(张祥)高考生物数学模型问题分析.doc

生物高考数学模型问题探讨分析
江苏省扬中高级中学（212200）张祥
(zxiang3838@)
摘要：数理化生是典型的理科，数学是理科学习的工具学科，模型建构是学好理科的一个重要的方法，本文介绍了生物教学中数学建模的几个实例。
1数学模型概念及类型
1.1数学模型概念
数学模型是对于现实世界的一个特定对象，一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的假设，运用适当的数学工具，得到一个数学结构。 简单地说：就是系统的某种特征的本质的数学表达式（或是用数学术语对部分现实世界的描述），即用数学式子（如函数、图形、代数方程、微分方程、积分方程、差分方程等）来描述（表述、模拟）所研究的客观对象或系统在某一方面的存在规律。
1.2数学模型类型
生物学模型可以分为物质形式和思维形式两大类，物质模型分为真实模型、替代模型和人工模拟模型三种类型；思维形式模型分为物理模型、概念模型、数学模型和软件模型。
1.2.1物质形式模型
真实模型.是自然界中实际存在的形式，如摩尔根用果蝇为对象进行遗传规律的研究的；替代模型指的是用替代品代替真实模型进行实验，如用猕猴代替人体进行疫苗研制、药物试验等；人工模拟实验是模拟真实环境进行实验，如生物圈II号就是模拟生物圈进行科学研究而设的。
1.2.2思维形式模型
物理模型是以实物或图画形式反映形态结构或三维结构，如DNA双螺旋结构就是物理模型；概念模型是以图示、文字、符号等组成的流程图形式对事物的规律、机制进行描述，如光合作用示意图、中心法则等模型；数学模型是表达生命活动规律的计算公式、函数式、曲线图以及由实验数据绘制的柱状图、圆饼图。如酶的活性变化曲线、种群生长曲线等。软件模型是用计算机语言编写的，反映量变之间逻辑关系的运用生物程序。如弗里斯特对人口、工业、粮食、环境等综合研究生态系统，就是构建软件模型来研究的。
2 关于遗传规律的计算题
基因对性状的控制历来是学生难以理解和把握的内容，尤其是在遗传概率的的计算方面更是令学生头疼，常规的计算方法如棋盘法、十字相乘法、图表法等，这些方法在解决一些常规、简单的计算题方面还是非常实用而且有效的。但是一旦遇到一些较复杂的计算题，用常规方法计算起来不但复杂而且往往无从下手。这里试图通过构建数学模型，使我们能够从容的去应对一些较复杂的遗传概率计算题。
2．1杂合体自交子代的纯合体和杂合体的比例问题
例1：（上海高考题）基因型为Aa的植株，逐代自交3次，F3纯合体的比例是多少？
常规解法：十字相乘法以及构建图表模型，以构建图表法为例来做一说明
Aa
AA
aa
AA
AA
aa
aa

Aa
AA
AA
aa
aa

Aa
AA
aa

Aa
自交第1次后 自交第2次后 自交第3次后

从上面图表可清晰知道：F3纯合体的比例=1/2 + 1/4 + 1/8 = 7/8
很显然这样做，也很明了、清晰，然而，如果把此题改成如下：
例2：基因型为Aa的植株，逐代自交6次，F6纯合体的比例是多少？
解析：如果再套用上面的构建图表模型的方法来计算就显得很复杂，我们可以根据上面计算中方法中存在的内在规律，就不难推出计算此类题目的数学模型：
1－1/2n
数学模型：纯合体概率（aa+AA）=1－1/2n
2
显性纯合体概率（AA） = 隐性纯合体概率（aa） =—————
杂合体的概率（Aa）= 1/2n
参数的意义：n代表自交的代数
按照此模型上述两题就显得很简单了：F3纯合体的比例= 1－1/23 = 7/8
F6纯合体的比例= 1－1/26 = 63/64
2．2统计学概率计算公式“二项分布”在遗传概率计算中的应用

例3：一对夫妇生三个小孩，生两个女孩的概率是多少？
解析：这类题目若用我们常规的概率计算法简直觉得无从下手，若能将高二数学教材《数学》选修1-2中的“二项分布”运用到这类题目中来，那做起题来就会显得轻松且清晰明了。二项分布是指独立事件重复出现的可能性。
构建数学模型：P（§=k）=Cnk p k（1-pn - k ,k=0,1,2,……,n
1
─
2
1
─
4
P32
—
P22
各参数的意义：k代表独立事件重复出现的次数、n代表试验的总个数、p代表该独立事件单独出现的概率、（n-k）代表其相对事件重复出现的次数、（1-p）代表其相对事件单独出现的概率；在此题中生女孩的概率p=1/2=生男孩的概率=1-p
答案：P（§=2）= C32 (1/22 )（1-1/2）3 -2 = × × = 3/8
若将此题做一个变化，如下：
例4：一对夫妇生三个小孩，至少生两个女孩的概率是多少？
解析：题意是至少两个，则根据上式可得到：
数学模型：P（§≥2）= P(§=2) + P(§=3)
答案：同理可得出，至少生两个女孩的概率是= 3/8 + 1/8 = 1/2
2.3 与氨基酸缩合反应有关的计算题
解决关于缩合反应过程中氨基酸的个数、肽链数、形成的肽键数和脱去的水分之间的数量关系。
例5：血红蛋白的分子中，含有574个氨基酸和4条肽链，问在形成此蛋白质分子时，失去的水分子数和形成的肽键数分别是？
解析：每两个氨基酸缩合脱去1分子水同时形成1个肽键，形成一条肽链时所失去的水分子数比构成此肽链的氨基酸数目少1个。根据此规律得出：
数学模型：C=E=N-M
各参数的意义：C代表脱去的水分数、E代表肽键数、N代表氨基酸的数目、M代表肽链的条数
答案：脱去的水分数=肽键数=氨基酸数目—肽链数=574-4=570
2．4关于蛋白质相对分子质量的计算
例6：组成生物体某蛋白质的12种氨基酸的平均分子相对质量为120，一条含有3条肽链100个肽键的蛋白质的相对分子质量是多少？
解析：根据例1建立的模型可求出氨基酸数目（M+E）及失去的水分子数（肽键数E），可得出：
数学模型：B=（M+E）× A — E×18
各参数的意义：B代表蛋白质的相对分子量、E代表肽键数、M代表肽链的条数、A代表氨基酸的平均相对分子质量、18代表水分子的相对分子质量
答案：蛋白质的相对分子量=（100+3）×120—100×18=10560
2.5建立数学模型估算种群数量（标志重捕法）
例7：在一农庄，第一次抓到45只某种田鼠进行标记，过段时间后再捕到36只，其中有15只标记鼠，问该农庄原有的此种田鼠的总数是多少？
C
模型成立的条件：标志个体在整个调查种群中均匀分布；调查期间没有迁入和迁出、没有新的死亡和出生
D
建立模型：A = B ÷ —
15
36

各参数的意义；A代表该区域内此种田鼠的总数、B代表第一次标记鼠数量、C代表第二次重捕到的标记鼠的数量、D代表第二次重捕到鼠的总数
答案：总数= 45÷——=108
2．6利用数学模型解决种群数量的增长（J型增长和S型增长）
注此方法在高中生物必修3《稳态与环境》第4章第2节“种群数量的变化”（P66）已做了较详细地介绍，这里不再述。
2.7利用数学模型解决生态系统中流量流动的问题
例8：在“棉花→棉蚜→食蚜蝇→瓢虫→麻雀”这条食物链中，如果棉花固定的太阳能总量是5×109千焦，那么，麻雀最多能获得多少能量？
模型成立的条件：相邻两个营养级之间能量的传递效率是相同的；由题意知麻雀要获得最多的能量，传递效率应按照20%来计算，可得出：
建立模型：b = a ×（20%）n-m
各参数的意义；b代表第n营养级获得的能量、a代表第m营养级的总能量、n 和m均代表营养级数
（就本题而言，b代表第5营养级获得的能量、a代表第1营养级的总能量、n 和m分别代表第5和第1营养级）
答案：麻雀获得的能量=5×109×（20%）5-1= 8×106
2.9 在种群基因频率的计算中构建数学模型
例9：如在一个动物种群中，基因型AA的个体所占比例为81%，问这个种群中基因型为aa的个体所占比例是多少？
解析：这道题用书上所介绍的常规方法显然是无从下手的，可借助构建数学模型的方法来解决
模型成立的条件：① 该种群是动物类群 ② 属有性繁殖体系 ③ 群体规模特别大 ④ 完全随即交配 ⑤ 没有发生突变 ⑥ 没有出现迁徙 ⑦ 不受自然选择的影响
构建模型：温迪-哈勃格定律 （p+q）2=1p2+2pq+q2 P= p2 2Q=2pq R= q2
各参数的意义：p和q分别代表以对等位基因的基因频率、P代表显性纯合体的基因型频率、
Q代表杂合体的基因型频率、R代表隐性纯合体的基因型频率
答案：已知AA的频率为81%，得出：AA=81%=A2 推出：A=90% a=10% 结果：aa=（10%）2=1%
2．10 在整个DNA分子中有关DNA两条链碱基数目的计算
这一类的题目在高中生物计算中还是比较普遍的，如果抓不住一定的规律性，有关“遗传的物质基础”的这一类题目对学生来说难度还是较大。我结合教学实践，总结了以下数学模型：
例10：一条双链DNA分子，G + C占全部碱基的44%，其中一条链的碱基中，26%是C，那么其互补链中的A和C分别占该链总碱基的百分比是多少？
解析：在DNA双链中，碱基遵循互补配对原则，即G=C、A=T，则：
数学模型：（C1+G1）%=（C2+G2）%=（C总+G总）%
各参数的意义：数字1代表其中一条链、数字2代表其互补链、A G C T分别代表相应的碱基
推出：C2=24% A2=30%
答案：（C总+G总）%=44%=（C1+G1）%=（C2+G2）%
推出：（A2+G2）%=54%
A1% = 26%
C1% = 20%
2.11 DNA复制中有关核苷酸和碱基数目的计算

例11：一个DNA分子中有100个碱基对，其中有40个腺嘌呤。如果连续复制3次，参与到复制过程中的游离的胞嘧啶脱氧核苷酸的数目是多少？
解析：只要求出一个DNA分子有多少个胞嘧啶。然后根据碱基互补配对原则：A=T、G=C
建立模型：m=（2n－1）×a
各参数的意义：m代表所需某种碱基的数目、n代表复制的次数、a代表一个DNA分子含有的某种核苷酸的数目
答案：所需的胞嘧啶脱氧核苷酸的数目=（23-1）×（100×2-40）=420
2.12．基因控制蛋白质合成过程中有关DNA分子碱基数目的计算
例12：牛胰岛素由51个氨基酸组成，则决定改蛋白质的基因中至少有多少个碱基？
解析：中心法则 DNA（基因）→ mRNA → 蛋白质（多肽）
双链 单链
碱基数 碱基数 氨基酸数
比例 6 ： 3 ： 1
建立模型：DNA（基因）碱基数：mRNA：蛋白质氨基酸数目 = 6 ： 3 ：1
答案：基因中的碱基数=51×6=306
高中生物学科中涉及到数学建模远不止这些，限于篇幅，本文在此只做简要归纳。我们知道，实际问题是复杂多变的，数学建模需要学生具有一定的探索性和创造性。在生物学科教学过程中进行数学建模思想的渗透，不仅可以使学生体会到生物学并非是一门记忆型的自然学科，而且可以使学生感受到利用数学建模的思想结合生物学理论知识，能很好地解决一些生物学实际问题的妙处，进而对生物学产生更大的兴趣。
参考文献
[1] 樊向利.2007.试论模型在高中教学中的应用.中学生物学.2010.第七期.14
[2] 2005.生物学教学.上海：华东师范大学出版社，第6-12期
[3] 2005．中学生物学教学.陕西：陕西师范大学杂志出版社，第8-10期
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