2016年高考理科数学试题全国卷2及解析.pdf

12016 年全国高考理科数学试题全国卷年全国高考理科数学试题全国卷 2第第卷卷一一.选择题：本题共选择题：本题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的合题目要求的.（1）已知(3)(1)izmm在复平面内对应的点在第四象限，则实数 m 的取值范围是（A）(31)，（B）(13)，（C）(1,)+（D）(3)-，（2）已知集合1,A 2,3，|(1)(2)0,BxxxxZ，则AB U（）（A）1 （B）12，（C）012 3，（D）1012 3，（3）已知向量(1,)(3,2)am arr，=，且()abbrrr+，则 m=（）（A）8 （B）6 （C）6 （D）8（4）圆2228130 xyxy的圆心到直线10axy 的距离为 1，则 a=（）（A）43 （B）34 （C）3 （D）2（5）如图，小明从街道的 E 处出发，先到 F 处与小红会合，再一起到位于 G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（）（A）24 （B）18 （C）12 （D）9（6）下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）（A）20 （B）24 （C）28 （D）322（7）若将函数2sin2yx的图像向左平移12个单位长度，则平移后图象的对称轴为（）（A）()26kxkZ （B）()26kxkZ （C）()212kxkZ （D）()212kxkZ（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，下图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的2,2xn，依次输入的a为 2，2，5，则输出的s（）（A）7 （B）12 （C）17 （D）34（9）若3cos()45，则sin2（）（A）725 （B）15 （C）15 （D）725（10）从区间0,1随机抽取2n个数1x,2x，nx，1y，2y，ny，构成 n 个数对11,x y，22,xy，,nnxy，其中两数的平方和小于 1 的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为（A）4nm （B）2nm （C）4mn （D）2mn（11）已知12,F F是双曲线2222:1xyEab的左，右焦点，点M在E上，1MF与x轴垂直，211sin3MF F,则 E 的离心率为（）（A）2 （B）32 （C）3 （D）23（12）已知函数()()f x xR满足()2()fxf x，若函数1xyx与()yf x图像的交点为1122(,),(,),(,),mmx yxyxy则1()miiixy（）（A）0 （B）m （C）2m （D）4m第第卷卷二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分分(13)ABC的内角,A B C的对边分别为,a b c，若4cos5A，5cos13C，1a，则b (14),是两个平面，,m n是两条直线，有下列四个命题：（1）如果,/mn mn，那么.（2）如果,/mn，那么mn.（3）如果/,m，那么/m.（4）如果/,/mn，那么m与所成的角和n与所成的角相等.其中正确的命题有 .(填写所有正确命题的编号）（15）有三张卡片，分别写有 1 和 2，1 和 3，2 和 3甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是 2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是 5”，则甲的卡片上的数字是 （16）若直线ykxb是曲线ln2yx的切线，也是曲线ln(1)yx的切线，则b 三三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本题满分 12 分）nS为等差数列 na的前 n 项和，且17=128.aS，记=lgnnba，其中 x表示不超过x的最大整数，如0.9=0 lg99=1，（）求111101bbb，；（）求数列 nb的前 1 000 项和18.（本题满分 12 分）某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：4上年度出险次数012345保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：一年内出险次数012345概率0.300.150.200.200.100.05（）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出 60%的概率；（）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值19.（本小题满分 12 分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，5,6ABAC，点,E F分别在,AD CD上，54AECF，EF交BD于点H将DEF沿EF折到D EF位置，10OD（）证明：D H平面ABCD；（）求二面角BD AC的正弦值 20.（本小题满分 12 分）已知椭圆:E2213xyt的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为(0)k k 的直线交E于,A M两点，5点N在E上，MANA（）当4,|tAMAN时，求AMN的面积；（）当2 AMAN时，求k的取值范围（21）（本小题满分 12 分）()讨论函数xx2f(x)x2e的单调性，并证明当0 x 时，(2)20 xxex；()证明：当0,1)a时，函数2x=(0)xeaxagxx（）有最小值.设()g x的最小值为()h a，求函数()h a的值域请考生在请考生在 2222、2323、2424 题中任选一题作答题中任选一题作答,如果多做如果多做,则按所做的第一题计分则按所做的第一题计分,做答时请写清题号做答时请写清题号（22）（本小题满分 10 分）选修选修 4-14-1：几何证明选讲：几何证明选讲如图，在正方形ABCD中，,E G分别在边,DA DC上（不与端点重合），且DEDG，过D点作6DFCE，垂足为F()证明：,B C G F四点共圆；()若1AB，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积（23）（本小题满分 10 分）选修选修 44：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，圆C的方程为22(6)25xy（）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（）直线l的参数方程是cossinxtyt（t为参数）,l与C交于,A B两点，|10AB，求l的斜率（24）（本小题满分 10 分）选修选修 45：不等式选讲：不等式选讲已知函数11()|22f xxx，M为不等式()2f x 的解集（）求M；（）证明：当,a bM时，|1|abab72016 年全国高考理科数学试题全国卷年全国高考理科数学试题全国卷 2参考答案参考答案（1）【解析】A，故选 A30m10m 31m（2）【解析】C，120ZBx xxx12Zxxx，0 1B 0123AB U故选 C（3）【解析】D，42abmrr，()abbrrr()122(2)0abbmrrr解得，8m 故选 D（4）【解析】A圆化为标准方程为：，2228130 xyxy22144xy故圆心为，解得，1424111ada43a 故选 A（5）【解析】B有种走法，有种走法，由乘法原理知，共种走法EF6FG36 318故选 B【解析二】：由题意，小明从街道的 E 处出发到 F 处最短有24C条路，再从 F 处到 G 处最短共有13C条路，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为214318CC条，故选 B.（6）【解析】C几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为，周长为，圆锥母线长为，圆柱高为rclh8由图得，由勾股定理得：，2r 24cr2222 34l，212Srchcl416828故选 C（7）【解析】B由题意，将函数2sin2yx的图像向左平移12个单位得2sin2()2sin(2)126yxx，则平移后函数的对称轴为2,62xkkZ，即,62kxkZ，故选 B.（8）【解析】C 第一次运算：，0222s 第二次运算：，2226s 第三次运算：，62517s 故选 C（9）【解析】D，3cos4527sin2cos22cos12425 故选 D解法二：对展开后直接平方3cos45解法三：换元法（10）【解析】C由题意得：在如图所示方格中，而平方和小于 1 的点均在12iixyin如图所示的阴影中由几何概型概率计算公式知，故选 C41mn4mn9（11）【解析】A 离心率，由正弦定理得1221FFeMFMF1221122 2sin321sinsin13FFMeMFMFFF故选 A（12）【解析】B由得关于对称，2f xf x f x01而也关于对称，111xyxx 01对于每一组对称点，0iixx=2iiyy，故选 B111022mmmiiiiiiimxyxym1313【解析】2113，4cos5A 5cos13C，3sin5A 12sin13C，63sinsinsincoscossin65BACACAC由正弦定理得：解得sinsinbaBA2113b（14）【解析】对于，,/mn mn，则,的位置关系无法确定，故错误；对于,因为/n，所以过直线n作平面与平面相交于直线c，则/nc，因为,mmcmn，故正确；对于，由两个平面平行的性质可知正确；对于，由线面所成角的定义和等角定理可知其正确，故正确的有.（15）【解析】(1,3)由题意得：丙不拿（2，3），若丙（1，2），则乙（2，3），甲（1，3）满足，若丙（1，3），则乙（2，3），甲（1，2）不满足，故甲（1，3），（16）【解析】1ln210的切线为：（设切点横坐标为）ln2yx111ln1yxxx1x的切线为：ln1yx22221ln111xyxxxx122122111ln1ln11xxxxxx 解得 112x 212x 1ln11ln2bx 17【解析】设的公差为，nad74728Sa，44a 4113aad1(1)naandn，11lglg10ba 1111lglg111ba 101101101lglg2ba记的前项和为，则 nbnnT1000121000Tbbb 121000lglglgaaa当时，；0lg1na 129n 当时，；1lg2na 101199n 当时，；2lg3na 100101999n 当时，lg3na 1000n 1000091 9029003 11893T 18设续保人本年度的保费高于基本保费为事件，A()1()1(0.300.15)0.55P AP A 设续保人保费比基本保费高出为事件，60%B()0.100.053()()0.5511P ABP B AP A解：设本年度所交保费为随机变量XX0.85aa1.25a1.5a1.75a2aP0.300.150.200.200.100.0511平均保费0.85 0.300.151.250.201.50.201.750.1020.05EXaaaaa ，0.2550.150.250.30.1750.11.23aaaaaaa平均保费与基本保费比值为1.2319.【解析】证明：，54AECF，AECFADCDEFAC四边形为菱形，ABCD，ACBD，EFBD，EFDHEFD H，6AC；3AO 又，5AB AOOB，4OB，1AEOHODAO，3DHD H，222ODOHD HD HOH又，OHEFHI面D H ABCD建立如图坐标系Hxyz12，500B130C 003D130A，430AB uu u r133AD uuur060AC uuu r设面法向量，ABD1nxyz，u r由得，取，1100nABnADu u r uuu ru u r uuuu r430330 xyxyz 345xyz 1345n u r同理可得面的法向量，AD C2301n u u r，1212957 5cos255 210n nn nu r u u ru r u u r2 95sin2520【解析】当时，椭圆 E 的方程为，A 点坐标为，4t 22143xy20 则直线 AM 的方程为2yk x联立并整理得，221432xyyk x2222341616120kxk xk解得或，则2x 228634kxk 2222286121213434kAMkkkk13因为，所以AMAN2221121211413341ANkkkkk 因为，AMAN0k 所以，整理得，2221212114343kkkkk21 440kkk无实根，所以2440kk1k 所以的面积为AMN2211121441 1223449AM 直线 AM 的方程为，yk xt联立并整理得，2213xytyk xt222223230tkxt tk xt kt解得或，xt 2233t tktxtk 所以22222361133t tkttAMktktktk所以2613tANktkk因为2 AMAN所以，整理得，2226621133ttkkttkkk23632kktk因为椭圆 E 的焦点在 x 轴，所以，即，整理得3t 236332kkk231202kkk解得322k（21）【解析】证明：2e2xxf xx 22224ee222xxxxfxxxx14 当时，x 22,U 0fx 在上单调递增 f x 22,时，0 x 2e0=12xxfx 2 e20 xxx 24e2exxa xxaxagxx4e2e2xxx xaxax322e2xxxaxx 01a，由(1)知，当时，的值域为，只有一解0 x 2e2xxf xx1，使得，2e2ttat 02t，当时，单调减；当时，单调增(0,)xt()0g x()g x(,)xt()0g x()g x 222e1ee1e22tttttta tth attt记，在时，单调递增 e2tk tt0,2t 2e102ttk tt k t 21e24h ak t，（22）【解析】（）证明：DFCERtRtDEFCEDGDFDEFBCF DFCFDGBC，DEDGCDBCDFCFDGBCGDFBCFCFBDFG 1590GFBGFCCFBGFCDFGDFC 180GFBGCBB，C，G，F 四点共圆（）E 为 AD 中点，1AB，12DGCGDE在中，RtGFCGFGC连接，GBRtRtBCGBFG1112=21=222BCGBCGFSS（23）解：整理圆的方程得，2212110 xy由可知圆的极坐标方程为222cossinxyxyC212 cos110记直线的斜率为，则直线的方程为，k0kxy由垂径定理及点到直线距离公式知：，226102521kk即，整理得，则22369014kk253k 153k （24）【解析】解：当时，若；12x 11222f xxxx 112x 当时，恒成立；1122x 111222f xxx 当时，若，12x 2f xx 2f x 112x 综上可得，|11Mxx 当时，有，1 1ab，22110ab即，22221a bab 则，2222212a babaabb 则，221abab即，1abab 证毕