。2、因数和倍数：如果ab=c（a、b、c都是非0整数）那么a、b就叫做c的因数，c就叫做a、b的倍数。 一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。3、公因数和最大公因数：几个数的公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。4、公倍数和最小公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的那个数叫做这几个数的最小公倍数。5、求两个数的最大公因数的方法：一般采用列举法，就是把两个数的因数一一列举出来，然后找出两个数的公因数，其中最大的那个数就是这两个数最大公因数。也可以采用短除法。短除法求最大公因数的方法：把两个数写在 的横线上，先用着这两个数的公有质因数做除数，如果两个数的商是互质数，除数就是这两个数的所得的商就是这两个数的最大公因数。如果两个数的商不互质，就按照上面的方法继续除，直到两个数的商最后是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来，所得的积就是这两个数的最大公因数。6、求两个数的最小公倍数的方法：一般也采用列举法，把两个数的倍数数根据需要按从小到大的顺序列举一部分，然后找出两个数的公有的倍数，其中最小的那个公倍数就是这两个数的最小公倍数。也可以采用短除法。 短除法求最小公倍数的方法：把两个数写在 的横线上，先用着这两个数的公有质因数做除数，所 得的商写在横线下的相对应的位置，如果两个数的商是互质数，就把除数和最后的两个商连乘起来，所得的积就是这两个数的最小公倍数；如果两个数的商不互质， 就按照上面的方法继续除，直到两个数的商最后是互质数为止，然后把所有的除数和最后所得商连乘起来，所得的积就是这两个数的最小公倍数。7、求两个数的最大公因数和最小公倍数的特殊方法： 如果两个数中，较大数是较小数的倍数，较小数就是较大数的因数，则较大数是这两个数的最小公倍数；较小数是这两个数的最大公因数。 如果两个数是互质数，则它们的最大公因数是1，最小公倍数是这两个数的乘积。8、奇数和偶数、在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数，最小的偶数是0，最小的奇数是1。9、2、5、3的倍数的特征。 （1）2的倍数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数。 （2）5的倍数的特征：个位上是0或5的数都是5的倍数。 （3）3的倍数特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。10、质数和合数：一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。质数有且只有两个因数，合数至少有三个因数。 1既不是质数也不数合数。11、质因数与分解质因数：每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的质因数。把一个合数用质数相乘的形式表示出来，就是分解质因数。12、分解质因数的方法：把一个合数分解质因数，通常用短除法，分解质因数时，先用这个合数的质因数（通常用最小的开始）去除，得出的商如果是质数，就把除数和商写成相乘的形式；得出的商如果是合数，就照上面的方法继续下去，直到得出商是质数为止，然后把各个除数和最后的商写成连乘的形式。13、大于0的自然数的分类方法：（1）根据是否是2的倍数，自然数可分为：奇数和偶数。（2）根据所含因数的个数，自然数可分为：1、质数、合数。六、数的运算：新|课 |标|第 | 一| 网1、加法的意义：把两个数（或几个数）合并成一个数的运算。2、减法的意义：已知两个数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算。3、乘法的意义：（1）一个数乘整数，就是求几个相同加数和的简便运算。 （2）一个数乘小数，可以看作是求这个数的十分之几，百分之几是多少？ （3）一个数乘分数，就是求这个数的几分之几是多少。4、除法的意义：以这两个数的积和其中的一个因数，求另一个因数的运算。5、计算方法：1、加法的计算方法。 （1）整数和小数：相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数相加满十，要向前一位进1。（2）分数：同分母分数相加，分母不变只把分子相加。异分母分数相加，先通分，再按照同分母分数加法法则进行计算。2、减法的计算方法： （1）整数和小数：相同数位对齐，从低位减起，哪一位上的数不够减，从前一位退1，在本位上加10后再减。 （2）分数：同分母分数相减，分母不变，只把分子相减。（分子之差做分子）异分母分数相减，先通分，再按照同分母分数减法法则进行计算。3、乘法的计算方法： 整数乘法的计算方法：相同数位对齐，从末尾乘起，用第二个因数的每一位上的数去乘第一个因数，用哪一位的数去乘，乘得的积的末尾就要和那一位对齐，最后把每次乘得的积的相加。小数乘法的计算方法：计算小数乘法，末尾对齐，先按照整数乘法的计算方法算出积，再看因数中一共有几位小数， 就从积的末尾起向左数出几位，点上小数点。分数乘法的计算方法：分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母（能约分的要先约分）。除法的计算方法：整数除法的计算方法：从被除数的高位除起，除的时候，除数有几位数就先看被除数的前几位，如果前几位不够除，再多看一位，除到被除数的哪一位，就把商写在哪一位的上面，每次除得余数必须比除数小。小数除法的计算方法：除数是整数的小数除法，要按照整数除法的计算方法去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐。如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数的末尾添上0继续除。除数是小数的除法：先移动除数的小数点，使它变为整数，除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也要向右移动相同位数（位数不够时，在被除数的末尾用0补足），然后按除数是整数的小数除法的计算方法进行计算。分数除法的计算方法：甲数除以乙数（0除外）等于甲数乘乙数的倒数。倒数：乘积为1的两个数互为倒数。七、则运算的验算方法： 1、加法的验算方法（1）用加法验算：调换两个加数的位置再加一遍。 （2）用减法验算：和一个加数=另一个加数。2、减法的验算方法：（1）用加法验算：差+减数=被减数。 （2）用减法验算：被减数差=减数。3、乘法的验算方法：（1）用乘法验算：调换两个因数的位置再称一遍。 （2）用除法验算：积一个因数=另一个因数。4、除法的验算方法：（1）用乘法验算：如果没有余数，商除数=被除数，如果有余数，商除数+余数=被除数。 （2）用除法验算：被除数商=除数 或（被除数余数）商=除数八、0与1在四则运算中特性：a+0=a a0=0 0a=0 a0=a a1=a aa=0 a1=a 1a=1/a (在上面算式中a作除数时a0） 九、运算定律：1、加法的交换律：a+b=b+a 2、加法的结合律：a+b+c=a+（b+c）3、乘法的交换律：ab=ba 4、乘法的结合律：abc=a（bc）5、乘法的分配率：（a+b）c = ac+bc 十、运算性质：1、减法的运算性质：a-(b+c)=a-b-c a-(b-c)=a-b+c2、除法的运算性质（除数不为0）：a (bc)=ab c a(bc)=abc (a+b)c=ac+bc (a-b)c=ac-bc十一、运算顺序： 1、加法和减法叫做一级运算，乘法和除法叫做第二级运算。2、在一个没有括号的算式里，如果只含有同一级运算，要从左往右依次计算；如果含有两级运算，要先算第二级运算，后算第一级运算。3、在一个有括号的算式里，要先算小括号里面的，再算中括号里面的。十二、解决问题：1、复合应用题：用两步或两步以上计算来解答的应用题。分析此问题，一般采用分析法或综合法。 分析法：从要求问题入手，逐步找出解答问题所需要的信息，求得问题的解决。 综合法：从已知条件入手，利用已知条件看能解决什么问题，从而求得问题的解决。2、解决问题的一般步骤：首先理解题意，找出已知条件何所求问题；其次。分析数量关系，确定先 算什么，再算什么，最后算什么；再次，确定每一步该怎样算，列出算式，算出得数；最后进行检验，写出答案。3、几种常见的数量关系：（1）路程=速度时间 （2）总价=单价数量 （3）工作总量=工效时间（4）总产量=单产量数量（5）收入-支出=结余（6）利息=本金利息时间十三、式与方程：1、用字母表示数的意义：用字母表示数是代数的基本特点。既简单明了，又能表达数量关系的一般规律。2、用字母代表数的作用：（1）用字母代表任何数。（2）用字母表示常见的数量关系。（3）用字母表示运算定律。（4）用字母表示计算公式。3、（1）数字与字母、字母与字母相乘时，乘号可以简写成“”或者省略不写。数与数相乘，乘号不能省略。4、等式与方程：表示相等关系的式子叫做等式。含有未知数的等式叫做方程。方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。 解方程：求方程中未知数的过程叫做解方程。5、等式的性质：（1）等式两边都加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。 （2）等式两边都乘上（或除以）同一个不为零的数，左右两边仍然相等。 （3）根据等式的性质可以解方程。6、列方程解应用题的步骤：（1）找出未知数并用X表示。（2）找出应用题中数量间的相等关系，并更具等量关系列出方程。（3）解方程，求未知数的值。（4）检验写答语。十四、常见的计量单位及其进率：（一）意义：（1）物体的多少、长短、大小、轻重、快慢等。这些可以测定的客观事物的特征叫做量。（2）把一个要测定的量同一个作为标准的量相比较叫做计量。用来作为计量标准的量叫做计量单位。（二）常用的计量单位及其进率。（1）货币单位及其进率：1元=10角 1角=10分 （2）长度单位及其进率： 1千米=1000米 1米=10分米=100厘米 1分米=10厘米 1厘米=10毫米（3）面积单位及其进率： 新-课-标 -第-一-网1平方千米=1000000平方米 1平方千米=100公顷 1公顷=10000平方米 1平方米=100平方分米 1平方分米=100平方厘米 1平方厘米=1000平方毫米质量单位及其进率： 1吨=1000千克 1千克=1000克时间单位及其进率：（1）1年有12个月 平年有365天，闰年有366天。（2）1、3、5、7、8、10、12月是大月，每月31天；4、6、9、11月是小月，每月有30天；二月既不是大约也不是小月，平年二月28天，闰年二月有29天。（3）按四个季度分，1、2、3月份属第一季度，4、5、6月份是第二季度，7、8、9月份是第三季度，10、11、12是第四季度。（4）每个月分上、中、下三旬，上旬、中旬各有10天，下旬的天数大月11天，小月有10天。闰年二月下旬9天，平年8天（5）1星期=7日 1日=24小时 1小时=60分 1分=60秒 1世纪=100年（6）平年闰年判断的方法：公历年份能被4整除，整百，整千年份能整除400的是闰年，反之是平年。（三）计量单位的改写：1、名数的意义：计量的结果，要用数表示，并且还要带上单位的名称，通常把他们合起来叫做名数 。只带一个名称的叫单名数；带两个或两个以上单位名称的叫复名数。如：2千克50克，8平方米20平方分米5平方厘米。 2、名数的改写：把高级单位的名数改写成低级单位的名数用进率去乘，把低级单位的名 数改写成高级单位名数用进率去除。当进率是10、100、1000是也可以把小数点向右（左） 移动一位，两位、三位。位数不足时，用零补足。十五、比和比例：（1）比和比例的意义、各部分名称、基本性质。（2）比和分数、除法的关系（3）求比值和化简比 求比值，前项除以后项所得的商。结果为整数、小数或分数。 化简比，把两个数的比化成最简单的整数比，可以用比的前项和后项都乘或除以一个相同的数（0除外）；也可以根据求比值的方法，用前项除以后项。结果为一个比。