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函数的表示法

主讲：黄冈中学教师　 汤彩仙
一、知识概述
1、函数的定义：设A、B是两个非空数集，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应（包括集合A、B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到集合B的函数．记作：f：．
　　说明：（1）函数的三要素：定义域、值域、对应关系（或对应法则）；
　　（2）函数符号表示“是的函数”，可简记为函数，有时也用．
　　（3）的意义：自变量取确定的值时，对应的函数值用符号表示；
　　（4）定义域：自变量的取值的集合，值域：函数值的集合；
　　（5）两个函数相同：当且仅当函数的三要素全相同．
2、区间的概念：
　　设是两个实数，而且，规定：
　　（1）满足不等式的实数的集合叫做闭区间，表示为；
　　（2）满足不等式的实数的集合叫做开区间，表示为；
　　（3）满足不等式或的实数的集合叫做半开半闭区间，表示为，．
　　（4）满足，，，的实数的集合分别表示为，，，．
3、函数常用的表示方法有三种：列表法、图象法、解析法，三种表示方法的比较．
表示法
定义
优点
缺点
列表法
通过列出自变量与对应函数值的表来表达函数关系的方法
不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值
它只能表示自变量可以一一列出的函数关系
图像法
利用“图形”表示函数的方法
能形象直观地表示出函数的变化情况
只能近似地求出自变量的值所对应的函数值，而且有时误差较大
解析法
如果在函数中，是用代数式（或解析式）来表达的，则这种表示函数的方法叫解析法（也称为公式法）
一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值
不够形象、直观、具体，而且并不是所有的函数都能用解析式表示出来
4、函数的解析式的求法
　　求函数的解析式的常用方法有：
　　（1）代入法：如已知，求时，有．
　　（2）待定系数法：已知的函数类型，要求的解析式时，可根据类型设其解析式，从而确定其系数即可．
　　（3）拼凑法：已知的解析式要求时，可从的解析式中拼凑出“”，即用来表示，再将解析式的两边的用x代替即可．
　　（4）换元法：令，再求出的解析式，然后用x代替两边所有的t即可．
二、例题讲解
例1、已知，
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值．
分析：
　　和的值由于解析式已给出，直接计算即可，而实际上是两次求值．
解：
　　（1）因为，
　　所以．
　　（2）．
　　（3），
　　．
点拨：对于中的“x”与中的“2x－1”实质上是相同的．
例2、已知函数求和的表达式．
解：

当2x－1≥0，即时，；
当2x－1<0，即时，．∴
例3、已知，求的解析式．
解法1：

令，则，代入原式有，
．
．
解法2：
，
．
即．
例4、已知，求一次函数的解析式．
解：
因为一次函数，设，则
．
则由
解得或
或．
例5、如果函数满足方程，且为常数，且，求．
解：
，①
将x换成，则换成x，得，②
由①、②消去即①×a－②得．
，即．
点拨：
　　本题是利用方程思想，采用解方程的方法消去不需要的函数式子，而得到的表达式，此种方法称为消去法，也称为解方程法．
例6、设是R上的函数，且满足f (0)=1，并且对任意实数x，y，有，求的解析式．
解法一：
设x=y，得．
，即．
解法二：
令x=0，则．
即．
令－y=x，则有．
点拨：
　　（1）所给函数方程含有两个变量时，可对这两个变量交替用特殊值代入，或使这两个变量相等代入，再用已知条件，可求出未知的函数．至于取什么特殊值，根据题目特征而定．
　　（2）通过取某些特殊值代入题设中的等式，可使问题具体化、简单化，从而顺利地找出规律，求出函数的解析式．