反比例函数的概念.doc

反比例函数

教学目标：
（1）从现实情境和已有的知识经验出发，讨论两个变量之间的关系，加深对函数概念的理解.
  （2）经历抽象反比例函数概念的过程，领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念.
（3）结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表达式.
（4）在抽象反比例函数概念的过程，进一步渗透类比、归纳、对应、函数、转化等数学思想方法，发展学生的数学思维，同时进一步体验数学学习活动与人们生活的密切联系性.
学情分析：
在前面的学习过程中，学生对函数的概念，函数所反映的是两个变量之间的关系的内涵有了一定的了解，在已经学习了正比例函数、一次函数后，又一次学习函数，根据变量间的不同变化情况让学生们认识到了另一种函数——反比例函数.学生对函数的意义的理解、数量变化规律的把握有一定的难度，特别是对抽象的表达式中的变量的取值理解不深.因此本节课的教学难点是：领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念.在反比例函数概念的形成过程中，应注重充分利用学生已有的生活经验与背景知识，创设丰富的现实情境，同时充分让学生自主学习与合作交流相结合，通过举例、说理、交流等形式，内化、升华、巩固其知识，让学生揭示规律，形成能力.
教学过程设计：
一、创设情境，提出问题
[活动1]
问题1 面积为12平方厘米的矩形，它的长y(cm)和宽x(cm)之间满足怎样的关系式？
问题2 运动员跑400米，则所用的时间t(分钟)与平均速度v（米/分钟）之间的关系式如何表示？
[教学形式]：学生独立思考完成问题
[设计意图] 本着课程来源于生活的理念，符合学生最近发展区的认知规律，使学生感到亲切、自然，同时学生应用生活经验很容易能够解决这些问题. 因此最大限度地激发学生的学习兴趣，提高学生思考问题的主动性和解决问题的能力，从而培养对数学学科的浓厚兴趣.让学生真正体会到生活处处皆数学，生活处处有函数。 
问题3 思考下面几个问题：
（1）每个表达式中有几个变量？
（2）（学生通过观察会发现有两个变量两个变量之间有联系吗？能具体说一说它们之间的联系吗？研究两个变量之间的关系我们通常用的是哪类数学模型？（函数）每个表达式中出现的两个变量是函数关系吗？
[设计意图]  首先使学生进一步感受到函数是反映现实生活的一种有效模型，在原有函数知识的基础上，进一步深化对函数概念的理解，即明确两点：第一，明确自变量和因变量的关系，在某变化过程中，有两个变量x，y，如果看成y随x的变化而变化，那么x称为自变量，y称为因变量；如果看成x随y的变化而变化，那么y称为自变量，x称为因变量。第二，函数定义的核心是“一一对应”，即给定一个自变量x的值就有唯一确定的因变量y的值和它对应，以此引出课题.
问题4 从这节课开始我们要研究的一类新的函数——反比例函数（教师板书第一章反比例函数），请同学们回忆八年级上学期我们研究一次函数是从哪几个方面进行的？我们研究反比例函数应该从哪些方面进行呢？（这一章中我们首先研究反比例函数的概念、其次研究它的图象和性质，最后研究它的应用，本节课我们先来研究反比例函数概念.）
  [设计意图：初中阶段我们研究任何一类函数的基本思想方法都是先研究概念，然后研究其图象和性质，最后利用函数来解决问题，上述两个问题看似简单，一方面起到了知识的导入的作用，另一面运用类比的思想向学生渗透了研究初等函数的基本方法，为今后研究其它函数给出了思维方向.]
二．循序渐进，学习新知
一）增强感性认识
[活动2]
请同学们看下面两个实际问题：
问题5  我们知道，电流I、电阻R、电压U之间满足关系式U=IR,当U=220V时，你能写出I与R的关系式吗？
问题6  某服装厂承揽一项生产夏凉小衫1600件的任务，计划用t天完成，写出平均每天生产量w（件）与生产时间t（天）之间的函数表达式
 [设计意图] 再通过两个生活中的实际问题得出两个具体的反比例函数，其目的是丰富具体的反比例函数的实例，增强学生对反比例函数的感性认识，为下面归纳、抽象反比例函数的概念做好铺垫.
（二）合作交流、抽象概念
[活动3]
问题7  请同学们观察黑板上这4个表达式有什么共同的特点？
1．引导学生归纳总结共同特点.
①每个表达式中都有2个变量（因变量随自变量变化而变化）1个常数；
②表达式右面是分式形式且常数在分子位置、分母位置只有一个自变量；
③常数为正数且自变量增加因变量随之减小.（因为都是由实际问题得出的表达式）
[设计意图：学生通过观察、比较、归纳发现四个具体的反比例函数共同特点，顺理成章地从对反比例函数的感性认识上升到理性认识，也自然的运用从特殊到一般的思维方法抽象归纳概括出反比例函数概念。有效地突出重点，使学生领会了反比例函数的意义.]
2．由特例抽象概括定义
问题8 这些具有相同特征的函数是一类函数叫做反比例函数，你能根据上述分析的特点类比着正比例函数的定义给反比例函数下一个定义吗？
     教师引导学生归纳总结（剖析概念）
①定义的双重性，即若y是x的反比例函数，则y=，反过来如果y、x满足：y=，则y是x的反比例函数.
②；
③等价形式：；（与正比例函数对比）
三、即时训练、巩固新知
（一）联系生活、深化概念
问题9  反比例函数在生活中的应用是非常广泛的，你还能举出反比例函数的其他实例吗？
【选取学生所举实例中的某个进行说明：例如s、v、t三者之间的关系：当s一定时v是t的反比例函数；当v一定时s=vt s是t的正比例函数】
[设计意图：让学生进一步感受反比例函数是一类反映现实世界特定数量关系的数学模型.学生利用已有的生活经验与刚刚形成的对反比例函数的认识，通过举例、说理、交流达到内化、升华、巩固反比例函数的意义，感受反比例函数与正比例函数的区别与联系，理解反比例函数概念的目的，渗透函数建模的数学思想.]
（二）巩固新知
1. 判断下列函数中y是否为x的反比例函数，若是指出k的值；若不是，请说明理由.
① , ②,③,④, ⑤ , ⑥.
2．一个游泳池蓄水60立方米，设放完池中的水所需时间为y小时，而每小时放水量为x立方米，写出y与x之间的函数关系式，并指出y是x的什么函数？
3. 一个直角三角形两直角边长分别为x和y,其面积为2，请写出y与x之间的函数关系式，并指出y是x的什么函数？
[设计意图：突出反比例函数与现实世界的密切的联系，加深理解反比例函数是刻画现实世界的重要数学模型.一方面使学生感受现实世界反比例函数大量存在，另一方面体会用反比例函数的知识可以分析和解决实际问题，渗透数学函数建模的思想.]