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朱乐平:“圆的认识”教学新研究
一、对“圆的认识”的数学思考
大家知道，在平面几何中，圆的定义可以是：在平面内，到一个定点的距离等于定长的点的集合。有了这个定义，就可以给出圆心、半径与直径的定义：“这个定点叫圆心；连接圆心与圆上任意一点的线段叫半径；经过圆心，两端都在圆上的线段叫直径。”有了圆的定义与各部分名称，就可以研究圆的性质：“在同圆或等圆中，半径（或直径）有无数条，所有的半径（或直径）都相等。直径的长度是半径的2倍。圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。”也就是说，从数学知识前后的逻辑关系来分析，必须要先定义什么叫圆，才可以定义圆的各部分名称，有了圆的定义与各部分名称后才可以研究圆的性质。这种前后的逻辑关系不能调换。
事实上，在逻辑学中，概念的定义有必须遵守的规则。我们知道，虽然定义有多种形式，但在小学中，用得最多的是“属+种差”定义。圆就是用这种方式定义的概念——在平面内，到一个定点的距离等于定长（种差）的点的集合（属概念）。“定义不应该循环”是定义必须遵守的规则之一。也就是说，种差与属概念不能直接或间接地又用被定义概念来说明。否则，就会犯循环定义的逻辑错误。在小学数学中，如果把“在同一个（或两个相等的）圆中，半径（或直径）有无数条，所有半径（或直径）都相等。直径是半径的两倍，半径是直径的一半”这样的表达作为圆的定义，就犯了循环定义的逻辑错误。正如我们不能把梯形的定义说成是“上底与下底平行的四边形是梯形”，把等腰三角形的定义说成是“两腰相等的三角形叫等腰三角形”一样。
二、对“圆的认识”的教学思考
对“圆的认识”的教学思考主要涉及教材编写与课堂教学。
1. 现行教材对“圆的特征”的内容阐述不同、表达形式各异
现行几套教材多数把“圆的认识”的内容放在六年级进行教学，每一套教材都试图引导学生探索圆的特征。研究人教版、北师大版、苏教版三套教材关于“圆的认识”的编排（具体可查阅相应教材，这里不再展示），我们可以看到，没有一套教材明确写出“圆的特征”这样的表达，每一套教材都有自己的表达方式，并且在内容上各有差异。
2. 教师在教学“圆的特征”时，也存在内容上的差异
笔者曾对46位骨干教师进行调查，在被调查的教师中，有30 人曾经教学过“圆的认识”这节课，约占65.2%；有9 人虽然自己没有教学过，但听过这节课，约占19.6%。在回答“圆的特征”有哪些内容时，（1）100%的教师认为，教学“圆的特征”的内容有“在同一个圆内，半径（直径）无数，半径都相等，直径都相等，直径的长度是半径的2 倍”；（2）有16 人认为，除了上面的内容，还要增加“圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴”，约占34.8%；（3）有10 人认为，除了上面（1）（2）的内容，还要增加“圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小”，约占21.7%。由此可见，不同的教师去教学圆的认识，在圆的特征的表达上存在差异。有意思的是，笔者在调查中，同时也问“长方体的特征”有哪些内容。在回答这一问题时，凡是教学过长方体特征或听过这节课的教师给出的回答基本一致，表达的语言也基本相同：长方体有六个面，六个面都是长方形，相对两个面的大小相等；长方体有12 条棱，可以分成三组，每组4 条棱的长度相等；长方体有8 个顶点。笔者查阅了现行的几套小学数学教材后发现，虽然教材对长方体特征的表述形式略有差异，但内容基本一致。可见，教师们对“圆的特征”教学存在内容上的差异，与教材表述特征的不明确和不统一关系较大。
3. 阐述“圆的特征”要相对统一，避免“循环定义”
教学“圆的特征”就是要教学圆的本质属性，无论是教材编写还是教学，圆的本质属性都应该一致，这是教学的科学性要求。而在对本质属性的表达方式上可以有差异，这是教学法的加工。很显然，无论是小学数学教材对“圆的认识”的编写，还是“圆的认识”的课堂教学，都是既要考虑数学理论的科学性，又要考虑小学生的可接受性。为了小学生的可接受性，有时科学性要作适当的“退让”，这是合情合理的，但无论怎么“退让”，都不能出现科学性的错误。我们从观念到行为应该是：在尽量保证“圆的认识”的科学性的前提下，寻找合理的教学方法，设置合适的教学路径；而不是为了尽量保证可接受性，去否定科学性。用半径（或直径）等概念去阐述圆的特征，这种循环的定义方式实质上是有科学性错误的。长方体特征的表达就没有用长、宽、高等概念去阐述，避免了循环定义。笔者认为，长方体特征的阐述是一种既符合科学性，又考虑学生可接受性的好的表达。
在平面几何中，圆的定义揭示了圆的本质属性（圆的特征）。因此，在小学教学圆的认识时，要努力使小学生感知或初步认识到：在平面内，到一个定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。显然，这就需要教学法的加工。现行的浙教版教材在圆的特征的阐述上，做了探索与尝试。教材让学生认识圆的各部分名称后，提出了下面的问题，并给出了圆的特征的描述。

教材试图用学生可以理解的语言，表达出圆的本质属性，既考虑了科学性，又考虑了学生的可接受性。
要寻求小学生可以接受的圆的定义，我们还是要看一看平面几何中，圆概念定义时的不同表达方式。
定义1：平面内与一个定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。
定义2：在平面内，以一固定点为中心，离该中心点一定距离处有一动点，绕着中心保持等距离运动所形成的图形叫做圆。
定义3：在平面内，线段OA 绕着它的端点O 旋转一周，它的另一端点A 所经过的封闭曲线叫做圆。
小学生学习这些定义有困难，是因为数学术语难理解，定义比较抽象。比如，定义1中涉及对“定点、定长和点的集合”这些概念的理解。相对而言，定义3 可能是小学生容易接受的表达，笔者根据定义3 也有一个教学设计（本文不作阐述）。本文想给出一个另外的定义方式，试图既符合科学性又能为小学生接受。这个定义是：在平面内，到一个定点的距离相等的所有点组成的图形叫做圆。在这个定义中，“在平面内”和“定点”是小学生相对理解比较困难的。但这也是学习圆的概念中“必需的”。事实上，从上面的三个定义中，我们可以看到，“在平面内”是它们共同的要求。所以，我们在寻找合适的表达时，很难绕过“在平面内”这个条件。“定点”的概念在数学上常常是指确定的点（特别是在坐标系中），所以这个概念可以用比较直观的方法，当作原始概念一样处理。下面是围绕着这个新的定义给出的教学设计。
三、“圆的认识”教学新设计
（一） 教学目标
1. 通过观察、想象、归纳，经历圆的概念的得出过程，并掌握圆的概念的本质属性。2. 经历圆心、半径与直径等概念的发生过程；掌握圆心、半径与直径等概念。3. 能够独立探索与发现半径与直径的属性以及它们的关系。4. 通过操作、想象培养空间观念。积累从特殊到一般的归纳、概括的经验。
（二） 教学过程与设计意图
1. 讨论游戏的公平性，初步感知圆的特征
上课开始，师生谈话，讨论套圈游戏，出示下图，明确套圈游戏要用的“ 圈—— 圆形环”和“ 立柱——要套住的目标，固定不动的东西”。

（1）教师出示下面三个套圈游戏的实景图，让学生观察并思考这三个游戏的公平性。

（2）教师进一步从上面三个套圈游戏的实景图中抽象出三个相应的数学示意图：要套住的目标是不动的、确定的，称为定点；以一个点表示一个人；三种游戏分别是人站成一直线、站成一个正方形和站成一个圆。

讨论这三种套圈游戏的公平性后，得到：直线和正方形上的所有点到一个定点的距离不是都相等；圆上的所有点，到一个定点的距离都相等。

【设计意图】从学生比较熟悉的套圈游戏入手，教学的起点比较低，有利于学生的参与。从套圈游戏的实物情景图中抽象出数学的示意图，这是一个数学化的过程，有利于培养学生的符号感。把套圈游戏中要套住的目标抽象为定点，比较自然，为进一步研究圆的概念打下了基础。讨论三个套圈游戏的公平性，能够引导学生去考虑两点之间的距离问题，并关注许多点到一个定点的距离是否都相等的问题，得到圆上的点到定点的距离都相等的结论，这是学生初步感知到圆的本质属性，为进一步抽象出圆的定义奠定了基础。
2. 想象与观察点组成的图形，进一步感知圆的本质属性

（1）让学生思考和想象：到一个定点的距离等于2厘米的所有点组成一个什么图形？先让学生独立思考，再请个别学生回答，教师给出适当的评价。然后让学生思考，如果要把满足条件的这些点一个一个地画出来，我们可以怎么画？
让个别学生表达画的方法后，教师演示画出一部分点的过程，让学生观察并想象，如果把所有到一个定点的距离等于2 厘米的点都画出来，会是一个什么图形？分别依次出示下面的六个图。

通过观察与想象后得到：到一个定点的距离等于2 厘米的所有点组成的图形是一个圆。
（2）继续让学生想象：到一个定点的距离等于3 厘米的所有点组成一个什么图形？学生想象后，分别依次出示下面的三个图，让学生观察与思考。

通过观察与想象? 后? 1得3?到：到一个定点的距离等于3 厘米的所有点组成的图形是一个圆。
（3）进一步让学生想象：到一个定点的距离等于3米的所有点组成一个什么图形？通过上面的过程，学生很快发现，这样可以写出很多很多类似的话。到底什么叫做圆呢？让学生独立写一写。
【设计意图】这个环节是在学生初步感知圆的本质属性的基础上，进一步探索圆的定义的过程。在这个环节中，通过学生的想象、观察，能够建立一个一个特殊的圆，即“到一个定点的距离等于2厘米（3厘米，3米，5毫米等）的所有点组成的图形是一个圆”。这些特殊的圆的建立为学生进一步的归纳与抽象奠定了良好的基础。同时，这个过程也有利于培养学生的空间观念。

3. 独立思考，归纳圆的特征，书面表达圆的概念
让学生独立解决下面的问题：到一个定点的距离等于2厘米的所有点组成的图形是一个圆。
到一个定点的距离等于3厘米的所有点组成的图形是一个圆。
到一个定点的距离等于3米的所有点组成的图形是一个圆。
到一个定点的距离等于5毫米的所有点组成的图形是一个圆。
……
像上面这样可以一直写下去，写也写不完。
请你写出一两句话，能够说出什么叫做圆。试一试，写一写。
【设计意思】这个环节是让每一个学生独立思考，自己写一写圆的定义，一方面，基于六年级学生的能力，学生写出圆的定义是有可能的，最主要的是学生以前多次经历过归纳推理的过程，也已经学习了用字母表示数，这样从特殊到一般，或从具体到抽象的过程，学生是有可能完成的；另一方面，这样的几何概念的定义，学生要能够抓住圆的本质属性，并用恰当的数学语言表达出来，会有一定的难度。无论是能够比较好地表达圆的定义的学生，还是对定义表达有困难的学生，经历这个过程都是有较大价值的。
4. 交流独立思考的成果，明确圆的概念
（1）以四人小组为单位交流；每一个同学要在小组内表达自己认为的什么叫做圆，并注意倾听同伴的发言。在表达与倾听中，比较圆概念的不同表达方式。
（2）全班交流。在小组交流的基础上，全班交流圆概念的不同表达方式，并比较各种表达方式的特点。
学生独立思考概括圆的概念时，可能的表达：① 到一个定点的距离等于一个长度的所有点组成的图形叫做圆；② 到一个定点的距离等于n的所有点组成的图形叫做圆；③ 到一个定点的距离等于一个确定长度的所有点组成的图形叫做圆；④ 到一个定点的距离相等的所有点组成的图形叫做圆；⑤ 到一个定点的距离等于100千米的所有点组成的图形叫做圆；⑥ 到一个定点的距离等于1厘米，2厘米，3厘米，……长度的所有点组成的图形叫做圆；⑦ 没有角，只有一条边，是一条弯的线围成的图形是圆。
让学生比较各种不同的表达，分析各种表达的特点。通过比较后得到，前面的四种表达方式都说出了什么叫做圆，都是很好的表达方式；相比较而言，第④种表达比较简练，即“到一个定点的距离相等的所有点组成的图形叫做圆”。教师板书这个圆的定义，并让学生齐读一遍。

（3）比较圆与球的差异，初步感知“在平面内”的含义。

教师先出示前两个图形，一个是圆，一个是球。在学生认识球后，再把球的实物图换成第三幅图。让学生比较圆与球的不同之处，得出：圆是一个平面图形，球是一个立体图形。教师进一步说明：为了区别这两个都是“圆圆的”图形，人们在阐述圆的概念时，会强调在平面内，并在上面得出的圆的概念前，添上“在平面内”。从而出现完整的圆的定义：在平面内，到一个定点的距离相等的所有点组成的图形叫做圆。让学生齐读一遍。
【设计意图】这个环节主要是两个层次的内容。第一层次的内容是学生交流与比较。在上一个环节学生独立思考表达圆概念的基础上，相互交流圆的定义的多种不同的表达方式，比较各种方式的特点，交流分成小组交流与全班交流两种形式，这是一个让学生学习与经历如何表达圆概念本质属性的过程，体会到特殊与一般的关系。第二层次的内容是进一步明确平面与立体这两个不同的“圆圆的物体”，使得圆的表达更为精确。我们在前测中发现，很多六年级的学生常常分不清“圆”与“球的区别，所以让学生比较这两个图形的差异，并得到圆是平面图形，体会到在表达中强调“在平面内”这个条件的必要性。
5. 观察、比较、思考，认识圆的各部分名称
（1）认识圆心与半径。
教师出示第一幅图，要求学生观察：我们可以在圆内画出很多点，哪一个点是比较特殊的？特殊在哪里？

会有部分学生能够观察到：圆内中心的这个点比较特殊（教师可以进一步问：为什么说这个点是圆的中心）。特殊在它到圆上任意一点的距离都相等，它是中心。这个点我们给它取一个名字叫圆心。一般用字母O 表示，即圆心O（出示第二幅图）。这个点与圆上任意一点，比如与点A连起来，就形成一条线段，这条线段叫圆的半径。即连接圆心与圆上任意一点的线段叫半径，半径的长度一般用r表示（出示第三幅图）。让学生在作业纸的三个圆中，分别画一条半径。
（2）认识直径。
出示第一幅图，教师引导：在圆上我们也可以画出很多点，从这些点到圆心的距离来看，它们都是一样长的，也就是地位是平等的。但如果我们把圆上的两个点连接起来，可以产生很多的线段（出示第二、三幅图），你们看一看，在所有这些线段中，哪一些线段是比较特殊的？引导学生观察后发现：经过圆心的这些线段比较特殊。特殊在两个方面，一方面它们是所有线段中最长的；另一方面是沿这些线对折，圆内这些线的两边的部分能够完全重合，这些线段所在的直线是圆的对称轴。这些线段叫直径，也就是通过圆心，两端在圆上的线段叫做直径，直径的长度一般用d 表示。让学生在作业纸的三个圆中，分别画一条直径。
【设计意图】这个环节是让学生认识圆的各部分名称，主要是认识圆心、半径与直径这三个概念。在这里，虽然圆心、半径与直径的概念是规定的，但这些规定有着合理性。可以想见，圆内有无数多个点，为什么要规定中心的这个点叫圆心？这是因为这个点有着十分特殊的地位！让学生先比较这些点，寻找特殊的点，再给出圆心的概念，这是强调了概念的发生过程，使得学生感受到数学规定的这种合理性。直径的概念得出也有着类似的过程，先让学生仔细观察圆上两点连接起来形成的很多线段，这些线段中，哪一些是比较特殊的，明确了特殊的地方就明确了直径的本质属性，再给出直径的定义。这样的教学过程，有利于学生积累基本活动经验，明确在数学研究中常常会强调或突出那些具有特殊地位的内容。
6. 探索半径、直径的属性与关系
（1）让学生独立思考研究：① 半径、直径的条数；② 半径、直径长度之间的关系。（详见文后所附的学生课堂作业纸）
（2）小组交流研究成果，并确定一个小组的代表向全班汇报。
（3）全班交流，共同归纳得到：在同一个圆里，半径、直径有无数条，它们分别相等；直径是半径的2倍（半径是直径的一半），即d=2r。
【设计意图】在学生较明确圆的定义的背景下，要探索半径与直径的条数，以及它们相互的关系就显得相对比较容易。所以，这一环节不作引导，放手让学生自己独立地探索。从教学实践来看，多数学生是完全有能力独立探索出结果的。然后通过相互交流，使所有的学生都明确结论与理由。
7. 用圆规画圆，并把画圆的过程与圆的各部分名称建立联系

先让学生独立地用圆规画圆，并想一想，说一说如何用圆规画圆。
把画圆的过程与圆的各部分名称联系起来，即用圆规画圆时，针尖扎在纸上的洞——圆心；两脚尖之间的距离——半径。
8. 回顾与总结（略）
笔者运用上面的教学设计，选择了不同类型学校的学生进行教学，并做了前测与后测，学生访谈与课堂观察。从问卷调查的结果与测查所得到数据分析可知，从总体上说，这样的教学设计是可行的，小学生有能力学习比较抽象的圆的定义。

“圆的认识”课堂作业纸

1. 写一写，什么叫做圆？
到一个定点的距离等于2 厘米的所有点组成的图形是一个圆。
到一个定点距离等于3 厘米的所有点组成的图形是一个圆。
到一个定点距离等于3 米的所有点组成的图形是一个圆。
到一个定点距离等于5 毫米的所有点组成的图形是一个圆。……
这样可以一直写下去，写也写不完。请你大胆地写一写，什么叫做圆？
2. 研究半径、直径的条数，它们长度之间的关系。

（1）想一想，半径有多少条？所有半径都相等吗？如果开始想不出，可以先画出一些半径，量一量后再想。
（2）想一想，直径有多少条？所有直径都相等吗？

（3）你一定知道直径比半径要长，那么半径与直径的长度之间有什么关系呢？
（4）上面三个圆的半径都相等吗？ 什么情况下所有的半径会相等？直径呢？
（摘自《小学数学教师》2014年第2期；题图来自网络）