专题二第一讲三角函数的图象与性质.doc

第一讲　三角函数的图象与性质

1．(2013·高考浙江卷)函数f(x)＝sin xcos x＋cos 2x的最小正周期和振幅分别是(　　)
A．π，1　　　　　　　　 B．π，2
C．2π，1 D．2π，2
2．(2013·高考浙江卷)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，φ∈R)，则“f(x)是奇函数”是“φ＝”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
3．(2013·荆州市质量检测)将函数y＝sin的图象向左平移个单位，再向上平移2个单位，则所得图象的一个对称中心是(　　)
A．2) B．(，2)
C．(，2) D．(，2)
4．已知函数f(x)＝sin x＋cos x，设a＝f()，b＝f()，c＝f()，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a0，ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示．若函数y＝f(x)在区间[m，n]上的值域为[－，2]，则n－m的最小值是(　　)

A．1　 B．2
C．3 D．4
6．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角θ终边上的一点，且sin θ＝－，则y＝______.
7．(2013·高考江西卷)设f(x)＝sin 3x＋cos 3x，若对任意实数x都有|f(x)|≤a，则实数a的取值范围是________．
8．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象与直线y＝b(0013·高考山东卷)设函数f(x)＝－sin2ωx－sin ωxcos ωx(ω>0)，且y＝f(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为.
(1)求ω的值；
(2)求f(x)在区间[π，]上的最大值和最小值．

11．(2013·山西省诊断考试)已知向量a＝(sin x，1)，b＝(1，cos x)，且函数f(x)＝a·b，f′(x)是f(x)的导函数．
(1)求函数F(x)＝f(x)f′(x)＋f2(x)的最大值和最小正周期；
(2)将f(x)横坐标缩短为原来的一半，再向右平移个单位得到g(x)，设方程g(x)－1＝0在(0，π)上的两个零点为x1，x2，求x1＋x2的值．

答案：
1．【解析】选A.f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝sin(2x＋)，所以最小正周期为T＝＝π，振幅A＝1.
2．【解析】选B.若f(x)是奇函数，则f(0)＝0，所以cos φ＝0，所以φ＝＋kπ(k∈Z)，故φ＝不成立；
若φ＝，则f(x)＝Acos(ωx＋)＝－Asin ωx，f(x)是奇函数．所以f(x)是奇函数是φ＝的必要不充分条件．
3．【解析】选C.将y＝sin(2x＋)的图象向左平移个单位，再向上平移2个单位得y＝sin(2x＋)＋2的图象，其对称中心的横坐标满足2x＋＝kπ，即x＝－，k∈Z，取k＝1，则x＝，故选C.
4．【解析】选B.f(x)＝sin x＋cos x＝2sin(x＋)，因为函数f(x)在[0，]上单调递增，所以f())＝sin 3x＋cos 3x＝2sin，则|f(x)|＝2≤2，要使|f(x)|≤a恒成立，则a≥2.
【答案】[2，＋∞)
8.

【解析】如图，x＝3，x＝6是
y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴，
∴周期T＝6，
∴单调递增区间为[6k，6k＋3]，k∈Z.
【答案】[6k，6k＋3]，k∈Z
9．【解】(1)∵f(x)＝2cos xsin(x＋)－
＝2cos x(sin x＋cos x)－
＝sin xcos x＋cos2x－
＝sin 2x＋(1＋cos 2x)－
＝sin 2x＋cos 2x
＝sin(2x＋)，
∴f(x)的最小正周期为π.
(2)设t＝2x＋，列表如下：
t
0

π

2π
x
－

f(x)
0
1
0
－1
0
则f(x)在一个周期内的图象如图所示．

10．【解】(1)f(x)＝－sin2ωx－sin ωxcos ωx
＝－·－sin 2ωx
＝cos 2ωx－sin 2ωx
＝－sin(2ωx－)．
因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，
又ω>0，所以＝4×.
因此ω＝1.
(2)由(1)知f(x)＝－sin(2x－)．
当π≤x≤时，≤2x－≤.
所以－≤sin(2x－)≤1.
因此－1≤f(x)≤.
故f(x)在区间[π，]上的最大值和最小值分别为，－1.
11．【解】(1)由题意知f(x)＝sin x＋cos x，
∴f′(x)＝cos x－sin x，
∴F(x)＝f(x)f′(x)＋f2(x)
＝cos2x－sin2x＋1＋2sin xcos x
＝1＋sin 2x＋cos 2x＝1＋sin(2x＋)，
∴当2x＋＝2kπ＋，即x＝kπ＋(k∈Z)时，
F(x)max＝1＋，最小正周期为T＝＝π.
(2)由题设得f(x)＝sin(x＋)，
∴g(x)＝sin[2(x－)＋]＝－cos(2x＋)．
∵g(x)－1＝0，∴cos(2x＋)＝－1，
∴cos(2x＋)＝－，
由2x＋＝2kπ＋π或2x＋＝2kπ＋，
得x＝kπ＋或x＝kπ＋，k∈Z.
∵x∈(0，π)，∴x1＝，x2＝，
∴x1＋x2＝π.