高中数学一元二次函数方程和不等式知识总结例题.pdf

1 (每日一练每日一练)高中数学一元二次函数方程和不等式知识总结例题高中数学一元二次函数方程和不等式知识总结例题 单选题 1、若实数 32，13，不等式42(31)+92(23)2恒成立，则正实数的最大值为（）A4B16C72D8 答案：D 分析：令3 1=,2 3=，则(+3)2+(+1)2 2，由权方和不等式和基本不等式得(+3)2+(+1)2 16，即可求解 8 由42(31)+92(23)2得42(31)+92(23)2 因为 32，13，则3 1 0,2 3 0 令3 1=,2 3=则42(31)+92(23)2化为(+3)2+(+1)2 2恒成立，由权方和不等式得(+3)2+(+1)2(+4)2+=(+)+16+8 216+8=16 当且仅当+3=+1+=4，得=53,=73即=73,=109时等号成立 所以16 2 8 故选：D 2、若关于x的不等式|1|成立的充分条件是0 4，则实数a的取值范围是（）A(，1B(，1)2 C(3，)D3，)答案：D 分析：根据充分条件列不等式，由此求得的取值范围.|1|成立的充分条件是0 0，|1|1 1+，所以1 01+4 3.故选：D 3、已知0 2，则=4 2的最大值为（）A2B4C5D6 答案：A 分析：由基本不等式求解即可 因为0 0，则=4 2=2(4 2)2+(42)2=2，当且仅当2=4 2，即=2时，上式取得等号，=4 2的最大值为 2 故选：A 4、若 1，则+11的最小值等于（）A0B1C2D3 答案：D 分析：将+11变形为 1+11+1，即可利用均值不等式求最小值.3 因为 1，所以 1 0，因此+11=1+11+1 2(1)11+1=3,当且仅当 1=11，即=2时，等号成立，所以+11的最小值等于 3.故选：D.5、已知正数x，y满足2+3+13+=1，则+的最小值（）A3+224B3+24C3+228D3+28 答案：A 分析：利用换元法和基本不等式即可求解.令+3=，3+=，则2+1=1，即+=(+3)+(3+)=4(+)，+=+4=(4+4)(2+1)=12+4+24+14 2424+34=2 122+34=22+34，当且仅当4=24，即=2+2，=2+1时，等号成立，故选：A.6、若“2x3”是“x2+mx2m20）”的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（）Am1Bm2Cm3Dm4 答案：C 分析：x2+mx2m20），解得2mxm.根据“2x3”是“x2+mx2m20）”的充分不必要条件，可得2m2，3m，m0.解出即可得出.解：x2+mx2m20），解得2mxm.“2x3”是“x2+mx2m20）”的充分不必要条件，4 2m2，3m，(两个等号不同时取)m0.解得m3.则实数m的取值范围是3，+）.故选：C.7、不等式1+5 62 0的解集为（）A|1或 16B|16 1或 3D|3 2 答案：B 分析：解一元二次不等式，首先确保二次项系数为正，两边同时乘1，再利用十字相乘法，可得答案，法一：原不等式即为62 5 1 0，即(6+1)(1)0，解得16 1，故原不等式的解集为|16 1,1)，则(1)2+(1)2的最小值为()A2B1C4D5 答案：A 分析：将a-1 和b-1 看作整体，由+=(1,1)构造出(1)(1)=1，根据(1)2+(1)2 2(1)(1)即可求解 由+=(1,1)得+1=1，因式分解得(1)(1)=1，则(1)2+(1)2 2(1)(1)=2，当且仅当=2时取得最小值 故选：A 5 9、已知 0，0，+2=1，则1+1的最小值为（）A3+22B12C8+43D6 答案：A 分析：根据基本不等中“1”的用法，即可求出结果.因为 0，0，+2=1，所以(1+1)(+2)=3+2+3+22，当且仅当2=，即=2 1,=222时，等号成立.故选：A.10、已知 2，则+42的最小值为（）A6B4C3D2 答案：A 分析：利用基本不等式可得答案.2，2 0，+42=2+42+22(2)42+26，当且仅当 2=42即=4时，+42取最小值 6，故选：A 填空题 11、若实数 ，则下列说法正确的是_ （1）+；（2）；（3）1 2 答案：（1）6 分析：根据不等式的性质以及特殊值验证法，对四个说法逐一分析，由此确定正确的说法.根据不等式的性质（1）正确；（2）中如果 0时不成立，故错误；（3）若=1,=1时，1 2不成立，故错误.故答案为:（1）小提示：本小题主要考查不等式的性质，属于基础题.12、已知 0,0且12+1+1+1=1，则+的最小值为_.答案：2 分析：令=2+1，=+1，将已知条件简化为1+1=1；将+用,表示，分离常数，再使用“乘 1 法”转化后利用基本不等式即可求得最小值 解：令=2+1，=+1，因为 0,0，所以 1,1，则=12，=1，所以1+1=1,所以+=12+1=2+32=(2+)(1+1)32=12+1+232=+2 22=2，当且仅当=21+1=1，即=2+22，=2+1，即=22时取“=”，所以+的最小值为2.所以答案是：2.13、若不等式2 2 对满足|1的一切实数都成立，则的取值范围是_ 7 答案：2 分析：令()=2+2，依题意可得1 1时()0恒成立，则(1)0(1)，所以 2+2 0 令()=2+2，即()0在|1恒成立，即1 1时()0恒成立，所以(1)0(1)0，即 2+2 0 2+2 0，解 2+2 2或 1；解 2+2 1或 0(,)的解集为|3 4，则2+5+的取值范围为_ 答案：45,+)分析：由一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系，应用韦达定理把,用表示，化待求式为一元函数，再利用基本不等式得结论 8 由不等式解集知 0)，所以22+2=112+2=1+232=13(+)(1+2)32=13(3+2)3213(3+22)32=1+22332=22312，当且仅当=6 32,=32 3时，等号成立，取得最小值 所以答案是：22312 18、已知实数、满足2 +2 3，2 2 0，则3 4的取值范围为_ 答案：7,2 分析：设3 4=(+2)+(2 )，利用待定系数法求出,的值，然后根据不等式的性质即可求解.解：设3 4=(+2)+(2 )，则+2=32 =4，解得=1=2，所以3 4=(+2)+2(2 )，因为2 +2 3，2 2 0，所以3 (+2)2，4 2(2 )0，所以7 3 4 2，所以答案是：7,2.19、若,+，()2=()3，则1+1的最小值为_.答案：2 分析：根据题中所给等式可化为(11)2=，再通过平方关系将其与1+1联系起来，运用基本不等式求解最小值即可.因为()2=()3且,+，则两边同除以()2，得(11)2=，10 又因为(1+1)2=(11)2+41=+41 2 41=4，当且仅当=41，即=2+2,=2 2时等号成立，所以1+1 4=2.故答案为:2 20、若方程x2(m3)xm0 有实数解，则m的取值范围是_ 答案：m|m9 或m1 分析：根据一元二次方程根的判别式，结合解一元二次不等式的方法进行求解即可.由方程x2(m3)xm0 有实数解，(m3)24m0，即m210m90，(m9)(m1)0，m9 或m1.所以答案是：m|m9 或m1 解答题 21、已知a，b都是正数(1)若+=1 2，证明：+4；(2)当 时，证明：+答案：(1)证明见解析(2)证明见解析 分析：（1）根据+=1 2可得+=1，再结合+化简，利用基本不等式证明即可（2）根据证明的不等式逆推即可 11 （1）证明：由+=1 2，得(+)2=1，即+=1+=(+)=1+1=(1+1)(+)=2+2+2=4，当且仅当=14时“=”成立 所以+4（2）要证+，只需证()()0，即证()()0，即证()2(+)0，因为()2 0,+0，所以上式成立，所以+成立 22、实数、满足-3+2，-1-4.(1)求实数、的取值范围；(2)求3-2的取值范围 答案：(1)-2,3，-72,32(2)-4,11 分析：（1）由=12(+)+(-)，=12(+)-(-)根据不等式的性质计算可得；（2）求出3-2=12(+)+52(-)，再利用不等式的性质得解.（1）12 解：由-3+2，-1-4，则=12(+)+(-)，所以-4(+)+(-)6，所以-212(+)+(-)3，即-23，即实数的取值范围为-2,3 因为=12(+)-(-)，由-1-4，所以-4-1，所以-7(+)-(-)3，所以-7212(+)-(-)32，-7232，即实数的取值范围为-72,32（2）解：设3-2=(+)+(-)=(+)+(-)，则+=3-=-2，解得=12=52，3-2=12(+)+52(-)，-3+2，-1-4 -3212(+)1，-5252(-)10，-43-211，即3-2的取值范围为-4,11