大学物理20相对论习题解答.pdf

狭义相对论 习 题 解 答 20.1 填空(1)长度收缩公式22/1cvLL=成立的条件是 。解：L必须是固有长度（本征长度）。(2)时钟变慢公式22/1cvtt=成立的条件是 。解：t必须是固有（本征）时间。(3)实验测得某粒子静止时的平均寿命是，它以很低的速度 v 运动时的平均飞行距离为v。但若 v 接近光速，实验测得，绝大多数粒子的飞行距离远大于v，这个实验结果说明 。解：说明了高速运动中的时间膨胀效应。(4)对某观察者来说，发生在同一地点、同一时刻的两个事件，对其他一切观察者来说，它们是 发生的(回答“同时”或“不同时”)。有两事件，在 S 惯性系发生于同一时刻、不同的地点，它们在其它惯性系 S中 发生(回答“同时”，“不一定同时”或“不同时”)。解：由同时性的相对性应该回答“不一定同时”。(5)从 S系的坐标原点 O沿 X正向发射一光波，已知 S系相对于 S 系以 0.8c 沿 X 负方向运动，则 S 系中测得此光波的速度为 。解：光速不变，仍然是 c。(6)在速度 v=情况下粒子的动量等于非相对论动量的两倍。解：当粒子以速度 v 运动时，相对论动量为：vmmv0=，若等于非相对论动量的两倍，则有：vmvm002=，即 2=，所以 cv866.0=。(7)在速度 v=情况下粒子的动能等于它的静能。解：在动能等于静能的情况下，有 202022cmcmEmck=+=所以，2=，故有，cv866.0=。20.2 选择正确答案 (1)迈克尔逊莫雷在 1887 年做的实验是最著名的，这个实验：(A)证明了以太不存在；(B)观察不到地球相对于以太运动；(C)表明了以太过于稀薄，以致观察不出来；(D)证明了狭义相对论是正确的。（2）根据相对论力学，动能 0.25MeV 的电子(电子静能为 0.51MeV)，其运动速度约等于 (A)0.1c；(B)0.5c；(C)0.75c；(D)0.85c。（3）一电子的运动速度cv99.0=，它的动能是(A)3.5MeV；(B)4.0MeV；(C)3.1MeV；(D)2.5Me V。解：略。20.3 判断下列叙述是否正确。正确的，在后面的括号画“”，错误的画“”。(1)若子弹飞出枪口的事件为 A，子弹打中靶为事件为 B，则在任何运动着的参照系中测量 a、子弹飞行的距离都小于地面观察者测出的距离，b、事件 A 总是早于事件 B。(2)2mcE=这个公式说明物体的质量和能量可以相互转化；(3)某一星作远离地球的相对运动，其光谱线比它相对地球静止时的光谱线要向紫端移动。解：略。20.4 观察者甲和乙分别静止在两个惯性系 S 和 S中，甲测得在同一地点发生的两个事件的时间间隔为 4s，而乙测得这两个事件的时间间隔中为 5s。求：(1)S相对于 S 的运动速度；(2)乙测得这两个事件发生地之间的距离。解：（1）同一地点发生的两个事件的时间间隔是本征时间，等于 4s，而膨胀后时间是 5s。由时间膨胀公式可得 25.1=，v=0.6c。（2）乙测得两事件发生地的距离为：81095=vl 20.5 在 S 惯性系中观测到相距m1098=x的两地点相隔s5=t发生两事件，而在相对于 S 系沿 x方向以匀速运动的 S系中发现该两事件发生在同一地点。试求 S系中该两事件的时间间隔。解：在 S系中看是发生在同一地点的两事件，其时间间隔是本征时间，所以，/tt=而25.1,6.0=ctxv，所以：st4=。20.6 火箭相对地面以cv6.0=匀速向上飞离地球。在火箭上记录发射s10=t后，该火箭向地面发射一导弹，其速度相对于地面为cv3.01=，问地上记录火箭发射后多长时间导弹到达地球？解：火箭上记录的 10s 时间在地面上看，为s5.1210=，火箭飞行的高度为sc5.126.0，再以0.3c 的速度落向地面（忽略重力），需要的时间为scsc253.05.126.0=，所以总时间为 37.5s。20.7 介子静止时的半衰期为s1077.18=T，当它们以速度cv99.0=从加速器中射出时，问经过多远的距离其强度减少一半？解：当介子运动时，其半衰期变为2899.0111077.1=T，在半衰期内飞行距离为 mc3999.099.0111077.128=，此时强度减少一半。20.8 介子的平均寿命是s106.28。如果这种粒子具有速度 0.8c，那么，在实验室测量的平均寿命为多少？衰变前飞行多远？解：s106.28可以看成是本征时间，在实验室中的平均寿命是膨胀后的时间，所以由时间膨胀公式，s106.26108=tt 飞行距离为：mtvl4.100.8c106.26108=。20.9 一米尺相对于你以cv6.0=的速度平行于尺长方向运动，你测得该米尺为多少？米尺通过你得花少时间？解：由长度收缩公式可得运动米尺长度为：mLL8.025.1/1/=0.8m 的运动米尺以 0.6c 的速度通过所需要的时间为：s10444.06.08.08=c 20.10 一列车以速度 v 通过站台，在站台上两个相距 1 米的机械手同时在列车车厢上刻上划痕。试求列车上的观察者测量这两个划痕的距离是多少？解：在地面参照系理解，划痕收缩后的距离是 1 米，因而，列车上看到的划痕是没有收缩的，由长度收缩公式可得：22/111cvL=。20.11 惯性系中的观察者 A 测得与他相对静止的 xoy 平面上一个圆的面积是 12cm2，另一观察者 B 以cu8.0=相对于 A 平行 xoy 一面作匀速直线运动，问 B 测得该图形的面积是多少？解：由于长度收缩只发生在运动方向，运动面积为：22.7/12cm=。20.12 设 S系相对于惯性系 S 以匀速 u 沿 x 轴运动，一静止在 S 系中的米尺分别(1)沿 x 轴；(2)垂直x 轴；(3)与 x 轴成角放置。求 S系中观察者测得的米尺长度。解：（1）此时在 S系看来，发生长度收缩，所以长度为：22/1/1cuL=。（2）此方向与运动方向垂直，没有长度收缩，故长度仍为 1。（3）此时只有在 x 轴方向的投影发生收缩，y 方向投影不变，即：sin/1cos/22=yycuxx 长度为：22222/cos1cuyx=+。20.13 S系中的一个观察者在间隔为100=L光分的 A，B二点的联线中点 c处。他使灯发出闪光，并当闪光灯发出的闪光到达 A，B时，让置于二处的时钟从零开始走动。S系向右运动，相对于 S 系的观察者的速度为 0.6c。当闪光灯发出闪光时，观察者在 A和 B连线中点之相应点 C 处(在 S 系中)，同时使他的时钟指到零点。(1)照 S 系的观察者看来，时钟 A和 B之间的距离是多少？(2)当从闪光灯发出的光脉冲向 A和 B传播并到达 A时，S 系在该处的时钟之读数是多少？(3)当闪光到达 B时，S 系在该处的时钟之读数是多少？（4）S 系测得 A处的时钟比 B处的时钟超前多少？解：（1）由长度收缩公式可得：8025.1/100/=LL光分。（2）在S系看来，光传播的距离是40光分减去A的运动距离，即：tctcc=6.040所以25=t分。此即是该处时钟的度数。（3）在 S 系看来，光传播的距离是 40 光分加上 B的运动距离，即：tctcc=+6.040所以100=t分。此即是该处时钟的度数。（4）75 分。20.14 两只固有长度均为 100m 的宇宙飞船 A、B 沿相反方向擦过，位于 A 前端的宇航员测得 B 经过他的时间为s1050.26，试问：(1)A、B 间的相对速度是多少？(2)在 A 上测量时，B 上一定点从 A 的前端飞到后端的时间是多少？解：（1）在 A 上的宇航员看来 B 的长度已经收缩为/100/=L，设相对速度为 v，则通过时间为：sv6105.2)/(100=，解之可得：v=3.96107m/s。（2）在 A 上的宇航员看来 A 自身的长度仍为 100m，所以 B 上一点从 A 的头部到尾部的时间为 100/v2.52510-8s。20.15 一发射台和东西两侧距离均为0L的两个接收站 E 和 W 发射讯号，今有一飞机以匀速 v 沿发射台与两接收站的联线由西向东飞行，试问在飞机上测得两接收站接收到发射台同一讯号的时间间隔是多少？哪一个站先收到？解：在地面上看接收站 E 和 W 同时接收到信号是异地同时事件，在飞机上看是不同时的，由洛伦兹差值变换我们有：22202/12cvcvLxcvt=。由于飞机是由西向东运动，所以是 E 先。20.16 在 S 惯性系中，相距m1056=x的两个地方发生两事件，时间间隔s102=t，而在相对于S 系沿 x 轴正方向匀速运动的 S系中观测到这两个事件却是同时发生的。试求在 S系中发生这两事件的地点间的距离x是多少？解：由洛伦兹差值变换，若 S系中两事件是同时发生的，则可以得到：0)(2=xcvtt，即：v=0.6c，25.1=。又由：mtvxx4000000)(=。20.17 假定在地面上相距 3000km 的 A、B 两地各自生下一个婴儿，地上记录 A 地婴儿比 B 地婴儿早出生s100.63。现有一宇宙飞船沿从 A 到 B 的方向从上空飞过，已知飞船速度分别为c8.0，问飞船中的宇航员测出哪一个婴儿早出生？早生多长时间？解：由洛伦兹时间差变换可得结果：sxcvtt0033.0)(2=，B 先。20.18 已知光在折射率为 n 的水中传播时，相对于水的光速为nc/，设水管中水的流速为 v，问光在管中的传播速度是多少？解：水作为一个参照系，管作为另一个参照系。由速度变换可得 cvnnvccvncvnccuvvuc/)/(1/122+=+=+=。20.19 一观察者看到两导弹同向飞行，速度分别为c9.0和c7.0，求两导弹的相对速度。若两导弹反向飞行，相对速度又是多少？解：由速度变换（x 方向），一个导弹作为 S系，另一个作为研究对象，则 ccuvvuu54.0/12=，若是反向飞行，则：ccuvvuu981.0/12=。注意速度的正负关系！20.20 一粒子速度 0.9c 沿 K系的正 X方向运动。K相对于 K系以 0.9c 沿正 X方向运动。K相对于K 系以 0.9c 沿正 X 方向运动。(1)求出该粒子相对于 K系之速度，(2)求出该粒子相对于 K 系的速度。解：由速度变换可得：（1）ccvuvuu994.0/1 2=+=（2）ccvuvuu9997.0/12=+=20.21 一束光在 S系里以速度 c 沿 y轴正向运动，而 S系以速度 v 相对于 S 系沿 X 轴正向运动。(1)求出光速在 S 系里的 X 分量和 Y 分量。(2)证明在 S 系里光速之值仍为 c。(3)求光在 S 系中传播的方向。解：由速度变换：（1）vcvuvuuxxx=+=2/1 ccvuuuxyy=+=)/1(2（2）在 S 系中光的速度值：ccvuuuyx=+=+=22222/（3）传播方向与 x 轴的夹角的正切值为：22/1tancvcvuuyx=。20.22 两艘宇宙飞船相互靠近(1)若每艘飞般相对于地球之速度为 0.6c，那么一艘飞船相对于另一艘之速度各为多少？(2)若每艘飞船相对于地球之速度为m/s1034(约为声速的 100 倍)，那么，一艘飞船相对于另一艘的速度为多少？解：（1）此时速度大应该考虑相对论效应，由洛伦兹速度变换公式可得：ccvuvuuxxx882.0/12=+=。（2）此时可以不考虑相对论效应，所以相对速度为m/s1064。20.23 你必须朝着发出红光(nm650=)的光源运动得多快，才能使其显示为绿色(nm525=)？解：由光的多普勒效应：vcvc+=0可知，vcvc+=0，整理并代入数值可得 ccv21.0/1/1202202=+=。20.24 一遥远星系背离地球运动着，以致于使每种波长的辐射都按 z 的比列发生频移，即有z=。那么，该星系相对于地球的速度大小是多少？解：由上题结论可得 czzcv11/1/122202202+=+=。20.25 一长方体静止时的边长分别为 x、y 和 z，质量为0m。一观察者沿平行其 x 边的方向运动，运动速度为 v，求观察者测得的长方体的 (1)体积；(2)密度。解：（1）由于长度收缩只发生在运动方向，所以体积只有一个边长变化，故体积变为：V=xyz/（2）立方体运动时质量会增加，所以密度变为：xyzmVm/20=.20.26 一个静止能量MeV511.020=cm的电子以速度 0.6c 运动。求：(1)?/1/122=cv (2)动量 P=？(3)能量 E=？(4)动能?=kE 解：25.1/1122=cv )/(383.06.0511.025.10cMevvmmvp=)(639.0511.025.1202MevcmmcE=)(128.0202MevcmmcEk=20.27 把质量为0m的粒子从静止加速到 (1)0.5c；(2)0.9c；(3)0.99c 各需多少能量？(把答案表示为静能的倍数)解：所需要的能量就是粒子的动能，由动能公式：20202)1(cmcmmcEk=（1）0.5c 时：2020154.0)1(cmcm=；（2）0.9c 时：202029.1)1(cmcm=（3）0.99c 时：202009.6)1(cmcm=20.28 证明21220220)/1(cmPcmE+=。并证明，当20cmPc，02202/mPcmE+=。证明：由能量动量关系：224220cPcmE+=，立即可得：21220220)/1(cmPcmE+=。另外将212202)/1(cmP+展开成泰勒级数，保持前两项，即：+=[phone]/1)/1(cmPcmP 当20cmPc 时，只取这前面两项，代入上面 E 的表达式中即得：02202/mPcmE+=证毕。20.29 一静能为 0.511MeV 的电子具有总能量 5MeV。(1)求出该电子的动量；(2)求出cv/。解：由能量公式：MevcmmcE5202=，可得511.0/5=、995.0/=cv 所以动量为：)/(97.4)/(2cMevcMevcvmcmvp=。20.30 一个电子和一个质子都通过V610的电压而加速。求出每个粒子的因子的值，动量、速率。解：电子和质子通过V610的电压加速而获得的动能都是eV610，但电子和质子的静能不同，由动能公式20202)1(cmcmmcEk=分别可得：两个粒子的因子的值为：2.96 和 1.001；由动量公式：)/(2cMevcvmcmvp=，可得：电子动量：)/(42.1cMevmvp=；质子动量：)/(32.4cMevmvp=由22/11cv=可得他们的速率分别是：0.94c 和 0.0316c。20.31 氢原子的结合能(从氢原子移去电子所需的能量)为 13.6eV。那么，当电子和质子结合为氢原子时损失了多少质量？解：由质量亏损与结合能的关系：2mcEB=，可得电子和质子结合为氢原子时损失的质量为：kgcEmB352104.2/=。20.32 试证：一粒子的相对论动量可以写为 cEEEPkk2120)2(+=式中)(200cmE=和kE各为粒子的静能和动能。证明：由相对论能量动量关系和能量与动能和静能的关系可得：cEEEPcPEEEcPEEEcPcmEkkkkk2/1022202222020224202)2(2)(+=+=+=证毕。20.33 试计算轴(U)裂变 n3KrBaU)n(109236141562359210+慢中子 时释放的能量。已知各核的静止质量为：n10：1.0087u、U23592：235.0439u、Ba14156：140.9139u、Kr9236：91.8970u。解：先计算质量亏损：)0087.138970.919139.140()0439.2350087.1(uuuuum+=由质量能量公式计算释放能量为：MevmcE8.2002=。注意：Mevuc3.93112=。20.34 计算下列核聚变释放的能量 He2LiH427311+已知它们的静止质量：H11：1.0078u，Li73：7.01601u，He42：4.00260u。解：先计算质量亏损：)0026.42()01601.70078.1(uuum+=由质量能量公式计算释放能量为：MevmcE87.162=。20.35 碳12C的原子核由 6 个质子(H1)和 6 个中子(n)以很强的核力结合在一起，它们的静质量分别为12.000000C12=，1.007825H1=，008665.1=n原子质量单位（u），问需要多大的能量才能把核12C分离成 6 个自由质子和 6 个自由中子？这个能量也称为核12C的结合能。（1u=kg101.6627）。解：先计算质量亏损：)00000.12()008665.16007825.16(uuum+=由质量能量公式计算释放能量为：MevmcE21.92=。20.36 在核反应nHeHH10423121+中，各粒子的静质量分别是氘核kg103437.3)H(2721=Dm，氚核kg100049.5)H(2731=Tm，氦核kg106425.6)He(27He42=m，中子kg106750.1)(27=nmn。问该反应是放能反应还是吸能反应？放或吸的能量是多少？解：先计算质量亏损：2710)6750.16425.6()0049.53437.3(+=m 由质量能量公式计算释放能量为：JmcE12210779.2=。结合能为正表示放能。