第八讲函数的单调性与最值.doc

第八讲 函数的单调性与最值 （学生用书）
一、选择题
1．(2011·全国卷高考)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是(　　)
A．y＝x3　　　　　B．y＝|x|＋1 C ．y＝－x2＋1 D．y＝2－|x|

2．(2012·白鹭洲模拟)下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1f(x2)”的是(　　)
A．f(x)＝ B．f(x)＝(x－1)2 C．f(x)＝ex D．f(x)＝ln(x＋1)

3．函数f(x)＝(a>0且a≠1)是R上的减函数，则a的取值范围是 (　　)
A．(01) B．[，1) C．(0，] D．(0，]

4．(2011·重庆高考)下列区间中，函数f(x)＝|ln(2－x)|在其上为增函数的是(　　)
A．(－∞，1] B．[－1，] C．[0，) D．[1,2)

5．函数y＝()2x2－3x＋1的递减区间为(　　)
A．(1，＋∞) B．(－∞，) C．(，＋∞) D．[，＋∞)

6．已知函数f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，在(0，＋∞)上单调递减，且f()>0>f(－)，则方程f(x)＝0的根的个数为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3

二、填空题
7．(2011·江苏高考)函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是________．

8．(2012·扬州模拟)函数f(x)＝，g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的递减区间是________．

9．已知函数f(x)＝(a≠1)，若f(x)在区间(0,1]上是减函数，则实数a的取值范围是________．

三、解答题
10．已知函数f(x)对任意的a，b∈R恒有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，并且当x>0时，f(x)>1.
(1)求证：f(x)是R上的增函数；
(2)若f(4)＝5，解不等式f(3m2－m－2)<3.

11．已知f(x)＝(x≠a)．
(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)内单调递增；
(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围．

12．设奇函数f(x)在[－1,1]上是增函数，f(－1)＝－1.若函数f(x)≤t2－2at＋1对所有的x∈[－1,1]，a∈[－1,1]都成立，求t的取值范围．

第八讲 函数的单调性与最值 （教师用书）
一、选择题
1．(2011·全国卷高考)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是(　　)
A．y＝x3　　　　　B．y＝|x|＋1 C ．y＝－x2＋1 D．y＝2－|x|
解析：A选项中，函数y＝x3是奇函数；B选项中，y＝|x|＋1是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数；C选项中，y＝－x2＋1是偶函数，但在(0，＋∞)上是减函数；D选项中，y＝2－|x|＝()|x|是偶函数，但在(0，＋∞)上是减函数．
答案：B
2．(2012·白鹭洲模拟)下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1f(x2)”的是(　　)
A．f(x)＝ B．f(x)＝(x－1)2 C．f(x)＝ex D．f(x)＝ln(x＋1)
解析：由题意可知，函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数．
答案：A
3．函数f(x)＝(a>0且a≠1)是R上的减函数，则a的取值范围是 (　　)
A．(0,1) B．[，1) C．(0，] D．(0，]
解析：据单调性定义，f(x)为减函数应满足：
即≤a<1.
答案：B
4．(2011·重庆高考)下列区间中，函数f(x)＝|ln(2－x)|在其上为增函数的是(　　)
A．(－∞，1] B．[－1，] C．[0，) D．[1,2)
解析：由2－x>0，得x<2，即函数定义域是(－∞，2)．作出函数y＝|ln(－x)|的图象，再将其向右平移2个单位，即函数f(x)＝|ln(2－x)|的图象，由图象知f(x)在[1,2)上为增函数．

答案：D
5．函数y＝()2x2－3x＋1的递减区间为(　　)
A．(1，＋∞) B．(－∞，) C．(，＋∞) D．[，＋∞)
解析：作出t＝2x2－3x＋1的示意图如右，
∵0<<1，
∴y＝()t单调递减．
要使y＝()2x2－3x＋1递减，只需x∈[，＋∞]．答案：D
6．已知函数f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，在(0，＋∞)上单调递减，且f()>0>f(－)，则方程f(x)＝0的根的个数为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
解析因为在(0，＋∞)上函数递减，且f()·f(－)<0，又f(x)是偶函数，
所以f()·f()<0.
所以f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点．
又因为f(x)是偶函数，则它在(－∞，0)上也有唯一的零点，故方程f(x)＝0的根有2个．
答案：C
二、填空题
7．(2011·江苏高考)函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是________．
解析：由题意知，函数f(x)＝log5(2x＋1)的定义域为{x|x＞－}，且函数y＝log5u，u＝2x＋1在各自定义域上都是增函数，所以该函数的单调增区间为(－，＋∞)．
答案：(－，＋∞)
8．(2012·扬州模拟)函数f(x)＝，g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的递减区间是________．
解析：由条件知，g(x)＝
如图所示，其递减区间是[0,1)．
答案：[0,1)
9．已知函数f(x)＝(a≠1)，若f(x)在区间(0,1]上是减函数，则实数a的取值范围是________．
解析：当a－1>0，即a>1时，要使f(x)在(0,1]上是减函数，
则需3－a×1≥0，此时10，此时a<0
所以，实数a的取值范围是(－∞，0)∪(1,3]
答案：(－∞，0)∪(1,3]
三、解答题
10．已知函数f(x)对任意的a，b∈R恒有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，并且当x>0时，f(x)>1.
(1)求证：f(x)是R上的增函数；
(2)若f(4)＝5，解不等式f(3m2－m－2)<3.
解：(1)证明：任取x1，x2∈R, 且x10，∴f(x2－x1)>1.
∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0，即f(x2)>f(x1)．
∴f(x)是R上的增函数．
(2)令a＝b＝2，得f(4)＝f(2)＋f(2)－1＝2f(2)－1，
∴f(2)＝3，
而f(3m2－m－2)<3，∴f(3m2－m－2)0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围．
解：(1)证明：任设x10，x1－x2<0，
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)递增．
(2)任设10，x2－x1>0，
∴要使f(x1)－f(x2)>0，只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立，∴a≤1.综上所述，a的取值范围是(0,1]．
12．设奇函数f(x)在[－1,1]上是增函数，f(－1)＝－1.若函数f(x)≤t2－2at＋1对所有的x∈[－1,1]，a∈[－1,1]都成立，求t的取值范围．
解：∵f(x)是奇函数，
∴f(1)＝－f(－1)＝1，
又f(x)是[－1,1]上的奇函数，
∴当x∈[－1,1]时，f(x)≤f(1)＝1.
又函数f(x)≤t2－2at＋1对所有的x∈[－1,1]都成立，
∴1≤t2－2at＋1⇔2at－t2≤0，
设g(a)＝2at－t2(－1≤a≤1)，欲使2at－t2≤0恒成立，
则⇔t≥2或t＝0或t≤－2.
即所求t的取值范围是(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞)

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