反比例函数第一节.docx

26.1反比例函数
知识概览图
反比例函数的定义
反比例函数
反比例函数的图象与性质

新课导引
【生活链接】学校课外生物小组的同学准备自己动手，用围栏建一个面积为24m2的矩形饲养场（如右图所示），设它的一边长为x(m)，求另一边长y(m)与x(m)之间的函数关系式.
【问题探究】这个函数有什么特点?自变量的取值有什么限制?

教材精华
知识点1反比例函数的定义 重点;理解
一般地,形如(k为常数,k≠0)的函数称为反比例函数,其中x是自变量,y是函数,自变量x的取值范围是不等于0的一切实数,y的取值范围也是不等于0的一切实数,k叫做比例系数,另外,反比例函数的关系式也可写成y=kx-1的形式.
y是x的反比例函数(k≠0) xy=k(k≠0) 变量y与x成反比例,比例系数为k.
拓展 (1)在反比例函数(k≠0)的左边是函数y,右边是分母为自变量x的分式,也就是说,分母不能是多项式,只能是x的一次单项式,如,等都是反比例函数,但就不是关于x的反比例函数.
(2)反比例函数可以理解为两个变量的乘积是一个不为0的常数,因此可以写成y=kx-1或xy=k的形式.
(3)反比例函数中,两个变量成反比例关系.

知识点2用待定系数法确定反比例函数的表达式 难点:运用
由于反比例函数中只有一个待定系数,因此只要有一对对应的x,y值,或已知其图象上一点坐标,即可求出k,从而确定反比例函数的表达式.
其一般步骤:
(1) 设反比例函数关系式(k≠0).
(2) 把已知条件(自变量和函数的对应值)代入关系式,得出关于k的方程.
(3) 解方程,求出待定系数k的值.
(4) 将待定系数k的值代回所设的关系式,即得所求的反比例函数关系式.

知识点3反比例函数图象的画法 难点;运用
反比例函数图象的画法是描点法,其步骤如下:
(1)列表:自变量的限值应以0为中心点,沿0的两边取三对(或三对以上)相反数,分别计算y的值.
(2)描点:先描出一侧,另一侧可根据中心对称的性质去找.
(3)连线:按从左到右的顺序用平滑的曲线连接各点,双曲线的两个分支是断开的,延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势,但永远不能与坐标轴相交.
说明:在图象上注明函数的关系式.
拓展 (1)反比例函数的图象是双曲线,它有两个分支,它的两个分支是断开的.
(2)当k＞0时,两个分支位于第一、三象限；当k﹤0时，两个分支位于第二、四象限.
(3)反比例函数(k≠0)的图象的两个分支关于原点对称.

(4)反比例函数的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交，这是因为x≠0，y≠0.

知识点4反比例函数(k≠0)的性质 难点；灵活应用
(1)如图17-2所示，反比例函数的图象是双曲线，反比例函数的图象是由两支曲线组成的.当k＞0时，两支曲线分别位于第一、三象限内；当k＜0时，两支曲线分别位于第二、四象限内。它们关于原点对称，限图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形.
(2)由反比例函数的图象可知，当k＞0时，在每一象限内，y值随x的增大而减小；当k＜0时，在每一象限内，y值随x的增大而增大.
(3)因为x≠0，所以图象与y轴不可能有交点，国此，不论x取值何值时，y的值永不为0，同理，图象与x轴也不可能有交点.

拓展 (1)反比例函数图象的位置和函数的增减性都是由比例系数k的符号决定的，反过来，由双曲线所在的位置或函数的增减性，也可以判断出k的符号.
(2)反比例函数的增减性，只能在每个象限内讨论，当k＞0时，在每一象限(第一、三象限)y随着x的增大而减小，但不能笼统地说：当k＞0，y随着x的增大而减小.同样当k＜0时，也不能笼统地说：y随x的增大而增大.
【规律方法小结】正比例函数与反比例函数的区别与联系.
函数
正比例函数
反比例函数
关系式
y=kx(k≠0)
(k≠0)
图象
过原点的直线
与坐标轴没有交点的双曲线
自变量的取值范围
全体实数
x≠0的全体实数
图象位置
当k＞0时，图象经过第一、三象限
当k＜0时，图象经过第二、四象限
当k＞0时，图象在第一、三象限
当k＜0时，图象在第二、四象限
性质
当k＞0时，y随x的增大而增大
当k＜0时，y随x的增大而减小
当k＞0时，在每一象限内，y随x的增大而减小
当k＜0时，在每一象限内，y随x的增大而增大
知识点5 反比例函数表达式中k的几何意义 拓展；理解
如图17-3所示，过双曲线上的任意一点P(x,y)作x轴y轴的垂线PM，PN，垂足分别为M，N，所得矩形PMON的面积S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|.
因为，所以xy=k，所以S=|xy|=|k|.
即过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为|k|.
已知反比例函数可求矩形面积，反之，已知矩形面积可求反比例函数.

课堂检测
基础知识应用题
1、若变量y与x成正比例变量x与z成反比例，则 ( )
A.y与z成反比例函数关系 B.y与z成正比例函数关系
C.y与z2成正比例函数关系 D.y与z2成反比例函数关系
2、已知反比例函数的图象经过点(-2，4)，则它的表达式是 .

综合应用题
3、已知正比例函数y=kx和反比例函数的图象都过点A(m，1).求此正比例函数的关系式及另一个交点的坐标.

探索创新题
4、一定质量的氧气，它的密度ρ(kg/m3)是它的体积V(m3)的反比例函数，当V=10时，ρ=1.43.
(1)求ρ与V的函数关系式；
(2)求当V=2时，氧气的密度ρ.

体验中考
1、点P（1，3）在反比例函数(k≠0)的图象上，则k的值是（ ）
A. B.3 C. D.-3
2、已知正比例函数y=kx的图象与反比例函数（k为常数）的图象有一个交点，交点的横坐标是2.
（1）求两个函数图象的交点坐标；
（2）若点A（x1，y1）, B（x2，y2）是反比例函数图象上两点，且x1＜y1，试比较y1，y2的大小.

学后反思

【解题方法小结】
1）求反比例函数解析式的一般方法是待定系数法.由于解析式中只有一个系数k，故只需给出一对x，y的对应值或一个点的坐标即可.
（2）从函数(k≠0)的图象上任意一点向x轴、y轴作垂线，与与两坐标轴构成的矩形的面积均为|k|，一条垂线段与坐标轴及该点与原点的连线构成的直角三角形的面积为

附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、A分析 本题意在考查对反比例函数的理解和灵活运用，由题竟可设y=k1x(k1≠0),(k2≠0)，把代入y= k1x中，得y= k1·.因为k1≠0，k2≠0，所以k1k2≠0，所以是反反函数.
【解题策略】 要注意正比例函数的比例系数和反比例函数的比例系数不一定是同一个.
2、分析 反比例函数中的k等于其图象上某一点的横、纵坐标的积，设反比例函数的表达式为，函数图象过点(-2，4)，所以，所以k=-8，所以函数表达式为.
3、分析 点A的坐标(m,1)同时满足函数y=kx和，所以可以求出m的值，进而求出A点坐标，将其代入y=kx中求得k，再令两个关系式相等，从而求得另一个交点的坐标.
解：因为的图象经过点A(m，1)，则，
所以m=3.
把A(3,1)代入y=kx中，得1=3k，所以.
所以正比例函数关系式为.
由得x=±3.
当x=3时，y=1；当x=-3时，y=-1.
所以另一个交点的坐标为(-3，-1).
【解题策略】 确定解析式的方法是待定系数法，由于正比例函数y=kx只有一个待定系数，因此只需要一对对应值即可.

4、分析 设ρ=，代入数值，求出k，再代入V=2，即可求ρ.
解：(1)设ρ=(k≠0)，
当V=10时，ρ=1.43，所以1.43=，所以k=14.3.
所以ρ与V之间的函数关系式是ρ=.
(2)当V=2时，ρ==7.15.
所以当V=2时，氧气的密度为7.15kg/m3.
【解题策略】 了解密度与体积的关系是解决此题的关键.

体验中考
1、B. 分析 把x=1，y=3代入，k=3.故选B.
2、分析 求两图象交点坐标的实质是解两函数的解析式组成的方程组，根据函数性质可比较当x1＜x2，时的函数值的大小.
解：（1）由题意，得，解得k=1，
所以正比例函数的表达式为y=x，
反比例函数的表达式为.
解，得x=±2.代入y=x，得y=±2.
所以两函数图象的交点坐标为（2，2），（-2，-2）.
（2）因为反比例函数的图象在第一、三象限内，在每一象限内，y的值随x值的增大而减小，所以当x1＜x2＜0时，y1＜y2.
当0＜x1＜x2时，y1＞y2.
当x1＜0＜x2时，因为＜0，＞0，所以y1＜y2.
【解题策略】 本题考查正比例函数与反比例函数的解析式及其性质，注意对x1，x2要分类讨论.

26.2实际问题与反比例函数
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1、理解反比例函数的定义；
2、用待定系数法确定反比例函数的表达式；
3、反比例函数的图象画法，反比例函数的性质；
【重点难点】
1、 用待定系数法确定反比例函数的表达式；
2、 反比例函数的图象画法，反比例函数的性质；

知识概览图
（1）解决问题时常用待定系数法
实际问题与反比例函数 （2）考查函数图象及其性质、考查读图能力,
使我们能从函数图象上得到有价值的信息

新课导引
【生活链接】在压力不变的情况下，某物体承受的压强p（Pa）是受力面积S（m2）的反比例函数，其图象如右图所示.
【问题探究】这个反毙命函数应如何表示？

教材精华
知识点反比例函数在实际问题中的应用 难点；应用
应用反比例函数解决实际问题，我们应抽象概括它的本质特征，将其数学化、形式化，形成数学模型.例如池路程一定时，时间与速度成反比.根据已知条件写出反比例函数的关系式，并能把实际问题反映在函数的图象上，结合图象和性质解决实际.因此利用反比例函数解决实际问题的关键是求出函数的关系式.一般地，建立反比例函数关系式有以下两种方法：
（1）待定数法：若题目提供的信息中明确此函数为反比例函数，则可设出反比例函数关系式为(k≠0)，然后求出k的值即可.
（2）列方程法：若题目信息中变量之间的函数关系不明确，在这种情况下，通常是列出关于函数（y）和自变量（x）的二元一次方程，进而解出函数，便得到函数关系式.
生活中有许许多多成反比例关系的实例.如当路程s一定时，时间t与速度v成反比例关系，可以写成（s是常数）；当矩形面积S一定时，长a与宽b成反比例关系，写成（S的常数）；当面积是常数S时，三角形的底边长y与这一底上的高x成反比例关系，写成（S是常数）.
在物理学上，当功是常数W时，力F与物体在力的方向上通过的位移s成反比例关系，写成（W的常数）；当压力F一定时，压强p与受力面积S之间成反比例关系，写成（F为常数）；在某一电路中，保持电压U不变，，电流I与电阻R成反比例关系，写成（U的常数）.
在利用反比例函数解决实际问题时，一定要注意中k为常数且k≠0这一条件，结合图象说出性质，根据性质大致画出图象及求函数的表达式.
知识拓展 在利用反比例函数解决实际问题时，要根据题目中的实际意义，找到基本的函数关系，再根据需要进行变形或计算.
课堂检测
基础知识应用题
1、一定质量的二氧化碳，当它的体积V=10m3时，它的密度ρ=3.96kg/m3.
（1）求ρ与V的函数关系式；
（2）求当V=5m3时二氧化碳的密度ρ.

综合应用题
2、你吃过拉面吗？实际上，在做拉面的过程中就渗透着数学知识，一定体积的面团做成拉面，面条的总长度y（m）是面条的粗细（横截面面积）S（mm2）的反比例函数，其图象如17-24所示.
（1）写出y与S的函数关系式；
（2）当面条粗1.6mm2时，求面条的总彻底是多少.

3、消费者对于取消市场上使用杆秤的呼声越来越高，原因在于一些不法商贩在卖货时将秤砣挖空，或更换小秤砣，使秤砣较轻，从而欺骗顾客.
（1）如图17-25所示，对于同一个物体，哪个用的是标准秤砣，哪个用的是较轻的秤砣？

（2）写出在称同一物体时，所称得的物体质量y（千克）与所用秤砣质量x（千克）之间满足的关系；
（3）当秤砣较轻时，称得的物体变重，这正好符合哪个函数的哪些性质？

探索创新题
4、小伟欲用撬棍手书撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，分别为1200牛顿0.5米.
（1）动力F和动力臂l有怎样的函数关系式？当动力臂为0.5米时，撬动石头至少需要多大的力？
（2）若想使动力F不超过（1）中手忙脚乱力的一半，则动力臂至少要加长多少？

体验中考
1、水产公司有一种海产品共2104千克，为寻求合适销售价格，进行了8天试销，试销情况如下表：

第1天
第2天
第3天
第4天
第5天
第6天
第7天
第8天
售价x/（元/千克）
400

250
240
200
150
125
120
销售量y/千克
30
40
48

60
80
96
100
观察表中数据，发现可以用反比例函数刻画这种海产品的每天销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）之间的关系.现假定在这批海产品的销售中，每天的销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）之间都江堰市满足这一关系.
（1）写出这个反比例函数的解析式，并实例表格；
（2）在试销8天后，公司决定将这种海产品的销售价格定为150元/千克，并且每天都按这个价格销售，那么余下的这些海产品预计再用多少天可以全部售出？
（3）在按（2）中定价继续销售15天后，公司发现剩余的这些海产品必须在不超过2天内全部售出，此时需要重新确定一个销售价格，使后面两天都按新的价格销售，那么新确定的价格最高不超过每千克多少元才能完成销售任务？

学后反思

【解题方法小结】
（1）深刻理解反比例函数的定义及认真观察总结生活中的数学知识是解决实际问题的关键.
（2）解决跨学科的综合题目，要准确领会相关学科的知识.

附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、分析 由物理知识可知，质量m、体积V、密度ρ之间的关系为，所以求ρ与V之间的函数关系式，只需确定m的值即可.
解：（1）将V=10，ρ=3.96代入，得m=3.96×10=39.6，
所以ρ与V的函数关系式为
（2）当V=5时，(kg/m3).
2、分析 解答此题是关键是正确运用所给条件确定反比例函数的关系式，运用图象信息求函数关系式，点P（4，32）在函数图象上，运用待定系数法求出k值即可.
解：（1）设y与S的函数关系式为，由图象可知，池S=4时，y=32，
所以k=4×32=128，所以y与S的函数关系式为
（2）当S=1.6mm2时，（m），所以面条的总长度为80m.
【解题策略】 首先用待定系数法求出k（有时可根据题意来设）的值，然后根据关系式确定其他的值.
3、解：（1）根据物理中的杠杆原理可知，对于质量一定的物体，力臂L与秤砣的重量G成反比例，图17-25①中的力臂比图17-25②中的力臂长，因此图17-25①中的秤砣重量小于图17-25②中的秤砣重量，即图17-25②中使用的是标准秤砣，图17-25①中使用的是较轻的秤砣.
(2)在称同一物体时，所称得的物体质量y（千克）与所用秤砣质量x（千克）成反比例函数关系.
(3)y与x之间的函数关系式是，当时，y随x的增大而减小，即使用较轻的秤砣称物体时，显示物体的质量比实际质量大，这正好符合反比例函数的性质，当时，在每个象限内，y随x的增大而减小.
【解题策略】 这是一道学科间综合题，利用物理知识中的杠杆原理可解此题.

4、分析 在物理学上有茂名的“杠杆定律”，若两物体与支点的距离反比于其重量，则杠杆平衡，如图17-26所示，即阻力×阻力臂=动力×动力臂.
解：（1）根据“杠杆定律”，有F·l=1200×0.5，
所以
当l=1.5时，
所以动力F与动力臂l的函数关系式是
当动力臂为1.5米时，撬动石头至少需要400牛顿的力.
（2）由（1）得
当时，
3-1.5=1.5（米）
所以若想用力不超过400牛顿的一半，则动力臂至少要加长1.5米.
体验中考
1、分析 （1）由x=400时，y=30得xy=12000，所以；（2）当x=150时，y=80，已经销售了30+40+48+50+60+80+96+100=504（千克），还有2104-504=1600（千克），由（2104-504）÷80可求；（3）由反比例函数的性质可求.
解：（1），补充数据从左到右依次填300，50.
（2）（2104-30-40-48-50-60-80-96-100）÷80-8=20-8=12（天）.
答：预计再用12天可以全部售出.
（3）y=（1600-80×15）÷2=200（千克），则x=60.
答：新确定的价格最高不超过每千克60元才能完成销售任务.

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