如何求解二次函数中的面积最值问题.doc

如何求解二次函数中的面积最值问题 从近几年的各地中考试卷来看，求面积的最值问题在压轴题中比较常见，而且通常与二次函数相结合使解题具有一定难度，本文以一道中考题为例，介绍几种不同的解题方法，供同学们在解决这类问题时参考 题目 （重庆市江津区） 如图1，抛物线yx2bxc与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点 (1)求该抛物线的解析式； (2)设(1)中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2，在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及PBC的面积最大值；若没有，请说明理由 解答 (1)抛物线解析式为 yx22x3； (2)Q(1，2)； 下面着重探讨求第(3)小题中面积最大值的几种方法 一、补形、割形法 几何图形中常见的处理方式有分割、补形等，通过对图形的这些直观处理，一般能辅助解题，使解题过程简捷、明快此类方法的要点在于把所求图形的面积进行适当的补或割，变成有利于表示面积的图形 方法一如图3，设P点（x，x22x3）(3x0) 方法二 如图4，设P点(x，x22x3)(3x0) （下略） 二、“铅垂高，水平宽”面积法 如图5，过ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在ABC内部线段的长度叫ABC的“铅垂高(h)”，我们可得出一种计算三角形面积的另一种方法：SABCah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半 根据上述方法，本题解答如下： 解 如图6，作PEx轴于点E，交BC于点F 设P点（x，x22x3）（3x0） 点P坐标为（，） 三、切线法 若要使PBC的面积最大，只需使BC上的高最大过点P作BC的平行线l，当直线l与抛物线有唯一交点(即点P)时，BC上的高最大，此时PBC的面积最大，于是，得到下面的切线法解 如图7，直线BC的解析式是yx3，过点P作BC的平行线l，从而可设直线l的解析式为：yxb 四、三角函数法 本题也可直接利用三角函数法求得 解 如图8，作PEx轴交于点E，交BC于点F，怍PMBC于点M 设P点（x，x22x3）（3x0）， 则F(x，x3) 从以上四种解法可以看到，本题解题思路都是过点P作辅助线，然后利用相关性质找出各元素之间的关系进行求解如此深入挖掘一道题的多种解法，可使我们摆脱题海战术，提高解题能力同时，善于总结一道题的多种解法能加快解题速度，提高解题效率，也有利于培养我们的钻研能力和创新精神4