2019高考数学二轮复习专题一三角函数与平面向量第1讲三角函数的图象与性质学案.pdf

1第 1 讲三角函数的图象与性质高考定位三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点内容，主要从以下两个方面进行考查：1.三角函数的图象，主要涉及图象变换问题以及由图象确定解析式问题，主要以选择题、填空题的形式考查；2.利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等，主要以解答题的形式考查.真 题 感 悟1.(2016 浙江卷)设函数f(x)sin2xbsin xc，则f(x)的最小正周期()A.与b有关，且与c有关B.与b有关，但与c无关C.与b无关，且与c无关D.与b无关，但与c有关解析因为f(x)sin2xbsin xccos 2x2bsin xc12，其中当b0 时，f(x)cos 2x2c12，f(x)的周期为；b0时，f(x)的周期为2，即f(x)的周期与b有关但与c无关，故选B.答案B 2.(2017 全国卷)函数f(x)15sinx3cosx6的最大值为()A.65B.1 C.35D.15解析cos x6cos2x3sinx3，则f(x)15sinx3sinx365sinx3，函数的最大值为65.答案A 3.(2018 天津卷)将函数ysin2x5的图象向右平移10个单位长度，所得图象对应的函数()A.在区间34，54上单调递增2B.在区间34，上单调递减C.在区间54，32上单调递增D.在区间32，2 上单调递减解 析把 函 数y sin2x5的 图 象 向 右 平 移10个 单 位 长 度 得 函 数g(x)sin2x105 sin 2x的 图 象，由 2 2k 2x2 2k(kZ)得 4kx4k(kZ)，令k1，得34x54，即函数g(x)sin 2x的一个单调递增区间为34，54，故选 A.答案A 4.(2016 浙江卷)已知 2cos2x sin 2xAsin(x)b(A 0)，则A_，b_.解析2cos2xsin 2xcos 2x1sin 2x222cos 2x22sin 2x12sin2x41 Asin(x)b(A0)，A2，b1.答案2 1 考 点 整 合1.常见三种三角函数的图象、性质(下表中k Z)函数ysin x y cos x ytan x图象递增区间2k2，2k22k，2kk2，k2递减区间2k2，2k322k，2k奇偶性奇函数偶函数奇函数3对称中心(k，0)k2，0k2，0对称轴xk2xk周期性222.三角函数的常用结论(1)yAsin(x)，当 k(kZ)时为奇函数；当 k2(kZ)时为偶函数；对称轴方程可由x k2(kZ)求得.(2)yAcos(x)，当 k2(kZ)时为奇函数；当 k(kZ)时为偶函数；对称轴方程可由x k(kZ)求得.(3)yAtan(x)，当 k(kZ)时为奇函数.3.三角函数的两种常见变换4热点一三角函数的图象【例 1】函数f(x)Asin(x)(A，为常数，A0，0，0)的图象如图所示，则f 3的值为 _.解析根据图象可知，A 2，3T411126，所以周期T，2T2.又函数过点6，2，所以有 sin26 1，而 0，所以 6，则f(x)2sin2x6，因此f 32sin2361.答案1 探究提高已知图象求函数yAsin()x(A0，0)的解析式时，常用的方法是待定系数法.由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定；确定 常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置.【训练1】(2018宁波适应考试)已知函数f(x)2sin4xsinx4 23sin(x)cos(x).(1)求f(x)的单调递减区间和f(x)的图象的对称轴；(2)先将函数yf(x)的图象向右平移12个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的 2 倍，纵坐标不变，得到函数yg(x)的图象，求h(x)g(x)2g(x)1 在 0，6上的值域.解(1)f(x)2cosx4sinx43sin 2x sin2x23sin 2xcos 2x35sin 2x2sin2x6.由 2k22x62k32(kZ)，得k6xk23(kZ).所以f(x)的单调递减区间为k 6，k23(kZ).由 2x6k2(k Z)，得xk26(kZ)，故f(x)的图象的对称轴为xk26(kZ).(2)由(1)知f(x)2sin2x6，将函数yf(x)的图象向右平移12个单位长度后得到函数y2sin2x1262sin 2x的图象，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2 倍，纵坐标不变，得到函数g(x)2sin x的图象.所以h(x)g(x)2g(x)14sin2x2sin x 14(sin x14)234.当x0，6时，sin x 0，12.故函数h(x)在 0，6上的值域为34，1.热点二三角函数的性质 考法 1 三角函数性质的应用【例 21】已知函数f(x)sin(x)3cos(x)0，0|2为奇函数，且函数yf(x)的图象的两相邻对称轴之间的距离为2.(1)求f6的值；(2)将函数yf(x)的图象向右平移6个单位后，得到函数yg(x)的图象，求函数g(x)的单调递增区间.解(1)f(x)sin(x)3cos(x)212sin（x）32cos（x）2sinx3.因为f(x)为奇函数，所以f(0)2sin30，又 0|2，可得 3，6所以f(x)2sin x，由题意得222，所以 2.故f(x)2sin 2x.因此f62sin 33.(2)将f(x)的图象向右平移6个单位后，得到f x6的图象，所以g(x)f x62sin2x62sin2x3.当 2k22x32k2(kZ)，即k12xk512(kZ)时，g(x)单调递增，因此g(x)的单调递增区间为k 12，k512(kZ).探究提高对于函数yAsin(x)(A0，0)单调区间的求解，其基本方法是将x 作为一个整体代入正弦函数增区间(或减区间)，求出的区间即为yAsin(x)的增区间(或减区间)，但是当A0，0 时，需先利用诱导公式变形为yAsin(x)，则yAsin(x)的增区间即为原函数的减区间，减区间即为原函数的增区间.考法 2 由三角函数的性质求参数【例 2 2】(1)(2018 全国卷)若f(x)cos x sin x在 a，a 是减函数，则a的最大值是()A.4B.2C.34D.(2)已知 0，在函数y 2sin x与y2cos x的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则 _.解析(1)法一f(x)cos xsin x2cosx4，且函数ycos x在区间 0，上单调递减，则由0 x4，得4x34.因为f(x)在 a，a 上是减函数，所以a4，a34，解得a4，所以 0a4，所以a的最大值是4，故选 A.法二因为f(x)cos xsin x，所以f(x)sin xcos x，则由题意，知f(x)sin xcos x0在 a，a 上恒成立，即sin xcos x0，7即2sinx40 在 a，a 上恒成立，结合函数y2sinx4的图象可知有a40，a4，解得a4，所以 00，xk4(kZ).设距离最短的两个交点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，不妨取x14，x254，则|x2x1|544.又结合图形知|y2y1|2 2222222，且(x1，y1)与(x2，y2)间的距离为23，(x2x1)2(y2y1)2(23)2，2(22)212，2.答案(1)A(2)2探究提高此类题属于三角函数性质的逆用，解题的关键是借助于三角函数的图象与性质列出含参数的不等式，再根据参数范围求解.或者，也可以取选项中的特殊值验证.考法 3 三角函数图象与性质的综合应用【例2 3】(2018北京海淀区期末)设函数f(x)sin2x23sin xcos xcos2x(x R)的图象关于直线x 对称，其中，为常数，且 12，1.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若yf(x)的图象经过点4，0，求函数f(x)在x 0，2上的值域.解(1)因为f(x)sin2x23sin xcos xcos2x cos 2 x3sin 2x2sin2x6，由直线x 是yf(x)图象的一条对称轴，可得sin261，8所以 2 6k2(kZ)，即 k213(k Z).又 12，1，kZ，所以k1，故 56.所以f(x)的最小正周期是65.(2)由(1)知f(x)2sin53x6，由yf(x)的图象过点4，0，得f 40，即 2sin5346 2sin42，即 2.故f(x)2sin53x62.x 0，2，53x6 6，23，sin53x6 12，1，函数f(x)的值域为 12，22.探究提高求三角函数最值的两条思路：(1)将问题化为yAsin(x)B的形式，结合三角函数的性质或图象求解；(2)将问题化为关于sin x或 cos x的二次函数的形式，借助二次函数的性质或图象求解.训练 2(2017浙江卷)已知函数f(x)sin2xcos2x23sin xcos x(xR).(1)求f 23的值；(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.解(1)f(x)sin2xcos2x23sin xcos x cos 2x3sin 2x 2sin2x6，则f 23 2sin4362.(2)f(x)的最小正周期为.由正弦函数的性质，令 2k22x62k32，kZ，得k6xk23，kZ.9所以函数f(x)的单调递增区间为k6，k23，kZ.1.已知函数yAsin(x)B(A 0，0)的图象求解析式(1)Aymaxymin2，Bymaxymin2.(2)由函数的周期T求 ，2T.(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求.2.运用整体换元法求解单调区间与对称性类比y sin x的性质，只需将yAsin(x)中的“x”看成ysin x中的“x”，采用整体代入求解.(1)令 xk2(kZ)，可求得对称轴方程；(2)令 xk(k Z)，可求得对称中心的横坐标；(3)将 x 看作整体，可求得yAsin(x)的单调区间，注意 的符号.3.函数yAsin(x)B的性质及应用的求解思路第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成yAsin(x)B(一角一函数)的形式；第二步：把“x”视为一个整体，借助复合函数性质求yAsin(x)B的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题一、选择题1.(2018 全国卷)函数f(x)tan x1tan2x的最小正周期为()A.4B.2C.D.2解析f(x)tan x1tan2xsin xcos x1sin2xcos2xsin xcos xcos2xsin2x sin xcos x12sin 2x，所以f(x)的最小正周期T22.故选 C.答案C 2.已知曲线C1：ycos x，C2：ysin2x23，则下面结论正确的是()10A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6个单位长度，得到曲线C2B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12个单位长度，得到曲线C2C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6个单位长度，得到曲线C2D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12个单位长度，得到曲线C2解析易知C1：ycos xsinx2，把曲线C1上的各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数ysin2x2的图象，再把所得函数的图象向左平移12个单位长度，可得函数ysin2x122 sin2x23的图象，即曲线C2，因此 D项正确.答案D 3.(2018 金华一中调研)已知f(x)asin xbcos x，若f 4xf 4x，则直线axbyc 0 的倾斜角为()A.4B.3C.23D.34解析在f4xf4x中，令x4.得f(0)f2，即ba，直线axbyc0 的斜率kab 1.因此直线的倾斜角为34.答案D 4.(2018 全国卷)已知函数f(x)2cos2xsin2x2，则()A.f(x)的最小正周期为，最大值为3 B.f(x)的最小正周期为，最大值为4 C.f(x)的最小正周期为2，最大值为3 D.f(x)的最小正周期为2，最大值为4 11解析易知f(x)2cos2xsin2x2 3cos2x1 3cos 2x12132cos 2x52，则f(x)的最小正周期为，当xk(kZ)时，f(x)取得最大值，最大值为4.故选 B.答案B 5.(2018 北京卷改编)设函数f(x)cos x6(0).若f(x)f4对任意的实数x都成立，则 的最小值为()A.23B.32C.34D.43解析由于对任意的实数都有f(x)f4成立，故当x4时，函数f(x)有最大值，故f41，462k(k Z)，8k23(kZ)，又 0，min23.答案A 6.设函数f(x)2sin(x)，xR，其中 0，|.若f582，f1180，且f(x)的最小正周期大于2，则()A.23，12B.23，1112C.13，1124D.13，724解析f582，f1180，且f(x)的最小正周期大于2，f(x)的最小正周期为4118583，2323，f(x)2sin23x.2sin2358 2，得 2k12，kZ，又|，取k0，得 12.答案A 7.若将函数y2sin 2x的图象向左平移12个单位长度，则平移后图象的对称轴为()A.xk26(k Z)B.xk26(kZ)12C.xk212(k Z)D.xk212(kZ)解析由题意将函数y2sin 2x的图象向左平移12个单位长度后得到函数的解析式为y2sin2x6，由 2x6k2(kZ)得函数的对称轴为xk26(kZ).答案B 二、填空题8.(2018 丽水调研)已知函数f(x)tan 2x4，则f(x)的最小正周期为_，f 3_.解 析函 数f(x)tan2x4的 最 小 正 周 期 为T2，f3 tan234tan 23tan41tan23tan423.答案223 9.(2018 江苏卷)已知函数ysin(2x)22的图象关于直线x3对称，则 的值是 _.解析由函数ysin(2x)22的图象关于直线x3对称，得 sin23 1，因为2 2，所以6230，0，|2的 部 分 图 象 如 图 所 示，若x1，13x2 6，3，且f(x1)f(x2)，则f(x)_，f(x1x2)_.解析观察图象可知，A 1，T，则 2.又点 6，0 是“五点法”中的始点，2 6 0，3，则f(x)sin2x3.函数图象的一条对称轴为x63212.又x1，x2 6，3，且f(x1)f(x2)，所以x1x2212，则x1x26，因此f(x1x2)sin26332.答案sin2x332三、解答题12.(2018 湖州模拟)已知函数f(x)4sin3xcos x2sin xcos x12cos 4x.(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间；(2)求f(x)在区间0，4上的最大值和最小值.解f(x)2sin xcos x()2sin2x112cos 4x sin 2xcos 2x12cos 4x12sin 4x12cos 4x1422sin4x4.(1)函数f(x)的最小正周期T242.令 2k24x42k32，kZ，得k216xk2516，kZ.所以f(x)的单调递增区间为k216，k2516，kZ.(2)因为 0 x4，所以44x454.此时22sin4x41，所以2222sin4x412，即22f(x)12.所以f(x)在区间0，4上的最大值和最小值分别为12，22.13.(2018 北京卷)已知函数f(x)sin2x3sin xcos x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)若f(x)在区间3，m上的最大值为32，求m的最小值.解(1)f(x)1212cos 2x32sin 2xsin2x612.所以f(x)的最小正周期为T22.(2)由(1)知f(x)sin2x612.由题意知3xm，所以562x62m6.要使得f(x)在3，m上的最大值为32，15即 sin2x6在 3，m上的最大值为1.所以 2m62，即m3.所以m的最小值为3.14.(2018 浙江五校联考)已知函数f(x)cos 2x3sin2xcos2x.(1)求函数f(x)的最小正周期及其图象的对称轴方程；(2)设函数g(x)f(x)2f(x)，求g(x)的值域.解(1)f(x)12cos 2x32sin 2xcos 2xsin2x6.则f(x)的最小正周期为，由 2x6k2(k Z)，得xk23(kZ)，所以函数图象的对称轴方程为xk23(k Z).(2)g(x)f(x)2f(x)sin22x6sin2x6 sin2x612214.当 sin2x612时，g(x)取得最小值14，当 sin2x61 时，g(x)取得最大值2，所以g(x)的值域为14，2.15.(2018 宁波调研)已知函数f(x)sin2xsin x3cos2x32.(1)求f(x)的最大值及取得最大值时x的值；(2)若方程f(x)23在(0，)上的解为x1，x2，求 cos(x1x2)的值.解(1)f(x)cos xsin x32(2cos2x1)12sin 2x32cos 2xsin2x3.16当 2x32 2k(kZ)，即x512k(kZ)时，函数f(x)取最大值，且最大值为1.(2)由(1)知，函数f(x)图象的对称轴为x512k，kZ，当x(0，)时，对称轴为x512.又方程f(x)23在(0，)上的解为x1，x2.x1x256，则x156x2，cos(x1x2)cos562x2 sin2x23，又f(x2)sin2x2323，故 cos(x1x2)23.