九年级数学圆考试题.doc

圆提高测试（一）选择题：（每题2分，共20分）1有4个命题：直径相等的两个圆是等圆；长度相等的两条弧是等弧；圆中最大的弧是过圆心的弧；一条弦把圆分为两条弧，这两条弧不可能是等弧其中真命题是（ ）（A） （B） （C） （D）【提示】长度相等的两弧不一定是等弧，故不对；当弦是直径时，直径把圆分为两个半圆，它们是等弧，故不对【答案】A【点评】本题考查等圆、等弧、直线与弦的概念注意：等弧是能互相重合的两条弧，直径是圆中最大的弦2如图，点I为ABC的内心，点O为ABC的外心，O140，则I为（ ）（A）140 （B）125 （C）130 （D）110【提示】因点O为ABC的外心，则BOC、A分别是所对的圆心角、圆周角，所以O2A，故A14070又因为I为ABC的内心，所以I90A9070125【答案】B【点评】本题考查圆心角与圆周角的关系，内心、外心的概念注意三角形的内心与两顶点组成的角与另一角的关系式3如果正多边形的一个外角等于60，那么它的边数为（ ）（A）4 （B）5 （C）6 （D）7 【提示】正多边形的外角等于它的中心角，所以60，故n6【答案】C【点评】此题考查正多边形的外角与中心角的关系注意：正n边形的中心角为，且等于它的一个外角4如图，AB是O的弦，点C是弦AB上一点，且BCCA21，连结OC并延长交O于D，又DC2厘米，OC3厘米，则圆心O到AB的距离为（ ）（A）厘米 （B）厘米 （C）2厘米 （D）3厘米【提示】延长DO交O于E，过点O作OFAB于F，则CE8厘米由相交弦定理，得DCCEACCB，所以AC2 AC28，故AC2（厘米），从而BC4厘米由垂径定理，得AFFB（24）3（厘米）所以CF32（厘米）在RtCOF中， OF（厘米）【答案】C【点评】本题考查相交弦定理、垂径定理注意：在圆中求线段的长，往往利用相交弦定理、垂径定理进行线段的转换，再结合勾股定理建立等式5等边三角形的周长为18，则它的内切圆半径是（ ）（A）6 （B）3 （C） （D）【提示】等边三角形的边长为6，则它的面积为629又因为三角形的面积等于内切圆的半径与三角形的周长的积的一半，所以9r18（r为内切圆半径）解此方程，得r【答案】C【点评】本题考查等边三角形的面积的求法、内切圆半径的求法注意：求三角形的内切圆的半径，通常用面积法6如图，O的弦AB、CD相交于点P，PA4厘米，PB3厘米，PC6厘米，EA切O于点A，AE与CD的延长线交于点E，AE2厘米，则PE的长为（ ）（A）4厘米 （B）3厘米 （C）厘米 （D）厘米【提示】由相交弦定理，得PAPBPDPC 43PD6 PD2（厘米）由切割线定理，得 AE2EDEC （2）2ED （ED26）解此方程得ED2或ED10（舍去） PE224（厘米）【答案】A【点评】本题考查相交弦定理、切割线定理注意：应用相交弦定理、切割线定理往往建立方程，通过解方程求解7一个扇形的弧长为20p 厘米，面积是240p 厘米2，则扇形的圆心角是（ ）（A）120 （B）150 （C）210 （D）240【提示】设扇形的圆心角为n度，半径为R，则解方程组得【答案】B【点评】本题考查扇形的弧长、面积公式注意：应熟记扇形的弧长公式、扇形的面积公式8两圆半径之比为23，当两圆内切时，圆心距是4厘米，当两圆外切时，圆心距为（ ）（A）5厘米 （B）11厘米 （C）14厘米 （D）20厘米【提示】设两圆半径分别为2 x、3 x厘米，则内切时有3 x2 x4，所以x4于是两圆半径分别为8厘米、12厘米故外切时圆心距为20厘米【答案】D【点评】本题考查两圆内切、外切时，圆心距与两圆半径的关系注意：要理解并记忆两圆的五种位置关系及圆心距与半径的关系9一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则这个圆锥的侧面展开图的圆周角是（ ）（A）60 （B）90 （C）120 （D）180【提示】设圆锥的母线长为a，圆心角度数为n，底面圆的半径为r，则解此方程组，得 n180【答案】D【点评】此题考查圆锥的侧面展开图的概念注意理解圆柱、圆柱的侧面展开图的有关概念10如图，等腰直角三角形AOB的面积为S1，以点O为圆心，OA为半径的弧与以AB为直径的半圆围成的图形的面积为S2，则S1与S2的关系是（ ）（A）S1S2 （B）S1S2 （C）S1S2 （D）S1S2 【提示】设OAa，则S1a2，弓形ACB的面积pa2a2在RtAOB中，ABa，则以AB为直径的半圆面积为p（）2p（a）2pa2则S2pa2（pa2a2）a2【答案】C【点评】本题考查三角形、圆、弓形的面积计算注意：弓形的面积计算方法（二）填空题（每题2分，共20分）11已知O1和O2的半径分别为2和3，两圆相交于点A、B，且AB2，则O1O2_【提示】当两圆在AB的两侧时，设O1O2交AB于C，则O1O2AB，且ACBC， AC1在RtAO2C中，O2C2；在RtAO1C中，O1C O1O22当两圆在AB的同侧时，同理可求O1O22【答案】2【点评】此题考查“两圆相交时，连心线垂直于公共弦”的应用注意：在圆中不要漏解，因为圆是轴对称图形，符合本题条件的两圆有两种情形12已知四边形ABCD是O的外切等腰梯形，其周长为20，则梯形的中位线长为_【提示】圆外切四边形的两组对边之和相等，则上、下底之和为10，故中位线长为5【答案】5【点评】本题考查圆外切四边形的性质注意：本题还可求得圆外切等腰梯形的腰长也为5，即等于中位线长13如图，在ABC中，ABAC，C72，O过A、B两点，且与BC切于点B，与AC交于D，连结BD，若BC1，则AC_【提示】在ABC中，ABAC，则 ABCACB72， BAC36又 BC切O于B， ADBC36 BDC72 ABD723636 ADBDBC易证CBDCAB， BC 2CDCA ADBDBC， CDACADACBC BC2（ACBC）CA解关于AC的方程，得ACBC AC（1）2【答案】2【点评】本题考查弦切角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的性质注意底角为72的等腰三角形的特殊性，底角的平分线把对边分成的两线段的比为，即成黄金比14用铁皮制造一个圆柱形的油桶，上面有盖，它的高为80厘米，底面圆的直径为50厘米，那么这个油桶需要铁皮（不计接缝） 厘米2（不取近似值）【提示】铁皮的面积即圆柱的侧面积与两底的面积的和底面圆面积为p502625p（厘米2），底面圆周长为p5050p（厘米），则铁皮的面积为2625p8050p5250p（厘米2）【答案】5250p厘米2【点评】本题考查圆柱的侧面展开图的面积及圆柱的表面积注意：圆柱的表面积等于侧面积与两底面积之和5已知两圆的半径分别为3和7，圆心距为5，则这两个圆的公切线有_条【提示】 73573， 两圆相交， 外公切线有2条，内公切线有0条【答案】2【点评】本题考查两圆的位置关系及对应的圆心距与两圆半径的关系注意：仅仅从573并不能断定两圆相交，还要看5与73的大小关系16如图，以AB为直径的O与直线CD相切于点E，且ACCD，BDCD，AC8 cm，BD2 cm，则四边形ACDB的面积为_【提示】设AC交O于F，连结BF AB为O的直径， AFB90连结OE，则OECD， ACOEBD 点O为AB的中点， E为CD的中点 OE（BDAC）（82）5（cm） AB2510（cm）在RtBFA中，AFCABD826（cm），AB10 cm， BF8（cm） 四边形ACDB的面积为（28）840（cm2）【答案】40 cm2【点评】本题考查直径的性质、中位线的判定与性质、切线的性质注意：在圆中不要忽视直径这一隐含条件17如图，PA、PB、DE分别切O于A、B、C，O的半径长为6 cm，PO10 cm，则PDE的周长是_图中知，CMR8，MDR8，【提示】连结OA，则OAAP在RtPOA中，PA8（cm）由切线长定理，得EAEC，CDBD，PAPB， PDE的周长为PEDEPDPEECDCPD，PEEAPDDBPAPB16（cm）【答案】16 cm【点评】本题考查切线长定理、切线的性质、勾股定理注意：在有关圆的切线长的计算中，往往利用切线长定理进行线段的转换18一个正方形和一个正六边形的外接圆半径相等，则此正方形与正六边形的面积之比为_【提示】设两正多边形的外接圆半径为R，则正方形面积为4R22 R2，正六边形的面积为6R2R2，所以它们的比为2 R2：R249【答案】49【点评】本题考查正方形、正六边形的面积与外接圆的半径之间的关系注意：正多边形的面积通常化为n个三角形的面积和19如图，已知PA与圆相切于点A，过点P的割线与弦AC交于点B，与圆相交于点D、E，且PAPBBC，又PD4，DE21，则AB_【提示】由切割线定理，得 PA2PDPE PA10 PBBC10 PEPDDE25， BE251015 DB21156由相交弦定理，得 ABBCBEBD AB10156 AB9【答案】9【点评】本题考查切割线定理与相交弦定理的应用，要观察图形，适当地进行线段间的转化20如图，在ABCD中，AB4，AD2，BDAD，以BD为直径的O交AB于E，交CD于F，则ABCD被O截得的阴影部分的面积为_【提示】连结OE、DE ADBD，且AB4，AD2， DBA30，且BD6 BD为直径， DEB90 DEBDsin 3063，BE63 SDEB33 O为BD的中点， SBOESDEB DOBD3，DOE23060， S阴影2（SADBS扇形DOESEOB）2（26p32）3p【答案】【点评】本题考查了勾股定理、扇形面积公式、解直角三角形等知识注意：求不规则图形面积，往往转化为规则图形的面积的和或差的形式（三）判断题（每题2分，共10分）21点A、B是半径为r的圆O上不同的两点，则有0AB2 r（ ）【答案】【点评】因为直径是圆中最大的弦，则判断正确22等腰三角形顶角平分线所在直线必过其外接圆的圆心（ ）【答案】【点评】因为等腰三角形的顶角平分线垂直平分底边，根据垂径定理的推论知，顶角平分线所在直线必过圆心23直角梯形的四个顶点不在同一个圆上（ ）【答案】【点评】若在同一个圆上，则对角互补，故四个角全为直角所以假设不成立，原命题成立24等边三角形的内心与外心重合（ ）【答案】【点评】等腰三角形的顶角的平分线也是对边的中线与高，因此等边三角形的内心与外心重合25两圆没有公共点时，这两个圆外离（ ）【答案】【点评】两圆没有公共点时，既可以是外离，也可以是内含，所以原命题不成立（四）解答题与证明题（共50分）26（8分）如图，ABC内接于O，AB的延长线与过C点的切线GC相交于点D，BE与AC相交于点F，且CBCE，求证：（1）BEDG；（2）CB2CF2BFFE【提示】（1）证明利用弦切角定理进行角之间的转化可证EGCE；把（2）变形为CB2CF2BFFE BFFECFAF， CF2BFFECF2CFAFCF（CFAF）CFCA即只要证CB2CFCA即可，只需证CBFCAB【略证】（1） CG为O的切线， EBCGCE CBCE， EBCE EGCE GCEB（2） EBCEA，FCBO为公共角， CBFCAB CB2CFCACF（CFAF）CF2CFAF由相交弦定理，得 CFFABFFE， CB2CF2BFFE即 CB2CF2BFFE【点评】对于形如a2cdef的等式的证明较困难，因不易找到突破口一般先把待证明的等式进行变形，以便于看出等式中线段之间的联系如本题中，先把CF2移到等式的右边去，再结合相交弦定理找出了思路27（8分）如图，O表示一个圆形工件，图中标注了有关尺寸，且MBMA14，求工件半径的长【提示】把OM向两方延长，交O于点C、D设O的半径为R，则可用相交弦定理求半径长【略解】把OM向两方延长，分别交O于C、D两点设O的半径为R从图中知，AB15 cm又 MBMA14， MB153（cm），MA12 cm从图中知，CMR8，MDR8，由相交弦定理，得 AMBMCMMD 123（R8）（R8）解此方程，得 R10或R10（舍去）故工件的半径长为10 cm【点评】此题是一道实际问题，要善于把实际问题转化为数学问题，因在圆中，OM与AB相交，故向相交弦定理转化28（8分）已知：如图（1），O1与O2相交于A、B两点，经过A点的直线分别交O1、O2于C、D两点（C、D不与B重合），连结BD，过点C作BD的平行线交O1于点E，连BE（1）求证：BE是O2的切线；（2）如图（2），若两圆圆心在公共弦AB的同侧，其他条件不变，判断BE和O2的位置关系（不要求证明） 【提示】（1）过B作O2的直径BH，连结AB、AH，证EBH90（2）用类似的方法去探求【证明】（1）连结AB，作O2的直径BH，连结AH则 ABHH90，HADB，EBAECA ECBD， ADBACEEBA EBAABH90即 EBH90 BE是O2的切线（2）同理可知，BE仍是O2的切线【点评】证明一与圆有公共点的直线是圆的切线的一般方法是过公共点作半径（或直径），再证直径与半径垂直，但此题已知条件中无90的角，故作直径构造90的角，再进行角的转换同时两圆相交，通常作它们的公共弦，这样把两圆中的角都联系起来了另外，当问题进行了变式时，要学会借鉴已有的思路解题29（12分）如图，已知CP为O的直径，AC切O于点C，AB切O于点D，并与CP的延长线相交于点B，又BD2 BP求证：（1）PC3 PB；（2）ACPC【提示】（1）因为BCBPPC，所以要证PC3 BP，即要证BC4 BP，用切割线定理进行转化（2）要证AC等于O的直径，即要证AC2半径只要连结OD，易证BODBAC可利用相似三角形的性质证明结论【略证】（1） BD是O的切线，BPC是O的割线， BD2BPBC BD2 BP， 4 BD2BPBC 4 BPBC BCBPPC， 4 BPBPPC PC3 BP（2）连结DO AB切O于点D，AC切O于点C， ODBACB90 BB， ODBACB AC2 DO PC2 DO ACPC【点评】此题体现了圆幂定理和切线性质定理的应用，解题的关键是善于转化30（14分）如图，已知O是线段AB上一点，以OB为半径的O交线段AB于点C，以线段OA为直径的半圆交O于点D，过点B作AB垂线与AD的延长线交于点E，连结CD若AC2，且AC、AD的长是关于x的方程x2kx40的两个根（1）证明AE切O于点D；（2）求线段EB的长；（3）求tan ADC的值【提示】连结OD、BD（1）证ODA90即可；（2）利用切割线定理，结合一元二次方程根与系数的关系求BE的长；（3）利用相似三角形的比进行转化（1）【略证】连结OD OA是半圆的直径， ADO90 AE切O于点D（2）【略解】 AC、AD的长是关于x的方程x2kx40的两个根，且AC2，ACAD2， AD4 AD是O的切线，ACB为割线， AD2ACAB又 AD2，AC2， AB10则BC8，OB4 BEAB， BE切O于B又 AE切O于点D， EDEB在RtABE中，设BEx，由勾股定理，得（x2）2x2102解此方程，得 x4即BE的长为4（3）连结BD，有CDB90 AD切O于D， ADCABD，且tan ADCtan ABD在ADC和ABD中，AA，ADCABD， ADCABD tan ADC