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第四章 一次函数
一、函数及自变量的取值范围
1、函数的相关概念
（1）变量：取值会发生变化的量称为变量
（2）常量：取值固定不变的量称为常量（或常数）.
（3）函数：一般地，如果变量y随着变量x而变化，并且对于x取的每一个值，y都有唯一的一个值与它对应，那么称y是x的函数，记作y=f(x). x叫作自变量，把y叫作因变量
（4）函数值：对于自变量x取的每一个值a，因变量y的对应值称为函数值，记作f(a).
2、函数自变量的取值范围：整式取全体实数；分式则分母不为0；二次根式则根号下的数0；
函数的自变量的取值范围必须使实际问题有意义。
二、函数的表示方法及其图像
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2、函数的表示方法：列表法、公式法、图像法
2、函数图像的画法：列表、描点、连线
三、一次函数及其图像性质
1、定义：如果函数的表达式是关于自变量的一次式，像这样的函数称为一次函数.它的一般形式是：y = kx + b（k，b为常数，k≠0）特别地，当b=0，一次函数y=kx(k为常数，k≠0)也叫作正比例函数，其中k叫作比例系数.
2、一次函数图像与性质：
一次函数的图像是经过点（0，b）、（-b/k ，0）的直线；正比例函数的图像是经过原点（0，0）的直线。
k的符号
b的符号
函数图像
图像特征
k>0
b>0
y
3、 0 x
图像经过一、二、三象限，
y随x的增大而增大。
b<0
y
0
x
图像经过一、三、四象限，
y随x的增大而增大。
b=0
y
o
x
图像经过一、三象限，
y随x的增大而增大。
K<0
b>0
y
0 x
图像经过一、二、四象限，
y随x的增大而减小
b<0
4、 y
0 X
图像经过二、三、四象限，
y随x的增大而减小。
b=0
y
x
o
图像经过二、四象限，
y随x的增大而减小。
注：1、K的正负决定了一次函数图像的走势：
（1）K＞0函数的图像从左至右是上升的 ；
（2）K＜0函数的图像从左至右是下降的 ；
2、b的大小决定了一次函数图像与y轴交点的位置：
（1）b＞0交于y轴的正半轴
（2）b＜0交于y轴的负半轴
（3）b=0 直线经过原点
四、
1、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：
（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；
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（2）将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；
（3）解方程得出未知系数的值；
（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.
2、一次函数的平移求表达式
一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象可以看作由直线y = kx平移│b│个单位长度
而得到（当b＞0时，向上平移； 当b＜0时，向下平移）.
3、同一平面内两直线的位置关系：（例如： ： ）
若且，则； 若，则。
五、一次函数与方程、不等式的关系
1、一次函数与二元一次方程的关系：
一般地， 一次函数y = kx + b 图象上任意一点的坐标
6、都是二元一次方程kx-y + b = 0 的一个解，以二元一次方程kx- y + b = 0的解为坐标的点都在一次函数y = kx + b的图象上.
2、一次函数与一元一次方程的关系：
一般地，一次函数y = kx + b （k≠0） 的图象与x 轴的交点的横坐标是一元一次方程kx + b = 0的解.任何一个一元一次方程kx + b = 0 的解， 就是一次函数y = kx + b 的图象与x 轴交点的横坐标. y = k1x + b1
3、一次函数y = k1x + b1与y = k2x + b2的图
7、像的交点坐标就是方程组
y = k2x + b2
的解。
4、一次函数与不等式的关系
（1）函数y = kx + b的函数值y＞0时自变量x的取值范围就是不等式kx + b＞0的解集，即函数图像位于x轴的上方。
（2）函数y = kx + b的函数值y＜0时自变量x的取值范围就是不等式kx + b＜0的解集，即函数图像位于x轴下方。
六、一次函数的实际应用
1、利用一次函数的性质解决实际问题的步骤
（1）设实际问题中的变量
（2）建立一次函数关系
（3）确定自变量的取值范围
（4）利用函数的性质解决问题
2、一次函数的应用题型
（1）根据实际问题中给出的数据列出相应的函数解析式，解决实际问题
（2）利用一次函数对实际问题中的方案进行比较
（3）结合函数图像解决实际问题
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