复合函数和定义域.doc

复合函数的定义域和解析式一、复习引入：已知，则已知与分别由下表给出， 1234123423412143那么已知函数，求； 若函数求变题：已知函数，求：；的定义域；已知函数，求. 点评：二、新授知识：1、复合函数的定义设是到的函数，是到上的函数，且，当取遍中的元素时，取遍，那么就是到上的函数。此函数称为由外函数和内函数复合而成的复合函数。 说明：复合函数的定义域，就是复合函数中的取值范围。称为直接变量，称为中间变量，的取值范围即为的值域。与表示不同的复合函数。例1设函数，求若的定义域为，则复合函数中，注意：的值域例2（课时练 2 例1）若函数的定义域是0，1，求的定义域；若的定义域是-1，1，求函数的定义域；已知定义域是，求定义域点评：解决复合函数问题，一般先将复合函数分解，即它是哪个内函数和哪个外函数复合而成的 解答：函数是由A到B上的函数与B到C上的函数复合而成的函数函数的定义域是0，1，B=0,1，即函数的值域为0，1，即，函数的定义域0，函数是由A到B上的函数与B到C上的函数复合而成的函数的定义域是-1，1，A=-1,1，即-1，,即的值域是-3，1，的定义域是-3，1点评：若已知的定义域为，则的定义域就是不等式的的集合；若已知的定义域为，则的定义域就是函数 的值域。函数是由A到B上的函数与B到C上的函数复合而成的函数的定义域是-4，5),A=-4,5)即，即的值域B=-1，8）又是由到上的函数与B到C上的函数复合而成的函数，而,从而的值域的定义域是1，）例3已知函数定义域是（a,b），求的定义域解：由题，当，即时，不表示函数；当，即时，表示函数，其定义域为说明： 已知的定义域为(a,b)，求的定义域的方法：已知的定义域为，求的定义域。实际上是已知中间变量的的取值范围，即，。通过解不等式求得的范围，即为的定义域。已知的定义域为(a,b)，求的定义域的方法：若已知的定义域为，求的定义域。实际上是已知直接变量的取值范围，即。先利用求得的范围，则的范围即是的定义域。2求有关复合函数的解析式例4已知 求；已知 ，求例5已知 ，求； 已知，求点评：已知求复合函数的解析式，直接把中的换成即可。已知求的常用方法有：配凑法和换元法。配凑法就是在中把关于变量的表达式先凑成整体的表达式，再直接把换成而得。换元法就是先设，从中解出（即用表示），再把（关于的式子）直接代入中消去得到，最后把中的直接换成即得。例6已知是一次函数，满足，求；已知，求点评： 当已知函数的类型求函数的解析式时，一般用待定系数法。 若已知抽象的函数表达式，则常用解方程组、消参的思想方法求函数的解析式。已知满足某个等式，这个等式除是未知量外，还出现其他未知量，如、等，必须根据已知等式再构造出其他等式组成方程组，通过解方程组求出。三、课堂练习：已知，求和解：令，设，令，设，已知，求分析：是用替换中的而得到的，问题是用中的替换呢，还是用替换呢？所以要按、分类；注：是用替换中的而得到的，问题是用替换中的呢，还是替换呢？所以要看还是，故按、分类。Key:；注：。四、课堂小结：复合函数的定义；设函数，则我们称是由外函数和内函数复合而成的复合函数。其中被称为直接变量，被称为中间变量。复合函数中直接变量的取值范围叫做复合函数的定义域，中间变量的取值范围，即是的值域，是外函数的定义域。有关复合函数的定义域求法及解析式求法：定义域求法：求复合函数的定义域只要解中间变量的不等式（由解）；求外函数的定义域只要求中间变量的值域范围（由求的值域）。已知一个复合函数求另一个复合函数的定义域，必须先求出外函数的定义域。解析式求法：待定系数法、配凑法、换元法、解方程组消元法五、附录：求函数的定义域的主要依据有： 当为整式或奇次根式时，R； 当为偶次根式时，被开方数不小于0（即0）； 当为分式时，分母不为0；当分母是偶次根式时，被开方数大于0； 当为指数式时，对零指数幂或负整数指数幂，底不为0（如，中）。 当是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，它的定义域应是使各部分都有意义的自变量的值组成的集合，即求各部分定义域集合的交集。 分段函数的定义域是各段上自变量的取值集合的并集。 由实际问题建立的函数，除了要考虑使解析式有意义外，还要考虑实际意义对自变量的要求 对于含参数字母的函数，求定义域时一般要对字母的取值情况进行分类讨论，并要注意函数的定义域为非空集合。 对数函数的真数必须大于零，底数大于零且不等于1。 三角函数中的切割函数要注意对角变量的限制。