大学物理第十二章-习题解答.pdf

1第十二章第十二章静电场中的导体和电介质静电场中的导体和电介质12121212-1 1 11将一个带正电的带电体将一个带正电的带电体 A A AA从远处移到一个不带电的导体从远处移到一个不带电的导体 B B BB附近，则导体附近，则导体 B B BB的电势将如的电势将如何变化何变化.答：电场中通常以无穷远处的电势为零电势参考点。导体 B 离 A 很远时，其电势为零。A带正电，所以其电场中各点的电势均为正值。因此 B 靠近 A 后，处于带电体 A的电场中时，B 的电势为正，因而 B 处的电势升高。12121212-2 2 22如附图所示，一导体球半径为如附图所示，一导体球半径为R R RR1 1 11，外罩一半径为，外罩一半径为R R RR2 2 22的同心薄球壳，外球壳所带总电荷的同心薄球壳，外球壳所带总电荷为为 Q Q QQ，而内球的电势为，而内球的电势为U U UU0 0 00，求此系统的电势和电场分布。，求此系统的电势和电场分布。解：解：根据静电平衡时电荷的分布，可知电场分布呈球对称设内球壳带电量为q取同心球面为高斯面，由高斯定理，根据不同半径的高斯面内的电 02/4dqrErrES S SSE E EE荷分布，解得各区域内的电场分布为rR时，01rERrR2时，2024rqrErR2时，2024rqQrE由电场强度与电势的积分关系，可得各相应区域内的电势分布rR时，2010321144dddd2211RQRqURRRRrrl l llE E EEl l llE E EEl l llE E EEl l llE E EERrR2时，20032244ddd22RQrqURRrrl l llE E EEl l llE E EEl l llE E EErR2时，rQqUr034dl l llE E EE3 3 332由题意得20100144RQRqUU代入电场、电势的分布得rR时，；01E01UURrR2时，；220120124rRQRrURErRQRrrURU2010124)(rR2时，；2201220134)(rRQRRrURErRQRRrURU20120134)(12121212-3 3 33证明：对于两个无限大的平行平面带电导体板来说，证明：对于两个无限大的平行平面带电导体板来说，(1)(1)(1)(1)相向的两面上，电荷的面密度相向的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相反；总是大小相等而符号相反；(2)(2)(2)(2)相背的两面上，电荷的面密度总是大小相等且符号相同。相背的两面上，电荷的面密度总是大小相等且符号相同。证证:如图所示，设两导体、的四个平面均匀带电的电荷面密度依次为，AB123(1)则取与平面垂直且底面分别在、内部的闭合柱面为高斯面时，有4AB0)(d32SSEs203说明相向两面上电荷面密度大小相等、符号相反；(2)在内部任取一点，则其场强为零，并且它是由四个均AP匀带电平面产生的场强叠加而成的，即0222204030201又203143说明相背两面上电荷面密度总是大小相等，符号相同12121212-4 4 44将带电量为将带电量为 Q Q QQ的导体板的导体板 A A AA从远处移至不带电的导体板从远处移至不带电的导体板 B B BB附近，如附图所示，两导体板附近，如附图所示，两导体板的几何形状完全相同，面积均为的几何形状完全相同，面积均为 S S SS，移近后两导体板的距离为，移近后两导体板的距离为 d(dd(dd(dd(d远远小于远远小于).).).).S(1)(1)(1)(1)忽略边缘效应，求两导体板间的电势差；（忽略边缘效应，求两导体板间的电势差；（2 2 22）若将）若将 B B BB接地，结果又将如何？接地，结果又将如何？解解:（）如图(b)所示，依照题意，由电荷守恒可得QS21QS43有静电平衡条件，得041032解得SQ24321两导体板间电场强度为；方向为A 指向BSQE02两导体板间的电势差为SQdUAB02（2）如图(c)所示，导体板B 接地后电势为零0414SQ32两导体板间电场强度为；方向为A 指向BSQE0两导体板间的电势差为：SQdUAB012-512-512-512-5如图所示，由两块相距为如图所示，由两块相距为 0.50mm0.50mm0.50mm0.50mm的薄金属板的薄金属板 A A AA，B B BB构成的空气平板电容器，被屏蔽构成的空气平板电容器，被屏蔽在一个金属盒在一个金属盒 K K KK内，金属盒上，下两壁与内，金属盒上，下两壁与 A A AA、B B BB分别相距分别相距 0.25mm0.25mm0.25mm0.25mm，金属板面积为，金属板面积为 30303030 40m40m40m40mmmmm2 2 22，求：求：(1)(1)(1)(1)被屏蔽后的电容器电容变为原来的几倍；被屏蔽后的电容器电容变为原来的几倍；(2)(2)(2)(2)若电容器的一个引脚不慎与金属屏蔽盒相碰，问此时的电容又为原来的几倍。若电容器的一个引脚不慎与金属屏蔽盒相碰，问此时的电容又为原来的几倍。解：(1)薄金属板 A 和 B 与金属盒一起构成三个电容器,其等效电路图如图(b)所示，AB 间总电容为由于金属板面积很大,各电容器都可当作平行板电容器处理.根据对称性和间隔关系得C2=C3=2C1所以总电容为C=2C1（2）当电容器一个引脚,例如B脚,与屏蔽盒相碰时,则BK间电容不存在,只有两个电容器并联,总电容为C=C1+C2=3C1.12-612-612-612-6有一个平板电容器，充电后极板上电荷面密为有一个平板电容器，充电后极板上电荷面密为，现将两极板与电，现将两极板与电源源250105.4mC断开，然后再把相对电容率为断开，然后再把相对电容率为的电介质插入两极板之间，此时电介质中的的电介质插入两极板之间，此时电介质中的 D D DD、E E EE0.2r和和 P P PP各为多少？各为多少？解：由介质中的高斯定理：0dDSq0D SS-5-204.5 10 C mD23123C CCCCCABKABC1C2K(c)ABC1C2C3K(b)56102.5 10rDEV m 5200(1)2.3 10rPED-EC mD,E,P的方向相同，垂直向下12-712-712-712-7一平行板电容器面积为一平行板电容器面积为S S SS，两板间距离为，两板间距离为d d dd，中间充满均匀电介质，已知当一板带自由，中间充满均匀电介质，已知当一板带自由电荷电荷Q Q QQ时，整块电介质的总偶极矩为时，整块电介质的总偶极矩为P P PP，求电容器中的电场强度。，求电容器中的电场强度。解：由dSCr0SQdCQUr0所以(1)SQEr0而由得SdPP(2)SdPP极化强度：(3)1r0 EP由(1)、(2)、(3)得SdPQE012-812-812-812-8有一个空气平板电容器，极板面积为有一个空气平板电容器，极板面积为S S SS，间距为，间距为d d dd现将该电容器接在端电压为现将该电容器接在端电压为U U UU的的电电源上充电，当（源上充电，当（1 1 11）充足电后；（充足电后；（2 2 22）然后平行插入一块面积相同、厚度为然后平行插入一块面积相同、厚度为 （d d dd）、）、相相对电容率为对电容率为 的电介质板；（的电介质板；（3 3 33）将上述电介质换为同样大小的导体板分别求电容器的将上述电介质换为同样大小的导体板分别求电容器的电电容容C C CC，极板上的电荷，极板上的电荷Q Q QQ和极板间的电场强度和极板间的电场强度E E EE解：解：（1）空气平板电容器的电容dSC00充电后，极板上的电荷和极板间的电场强度为UdSQ00dUE/06（2）插入电介质后，电容器的电容C1为dSSQdSQQCrrr0001/故有dSUUCCrr011介质内电场强度dUSQErr011空气中电场强度dUSQErr011（3）插入导体达到静电平衡后，导体为等势体，其电容和极板上的电荷分别为dSC02UdSQ02导体中电场强度02E空气中电场强度dUE2无论是插入介质还是插入导体，由于电容器的导体极板与电源相连，在维持电势差不变的同时都从电源获得了电荷，自由电荷分布的变化同样使得介质内的电场强度不再等于E0/。12.912.912.912.9一空气平板电容器，空气层厚一空气平板电容器，空气层厚 1.51.51.51.5cmcmcmcm，两极间电压为，两极间电压为 40404040kVkVkVkV，该电容器会被击穿吗？，该电容器会被击穿吗？现现将一厚度为将一厚度为 0.300.300.300.30cmcmcmcm的玻璃板插入此电容器，并与两极平行，若该玻璃的相对电容率为的玻璃板插入此电容器，并与两极平行，若该玻璃的相对电容率为 7.07.07.07.0，击穿电场强度为击穿电场强度为 10101010MVMVMVMV mmmm 1 1 11。则此时电容器会被击穿吗？。则此时电容器会被击穿吗？解：解：未插入玻璃时，电容器内的电场强度为16mV107.2dUE因空气的击穿电场强度Eb=3.0106Vm1，故电容器不会被击穿bEE7插人玻璃后，由习题 12-8 可知，空气间隙中的电场强度16rrmV102.3dVE此时，因，空气层被击穿。击穿后 40 kV 电压全部加在玻璃板两侧，此时玻璃板内的电bEE场强度17mV103.1VE由于玻璃的击穿电场强度Eb=10 MVm1，故，玻璃也将相继被击穿，电容器完全被击bEE穿。12.1012.1012.1012.10一平行板空气电容器，极板面积为一平行板空气电容器，极板面积为S S SS，极板间距为，极板间距为d d dd，充电至带电，充电至带电Q Q QQ后与电源断开，后与电源断开，然然后用外力缓缓地把两极板间距拉开到后用外力缓缓地把两极板间距拉开到 2 2 22d d dd。求：（。求：（1 1 11）电容器能量的改变；（）电容器能量的改变；（2 2 22）此过程中外力）此过程中外力所所作的功，并讨论此过程中的功能转换关系。作的功，并讨论此过程中的功能转换关系。解：解：（1）极板间的电场为均匀场，且电场强度保持不变，因此，电场的能量密度为20220e221SQEw在外力作用下极板间距从d被拉开到 2d。电场占有空间的体积，也由V增加到 2V，此时电场能量增加。SdQVwW02ee2（2）两导体极板带等量异号电荷，外力F F FF将其缓缓拉开时，应有F F FF=F F FF则外力所作的功为SdQQEdA02e2r r rrF F FF外力克服静电引力所作的功等于静电场能量的增加。12-1112-1112-1112-11在半径为在半径为的金属球之外包有一层外半径为的金属球之外包有一层外半径为的均匀电介质球壳，介质相对介电常的均匀电介质球壳，介质相对介电常1R2R数为数为，金属球带电，金属球带电试求：试求：rQ(1)(1)(1)(1)电介质内、外的场强；电介质内、外的场强；(2)(2)(2)(2)电介质层内、外的电势；电介质层内、外的电势；(3)(3)(3)(3)金属球的电势金属球的电势8解解:利用有介质时的高斯定理qSDSd(1)介质内场强)(21RrR;3034,4rrQErrQDr内介质外场强)(2Rr3034,4rrQErQrD外(2)介质外电势)(2RrrQEU0r4rd外介质内电势)(21RrR20204)11(4RQRrqr)11(420RrQrr(3)金属球的电势rdrd221RRREEU外内22202044drRRRrrQdrrQ)11(4210RRQrr12-1212-1212-1212-12如图所示，在平行板电容器的一半容积内充入相对介电常数为如图所示，在平行板电容器的一半容积内充入相对介电常数为的电介质试求：在的电介质试求：在r有电介质部分和无电介质部分极板上自由电荷面密度的比值有电介质部分和无电介质部分极板上自由电荷面密度的比值rdrdrrEEU外内9解解:如题图所示，充满电介质部分场强为，真空部分场强为，自由电荷面密度分别为2E1E与21由得0dqSD，22D11D而,202EDr101EDd21UEErDD121212-1312-1312-1312-13两个同轴的圆柱面，长度均为两个同轴的圆柱面，长度均为，半径分别为，半径分别为和和()，且，且-，两柱，两柱l1R2R2R1Rl2R1R面之间充有介电常数面之间充有介电常数的均匀电介质的均匀电介质.当两圆柱面分别带等量异号电荷当两圆柱面分别带等量异号电荷和和-时，求：时，求：QQ(1)(1)(1)(1)在半径在半径 处处(，厚度为，厚度为drdrdrdr，长为，长为 的圆柱薄壳中任一点的电场能量密度和整个薄的圆柱薄壳中任一点的电场能量密度和整个薄r1Rr2Rl壳中的电场能量；壳中的电场能量；(2)(2)(2)(2)电介质中的总电场能量；电介质中的总电场能量；(3)(3)(3)(3)圆柱形电容器的电容圆柱形电容器的电容解解:取半径为 的同轴圆柱面r)(S则rlDSDS2d)(当时，)(21RrRQqrlQD2(1)电场能量密度2222282lrQDw薄壳中rlrQrlrlrQwW4dd28dd22222(2)电介质中总电场能量10211222ln44ddRRVRRlQrlrQWW(3)电容：CQW22)/ln(22122RRlWQC