高三数学圆锥曲线的定义-基本性质(理)人教实验版(A)知识精讲.doc

高三数学圆锥曲线的定义，基本性质（理）人教实验版（A）

【本讲教育信息】
一. 教学内容：
圆锥曲线的定义，基本性质

二. 重点、难点：
1. 第一定义
椭圆：
双曲线：
2. 第二定义

（1）为椭圆
（2）为抛物线
（3）为双曲线

【典型例题】
[例1] 求过且与椭圆共焦点的（1）椭圆方程（2）双曲线方程。
解：（1）设
∴ ∴
（2）设
∴ ∴
另解： ∴
∴ ∴ =6时，双曲线
时，椭圆

[例2] （1）P为椭圆上一点，P不在x轴上，为焦点，，求；（2）P为双曲线上一点，P不在x轴上，为焦点，，求。
解：（1）

∴
∴
∴

（2）

∴

∴
=
[例3] （1）已知椭圆，P为M上一点，，，求离心率；（2）已知双曲线，P为M上一点，，，求离心率。
解：（1）
∴
∴
（2）

∴

[例4] （1）椭圆，A（4，0），B（2，2），P在M上，求的最值；（2）抛物线，A（2，1），为准线，P在M上，求的最值。
解：（1）A为右焦点，设左焦点为F
∴

∴ 最大值为，最小为

（2）设焦点F
∴
∴ 最大值为，最小值为

[例5] （1）双曲线，A（3，2），B（2，0），P为双曲线上一点，求：的最小值；（2）椭圆，，F为左焦点，P为M上一点，求的最小值。（3）抛物线，A（2，1），F为焦点，P为M上一点，求的最小值。
解：（1） ∴
∴
∴
（2）， ∴

（3）

[例6] 已知椭圆C：（）的两个焦点分别为F1，F2，斜率为k的直线过右焦点F2且与椭圆交于A，B两点，与y轴交于M点，且点B分所成的比为2。
（1）若，求离心率的取值范围；
（2）若，并且弦AB的中点到右准线的距离为，求椭圆的方程。
解析：（1）设直线的方程为，则点M（0，）
∵ 点B分的比 ∴
∴ ∴
∴ ∵ ∴
∴ ∴
（2）∵ ∴ 由（1）知，∴
∴ 椭圆方程为
将直线代入椭圆方程得
由韦达定理得，又右准线为
∴ 弦AB中点到右准线距离为
故，解得，从而
∴ 椭圆方程为

[例7] 如图，椭圆与过点A（2，0），B（0，1）的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率。

（1）求椭圆方程；
（2）设F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，M为线段AF2的中点，求证：∠ATM=∠AF1T。
解析：（1）过点A，B的直线方程为
由题意得有唯一解，即有唯一解
∴ ，故
又 ∵ ，即 ∴
从而得
故所求的椭圆方程为
（2证明：由（1）得，故，从而M（）
由解得
∵ T（1，）
∴
又，得
因此

[例8] 已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线右支上，且。
（1）求离心率的最大值，并写出此时双曲线的渐近线方程；
（2）当点P的坐标为时，，求双曲线方程。
解析：（1）∵ ，又
∴ ，设F1（－），F2（c，0），P（）
由，得 ∴ P在双曲线右支上 ∴
即 ∴
的最大值为2，此时 ∴ ，此时渐近线方程为
（2），
∵ ∴
即
当时 ∴
∴ ，解得
即双曲线方程为

[例9] 已知双曲线C的两个焦点为F1，F2，实半轴长与虚半轴长的乘积为。直线过F2点，且与线段F1F2的夹角为，且，与线段F1F2垂直平分线的交点为P，线段与双曲线的交点为Q，且，求双曲线方程。
解：取所在直线为轴，的中垂线为y轴建立直角坐标系如下图所示。设双曲线方程为，用待定系数法求之值。又设

从题设知直线的方程为，即，在方程中令
得点P坐标，因，由定比分点坐标公式可得点Q坐标
∵ 点Q在双曲线上 ∴ ①
又 ② 从题设有 ③
从式①②消去，化简整理得
解此方程得，或（舍去）
∴ （∵ ）④
又从式③④解得
故所求双曲线方程为，从对称性知，双曲线也适合
∴ 双曲线方程为或

[例10] 设A（），B（）两点在抛物线上，是AB的垂直平分线。
（1）当且仅当取何值时，直线经过抛物线的焦点F？证明你的结论；
（2）当直线的斜率为2时，求在y轴上截距的取值范围。
解析：（1）两点到抛物线的准线的距离相等。
∵ 抛物线的准线是x轴的平行线，，依题意不同时为0
∴ 上述条件等价于
∵ ∴ 上述条件等价于
即当且仅当时，经过抛物线的焦点F
（2）设在y轴上的截距为，依题意得的方程为；过点A，B的直线方程可写为，所以满足方程，得
A，B为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式，即
设AB的中点N的坐标为（），则，

由，得，于是
即得在y轴上截距的取值范围为
[例11] 给定抛物线C：，F是C的焦点，过点F的直线与C相交于A，B两点。
（1）设的斜率为1，求与夹角的大小；
（2）设，若，求在y轴上截距的变化范围。
分析：（1）由公式求解。
（2）运用方程的思想建立起与截距的关系式，再由的范围求解。
解析：（1）C的焦点为F（1，0），直线的斜率为1，所以的方程为
将代入方程，并整理得
设，则有

所以与夹角的大小为
（2）由题设得
即 由②得 ∵
∴ ③ 联立①③解得，依题意有
∴ B（）或B（） 又F（1，0），得直线的方程为
或
当时，在y轴上的截距为或
由，可知在[4，9]上是递减的
∴
直线在y轴上截距的变化范围为

【模拟试题】
1. 若，方程表示焦点在y轴上的椭圆，则取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2. 设椭圆（，且）的焦点为F1，F2，CD为过焦点F1的弦，则△CDF2的周长是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点P在椭圆上，若P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为（ ）
A. B. 3 C. D.
4. 若椭圆的左、右焦点分别为线段F1F2被抛物线的焦点分成5：3两段，则此椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）
A. B. C. D.
6. 如果双曲线上一点P到双曲线右焦点的距离是2，那么点P到y轴的距离是（ ）
A. B. C. D.
7. 过双曲线的右焦点作直线，交双曲线于A，B两点，若，则这样的直线有（ ）
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条
8. 已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，P是准线上一点，且，，则双曲线的离心率是（ ）
A. B. C. 2 D. 3
9. 已知双曲线C：，以C的右焦点为圆心且与C的渐近线相切的圆的半径是（ ）
A. B. C. D.
10. 设P为双曲线上的一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点，若
，则△PF1F2的面积为（ ）
A. B. 12 C. D. 24
11. 抛物线的准线方程是，则的值为（ ）
A. B. C. 8 D. －8
12. 在同一坐标系中，方程与的曲线大致是（ ）

13. 抛物线的焦点是（2，1），准线方程是，则抛物线的顶点是（ ）
A.（0，0） B.（1，0） C.（0，－1） D.（1，1）
14. 过抛物线的焦点的直线交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，则的值是（ ）
A. 12 B. －12 C. 3 D. －3
15. 直线与抛物线交于A，B两点，过A，B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P，Q，则梯形APQB的面积为（ ）
A 48 B. 56 C. 64 D. 72
16. 抛物线上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
17. 过抛物线的焦点F作一直线交抛物线于P，Q两点，若线段PF与FQ的长分别是，则等于（ ）
A. B. C. D.
18. 若点A的坐标为（3，2），F为抛物线的焦点，点P在抛物线上移动，当取最小值时，点P的坐标为（ ）
A.（0，0） B.（－2，－2） C.（2，2） D.（2，0）
19. 抛物线上的点到直线距离的最小值是（ ）
A. B. C. D. 3
20. 设O为坐标原点，F为抛物线的焦点，A为抛物线上一点，若，则点A的坐标为（ ）
A.（2，） B.（1，） C.（1，2） D.（2，）
21. 抛物线的准线方程是（ ）
A. B. C. D.
22. 已知抛物线的焦点为F，点P1（），P2（），P3（）在抛物线上，且，则有（ ）
A. B.
C. D.
23. 设F为抛物线的焦点，A，B，C为该抛物线上三点。若，则（ ）
A. 9 B. 6 C. 4 D. 3
24. 已知点P是抛物线上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A的坐标是，则的最小值是（ ）
A. B. 4 C. D. 5

【试题答案】
1. D 2. D 3. D 4. D 5. A 6. A 7. C 8. B 9. B 10. B
11. B 12. D 13. B 14. D 15. A 16. D 17. C 18. C 19. A 20. B
21. D 22. C 23. B 24. C
用心 爱心 专心