寒假高三数学专项复习与自测.doc

寒假高三数学专项复习与自测 目录向量测试17向量测试18向量测试20向量测试08向量测试09正弦定理和余弦定理平面向量基本定理及坐标表示平面向量的概念及运算平面向量的概念及运算(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)一、选择题(每小题6分，共36分)1若A、B、C、D是平面内任意四点，给出下列式子：；.其中正确的有()A0个B1个C2个D3个【解析】式的等价式是，左边，右边，不一定相等；式的等价式是，成立；式的等价式是，成立，故选C.【答案】C2(2008年辽宁高考)已知O、A、B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足20，则等于()A2 B2C. D【解析】方法一：如图，20，()2.方法二：20，2()()0220，2.【答案】A3(2010年福鼎模拟)O是平面上一定点，A、B、C是该平面上不共线的三个点，一动点P满足：()，(0，)，则直线AP一定通过ABC的()A外心 B内心C重心 D垂心【解析】由()，得()，即()，ABC中BC的中线在直线AP上，故直线AP一定通过ABC的重心【答案】C4已知a，b，c，d，且四边形ABCD为平行四边形，则()Aabcd0 Babcd0Cabcd0 Dabcd0【解析】四边形ABCD为平行四边形，即，又a，b，c，d，bacd，即abcd0.【答案】B5(2010年柳州模拟)已知O为ABC内一点，且20，则AOC与ABC的面积之比是()A12 B13C23 D11【解析】设AC的中点为D，则2，2220，即点O为AC边上的中线BD的中点，.【答案】A6(2010年正定模拟)已知向量a、b、c中任意两个都不共线，并且ab与c共线，bc与a共线，那么abc等于()Aa BbCc D0【解析】ab与c共线，ab1c又bc与a共线，bc2a由得：b1ca.bc1cac(11)ca2a，即，abccc0.【答案】D二、填空题(每小题6分，共18分)7已知a与b是两个不共线向量，且向量ab与(b3a)共线，则_.【解析】由已知得abk(b3a)， ，解得.【答案】8(2010年厦门模拟)过ABC的重心G作一直线分别交AB、AC于D、E，若x，y，xy0，则的值为_【解析】如图，题目中未说明是什么直线，可取特殊直线，令直线与BC平行，则，xy，3.【答案】39如图，|1，|，|2，AOBBOC30，用，表示，则_.【解析】作的相反向量，过C作CDOB交直线OA于D，作CEOD交直线OB于E，则，在OCE中，CE2，OE2，22，2.22.【答案】22三、解答题(10,11每题15分，12题16分，共46分)10设i、j分别是平面直角坐标系Ox，Oy正方向上的单位向量，且2imj，nij，5ij，若点A、B、C在同一条直线上，且m2n，求实数m、n的值【解析】(n2)i(1m)j，(5n)i(2)j.点A、B、C在同一条直线上，即，(n2)i(1m)j(5n)i(2)j，解得或.11如图，已知在ABCD中，AHHD，BFMCBC，设a，b，试用a、b分别表示、.【解析】baabbab，ba(b)ba，ab.12设a、b是不共线的两个非零向量(1)若2ab，3ab，a3b，求证：A、B、C三点共线；(2)若8akb与ka2b共线，求实数k的值；(3)设ma，nb，ab，其中m、n、均为实数，m0，n0，若M、P、N三点共线，求证：1.【解析】(1)证明：(3ab)(2ab)a2b，而(a3b)(3ab)2a4b2，与共线，且有公共端点B，A、B、C三点共线(2)8akb与ka2b共线，存在实数，使得8akb(ka2b)(8k)a(k2)b0a与b不共线，8222，k24.(3)证明：M、P、N三点共线，存在实数，使得，ab.a、b不共线，1.平面向量基本定理及坐标表示(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)一、选择题(每小题6分，共36分)1已知a(5，2)，b(4，3)，c(x，y)，若a2b3c0，则c等于()A. B.C. D.【解析】a2b3c(133x,43y)(0,0)，解得.【答案】D2(2008年广东高考)已知平面向量a(1,2)，b(2，m)，且ab，则2a3b()A(2.4) B(3，6)C(4，8) D(5，10)【解析】由向量平行的充要条件得1m2(2)0，解得m4.b(2，4)，2a3b2(1,2)3(2，4)(4，8)【答案】C3设向量a(1，3)，b(2,4)，c(1，2)，若表示向量4a,4b2c,2(ac)，d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为()A(2,6) B(2,6)C(2，6) D(2，6)【解析】由题知：4a(4，12)，4b2c(6,20),2(ac)(4，2)由题意知：4a4b2c2(ac)d0，则(4，12)(6,20)(4，2)d0，即(2,6)d0，故d(2，6)【答案】D4(2008年辽宁高考)已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(1，2)，C(3,1)且2，则顶点D的坐标为()A. B.C(3,2) D(1,3)【解析】设D(x，y)，则(4,3)，(x，y2)，由2得，.顶点D的坐标为.【答案】A5平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知A(3,1)，B(1,3)，若点C满足，其中、R且1，则点C的轨迹方程为()A3x2y110 B(x1)2(y2)25C2xy0 Dx2y50【解析】由已知得(3,1)，(1,3)，设C(x，y)，由，得(x，y)(3,1)(1,3)，解得，又1，(3xy)(3yx)1，即x2y50.【答案】D6已知向量(1，3)，(2，1)，(k1，k2)，若A、B、C三点不能构成三角形，则实数k应满足的条件是()Ak2 BkCk1 Dk1【解析】若点A、B、C不能构成三角形，则向量，共线，(2，1)(1，3)(1,2)，(k1，k2)(1，3)(k，k1)，1(k1)2k0，解得k1.【答案】C二、填空题(每小题6分，共18分)7e1，e2是不共线向量，且ae13e2，b4e22e2，c3e112e2，若b，c为一组基底，则a_.【解析】设a1b2c，则e13e21(4e12e2)2(3e112e2)即e13e2(4132)e1(21122)e2，解得，abc.【答案】b c8已知边长为单位长的正方形ABCD，若A点与坐标原点重合，边AB，AD分别落在x轴，y轴的正方向上，则向量23的坐标为_【解析】由已知得A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，则(1,0)，(0,1)，(1,1)，232(1,0)3(0,1)(1,1)(3,4)【答案】(3,4)9(2010年启东模拟)已知向量集合Ma|a(1,2)(3,4)，R，Nb|b(2，2)(4,5)，R，则MN_.【解析】由(1,2)1(3,4)(2，2)2(4,5)，得，解得，MN(2，2)【答案】(2，2)三、解答题(10,11每题15分，12题16分，共46分)10已知A(1，2)，B(2,1)，C(3,2)和D(2,3)，以、为一组基底来表示.【解析】由已知得：(1,3)，(2,4)，(3,5)，(4,2)，(5,1)，(3,5)(4,2)(5,1)(12,8)设12，则(12,8)1(1,3)2(2,4)，解得，3222.11已知A(1,1)、B(3，1)、C(a，b)(1)若A、B、C三点共线，求a、b的关系式；(2)若2，求点C的坐标【解析】(1)由已知得(2，2)，(a1，b1)A、B、C三点共线，2(b1)2(a1)0，即ab2.(2)2，(a1，b1)2(2，2)，解得，点C的坐标为(5，3)12平面内给定三个向量a(3,2), b(1,2)，c(4,1)回答下列问题：(1)若(akc)/(2ba)，求实数k；(2)设d(x，y)满足(dc)/(ab)且|dc|1，求d.【解析】(1)(akc)/(2ba)，又akc(34k,2k),2ba(5,2)，2(34k)(5)(2k)0，k.(2)dc(x4，y1)，ab(2,4)，又(dc)/(ab)且|dc|1，解得或d或d.正弦定理和余弦定理(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)一、选择题(每小题6分，共36分)1在ABC中，三个角A、B、C的对边边长分别为a3，b4，c6，则bccosAcacosBabcosC的值为()A.B.C. D26【解析】 bccosAcacosBabcosC，故选C.【答案】C2(2008年福建高考)在ABC中，角A、B、C的对边为a、b、c.若(a2c2b2)tanBac，则角B的值为()A. B.C.或 D.或【解析】由(a2c2b2)tanBac得tanB，即cosBtanB，sinB，B或.【答案】D3(2010年威海模拟)已知圆的半径为4，a、b、c为该圆的内接三角形的三边，若abc16，则三角形的面积为()A2 B8C. D.【解析】2R8，sinC，SABCabsinCabc16.【答案】C4在ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若b2c2bca2，且，则角C的值为()A45 B60C90 D120【解析】由b2c2bca2得b2c2a2bc，cosA，A60.又，sinBsinA，B30，C180AB90.【答案】C5在ABC中，已知A120，且，则sinC等于()A. B.C. D.【解析】由，可设AC2k，AB3k(k0)，由余弦定理可得BC24k29k222k3k()19k2，BCk.根据正弦定理可得，sinC.【答案】A6(2008年山东高考)已知a，b，c为ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m(，1)，n(cosA，sinA)若mn，且acosBbcosAcsinC，则角A，B的大小分别为()A.， B.，C.， D.，【解析】因为mn，所以mn0，所以cosAsinA0，即sinAcosA0，所以2sin(A)0，所以A(A为三角形内角)又acosBbcosAcsinC，所以sinAcosBsinBcosAsin2C，所以sin(AB)sin2C，所以sinCsin2C，所以sinC1，所以C.因为ABC，所以B.【答案】C二、填空题(每小题6分，共18分)7(2010年上海春招)在ABC中，若AB3，ABC75，ACB60，则BC等于_【解析】根据三角形内角和定理知BAC180756045.根据正弦定理得，即，BC.【答案】8(2008年浙江高考)在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若(bc)cosAacosC，则cosA_.【解析】由正弦定理，知由(bc)cosAacosC可得(sinBsinC)cosAsinAcosC，sinBcosAsinAcosCsinCcosAsin(AC)sinB，cosA.【答案】9在ABC中，给出以下结论：若a2b2c2，则ABC为钝角三角形；若a2b2c2bc，则角A为60；若a2b2c2，则ABC为锐角三角形；若ABC123，则abc123.其中正确结论的序号是_【解析】由a2b2c2，得b2c2a20，cosAc2，得cosC0，C为锐角，但不能保证A、B都是锐角，故错误由ABC123，得A30，B60，C90，abcsinAsinBsinCsin30sin60sin90112.故错误【答案】三、解答题(10,11每题15分，12题16分，共46分)10在ABC中，若，试判断ABC的形状【解析】由已知，所以.方法一：利用正弦定理边化角由正弦定理，得，所以，即sinCcosCsinBcosB，即sin2Csin2B.因为B、C均为ABC的内角，所以2C2B或2C2B180，所以BC或BC90，所以ABC为等腰三角形或直角三角形方法二：由余弦定理，得，即(a2b2c2)c2b2(a2c2b2)，所以a2c2c4a2b2b4，即a2b2a2c2c4b40，所以a2(b2c2)(c2b2)(c2b2)0，即(b2c2)(a2b2c2)0，所以b2c2或a2b2c20，即bc或a2b2c2.所以ABC为等腰三角形或直角三角形11(2008年海南、宁夏高考)如图，ACD是等边三角形，ABC是等腰直角三角形，ACB90，BD交AC于E，AB2.(1)求cosCBE的值；(2)求AE.【解析】(1)因为BCD9060150，CBACCD，所以CBE15，所以cosCBEcos(4530).(2)在ABE中，AB2，由正弦定理，故AE.12在ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边长，已知a，b，c成等比数列，且a2c2acbc，(1)求A的值；(2)求的值【解析】(1)a，b，c成等比数列，b2ac，又a2c2acbc，b2c2a2bc.在ABC中，由余弦定理得cosA，A60.(2)方法一：在ABC中，由正弦定理得sinB.b2ac，A60，sin60.方法二：在ABC中，由面积公式得bcsinAacsinB.b2ac，A60，sinA.向量测试09一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知是钝角，那么是 不小于直角的正角第二象限的角第一与第三象限的角 第一象限的角2函数（0）的最小正周期是函数的最小正周期的2倍，则的值是 2 1 43 “”是“或”的充要条件 必要不充分条件充分不必要条件 既不充分也不必要条件4已知，若ABC的面积为，则的值组成的集合为 2 2 4，4 2，25把点（2，3）按向量平移得到点（1，2），则把点（7，2）按平移得到点 （8，3） （6，1） （6，3）（8，1）6若向量与不共线，且，则下列结论中正确的是 向量+与垂直 向量与垂直向量+与垂直 向量+与共线7已知P1（，4），P2（5，3），点P在的延长线上，且|=2|，则P点的坐标是（，） （12，2） （，） （2，12）8已知向量与向量的夹角为钝角，则实数x的取值范围是 9给出两个性质： 最小正周期为； 图像关于点对称则同时具有这两个性质的函数是 10给出下列命题：正弦函数在第一象限是增函数；对任意向量与，均有成立；为锐角，则的最小值为；在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=4，b=5，则这样的三角形有两个以上命题中正确的是 11函数的递减区间是 OtI10-1012电流强度（安培）随时间（秒）变化的函数的图像如图所示，则当t=（秒）时的电流强度为A0 B10 C-10 D5二、填空题：(本大题共6题，每小题4分，共24分，将答案填在题中的横线上)13已知，且与方向相反，则_ 14已知，则_15 在ABC中，若，则ABC的形状是 16已知为第三象限的角），则与垂直的单位向量的坐标为 17如右图, 在平面内有三个向量、，满足 ,，与ABC的夹角为，与的夹角为，. 设，则m+n的值为 18已知、为锐角，则与的函数解析式为 ，定义域为 三、解答题：（本大题共5小题，共66分， 19（本小题满分12分）已知，与的夹角为，求向量与的夹角的余弦值20（本小题满分15分）已知函数为常数，xR）.求的最小正周期；若在上最大值与最小值之和为3，求的值；在条件下，把的图像先按向量平移后，再经过伸缩变换后得到的图像，求21 （本小题满分14分）设向量，其中A为锐角三角形中的最大角. 求的取值范围； 若函数，比较与的大小22（本小题满分12分）ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，设 求cosA的值23（本小题满分13分）已知A、B是ABC的两个内角，+，其中、为互相垂直的单位向量，若 求的值 当C为何值时，函数取得最大值？并求出该最大值（参考结论：若a0, b0, 则，当且仅当a=b时取“=”号.）向量测试09参考答案一、选择题：（5分1260分）题号123456789101112答案DCBDACBBDBAA二、填空题：（4分624分）13 14 15直角三角形 16、17 15 18 ，三、解答题：19由题意：. 2分, . 4分 同理可得 6分 8分 10分 12分20 . 3分 最小正周期 5分 由得, . 6分 8分 10分. 12分 （3） 的图像. 14分 Z. 15分21 由题意得：. 2分 . 4分 6分A为锐角三角形中的最大角, 7分 于是， . 即的取值范围是. 8分 法一：由题意得：， ， 11分. 13分由（1）知. .14分法二：时，, 9分在上是增函数， 10分又由知 ，且. 12分. 14分22 法一：由正弦定理得： 3分 ， 4分 ， , . 6分 , , , 8分 . 10分若，则tanA0, 于是tanB0, .8分tanC=. 9分=, 当且仅当即 时，取得最大值，. 10分函数在内是增函数（可以不证明） 11分当，即时， 12分取最大值为. 13分 一、选择题 （每小题4分，共40分）1. 把函数的图象按向量经一次平移后得到的图象，则平移向量等于（ ）.(A)(2，- 1) (B)(- 2，1) (C)(- 2，- 1) (D)(2，1)2. 下列说法中正确的是（ ）.(A)若，则与方向相同(B)若|，则(C)起点不同，但方向相同且模相等的两个向量相等(D)所有的单位向量都相等3. 关于向量、，下列命题正确的是（ ）.(A) (B) (C) (D) 4. 在中，若则是（ ）.(A)等边三角形 (B)等腰三角形 (C)直角三角形 (D) 等腰直角三角形5. 已知则的夹角为（ ）.(A) (B) (C) (D)6. 已知且则点的坐标为（ ）. (A) (B) (C) (D) 7. 已知=，=，=，则是三点、构成三角形的（ ）.（A）充分不必要条件 （B） 必要不充分条件（C） 充要条件 （D）既不充分又不必要条件8. 将函数的图象按向量平移后得到的图象的解析式是（ ）.(A) (B)(C) (D) 9. 在中，已知则等于（ ）. (A) (B) (C) (D) 10. 若为平行四边形的中心， ，则等于（ ）. (A) (B) (C) (D) 二、填空题（每小题4分，共20分）1. 下列命题中：(1)如果非零向量与的方向相同或相反，那么的方向必与、之一的方向相同；(2)如果、均为非零向量，则与一定相等；(3) 时，向量共线且方向相同；(4) 则其中假命题是 .2. 已知点分有向线段的比为，又知则 .3. 若将向量绕原点按逆时针方向旋转，得到向量，则向量的坐标是 .4. 甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为，则甲、乙两楼的高分别是 .5. 已知平行四边形的对角线交于，且则的坐标为 . 三、解答题 （每小题10分，共40分）1. 如图，已知的夹角为，的夹角为，用，表示.2. 已知试问是否存在实数、满足下列两式： ； 如果存在，求出、的值；如果不存在，说明理由.3. 若试求、的夹角的余弦值.4. 在中，三个内角、所对的边分别为、，并且满足试判断的形状.向量测试08（参考答案） 一、选择题 （每小题4分，共40分） 1. A2. C3. A4. B5. B6. C7. B8. A9. D10. B 二、填空题（每小题4分，共20分） 1. .2. 8.3. 4. 米、米.5. 三、解答题 （每小题10分，共40分） 1. 2. 不存在；理由略.3. 4. 直角三角形.向量测试20一，选择题：（5分8=40分） 1，下列说法中错误的是 （ ）A零向量没有方向 B零向量与任何向量平行C零向量的长度为零 D零向量的方向是任意的 2，下列命题正确的是 （ ）A. 若、都是单位向量，则 B. 若=, 则A、B、C、D四点构成平行四边形C. 若两向量、相等，则它们是始点、终点都相同的向量D. 与是两平行向量 3，下列命题正确的是 （ ）A、若，且，则。B、两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同。C、向量的长度与向量的长度相等 , D、若非零向量与是共线向量，则A、B、C、D四点共线。 4，已知向量，若，=2，则 （ ）A1 B. C. D.5，若=（，），=（，），且，则有 （ ） A，+=0， B， =0， C，+=0， D， =0， 6，若=（，），=（，），且，则有 （ ） A，+=0， B， =0， C，+=0， D， =0， 7，在中，若，则一定是 （ ）A钝角三角形B锐角三角形 C直角三角形 D不能确定8，已知向量满足，则的夹角等于 （ ） ABCD二，填空题：（5分4=20分）9。已知向量、满足=1，=3，则 = 10，已知向量（4，2），向量（，3），且/,则 11，.已知 三点A(1,0),B(0,1),C(2,5),求cosBAC = 12，.把函数的图像按向量经过一次平移以后得到的图像，则平移向量是 （用坐标表示）三，解答题：（10分6 = 60分）13，设且在的延长线上，使,，则求点的坐标 14，已知两向量求与所成角的大小，15，已知向量=（6，2），=（3，k），当k为何值时，有 （1）， ? （2）， ? （3），与所成角是钝角 ？16，设点A（2，2），B（5，4），O为原点，点P满足=+，（t为实数）； （1），当点P在x轴上时，求实数t的值； （2），四边形OABP能否是平行四边形？若是，求实数t的值 ；若否，说明理由， 17，已知向量=（3, 4）, =（6, 3）,=（5m, 3m）,（1）若点A、B、C能构成三角形，求实数m应满足的条件；（2）若ABC为直角三角形，且A为直角，求实数m的值 18，20070306已知向量 （1）求向量； （2）设向量，其中，若，试求的取值范围.平面向量单元测试题2答案：一，选择题： A D C D B C C A 二，填空题： 9，2； 10，6； 11， 12， 三，解答题： 13，解法一： 设分点P（x,y），=2，l=2 (x4,y+3)=2(2x,6y), x4=2x+4, y+3=2y12, x=8,y=15, P(8,15)解法二：设分点P（x,y），=2， l=2 x=8, y=15, P(8,15)解法三：设分点P（x,y），, 2=, x=8, 6=, y=15, P(8,15)14，解：=2, = , cos,=, ,= 1200， 15，解：（1），k=1; (2), k=9; (3), k9, k116，解：（1），设点P（x，0）， =(3,2), =+， (x,0)=(2,2)+t(3,2), (2),设点P（x,y），假设四边形OABP是平行四边形， 则有, y=x1, 2y=3x , 又由=+， (x,y)=(2,2)+ t(3,2), 得 , 由代入得：， 矛盾，假设是错误的， 四边形OABP不是平行四边形。17，,解：（1）已知向量若点A、B、C能构成三角形，则这三点不共线， 3分故知实数时，满足的条件 5分（2）若ABC为直角三角形，且A为直角，则， 7分，解得 10分18, 解：（1）令 3分 （2）