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(名师选题名师选题)全国通用版高中数学第十章概率真题全国通用版高中数学第十章概率真题 单选题 1、等可能地从集合1,2,3的所有子集中任选一个，选到非空真子集的概率为（）A78B34C1516D14 答案：B 分析：写出集合1,2,3的所有子集，再利用古典概率公式计算作答.集合1,2,3的所有子集有：,1,2,3,1,2,1,3,2,3,1,2,3，共 8 个，它们等可能，选到非空真子集的事件A有：1,2,3,1,2,1,3,2,3，共 6 个，所以选到非空真子集的概率为()=68=34.故选：B 2、抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，若事件=“向上的点数为3”，=“向上的点数为6”，=“向上的点数为3或6”，则有（）A B C =D =答案：D 分析：根据事件的关系、和事件、积事件的定义逐一判断四个选项的正误，即可得出正确选项 对于 A：事件=“向上的点数为3”发生，事件=“向上的点数为6”一定不发生，故选项 A 不正确；对于 B：事件=“向上的点数为3或6”发生，事件=“向上的点数为6”不一定发生，但事件=“向上的点数为6”发生，事件=“向上的点数为3或6”一定发生，所以 ，故选项 B 不正确；对于 C：事件和事件不能同时发生，=，故选项 C 不正确；对于 D：事件=“向上的点数为3”或事件=“向上的点数为6”发生，则事件=“向上的点数为3或6”发生，故选项 D 正确；故选：D 3、某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为1,2,3，且3 2 1 0记该棋手连胜两盘的概率为p，则（）Ap与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B该棋手在第二盘与甲比赛，p最大 C该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D该棋手在第二盘与丙比赛，p最大 答案：D 分析：该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘.分别求得该棋手在第二盘与甲比赛且连胜两盘的概率甲；该棋手在第二盘与乙比赛且连胜两盘的概率乙；该棋手在第二盘与丙比赛且连胜两盘的概率丙.并对三者进行比较即可解决 该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，记该棋手在第二盘与甲比赛，比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为12，则此时连胜两盘的概率为甲 则甲=12(1 2)13+21(1 3)+12(1 3)12+31(1 2)=1(2+3)2123；记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为乙，则乙=(1 1)23+12(1 3)=2(1+3)2123 记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为丙 则丙=(1 1)32+13(1 2)=3(1+2)2123 则甲 乙=1(2+3)2123 2(1+3)2123=(1 2)3 0 乙 丙=2(1+3)2123 3(1+2)2123=(2 3)1 0 即甲 乙，乙 丙，则该棋手在第二盘与丙比赛，最大.选项 D 判断正确；选项 BC 判断错误；与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关.选项 A 判断错误.故选：D 4、从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（）A至少有一个黑球与都是黑球 B至少有一个黑球与至少有一个红球 C恰有一个黑球与恰有两个黑球 D至少有一个黑球与都是红球 答案：C 分析：根据互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可.对于 A：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：两个都是黑球，这两个事件不是互斥事件，A 不正确；对于 B：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有一个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，B 不正确；对于 C：事件：“恰好有一个黑球”与事件：“恰有两个黑球”不能同时发生，但从口袋中任取两个球时还有可能是两个都是红球，两个事件是互斥事件但不是对立事件，C 正确；对于 D：事件：“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，但一定会有一个发生，这两个事件是对立事件，D 不正确.故选：C 5、抛掷一颗均匀骰子两次，E表示事件“第一次是奇数点”，F表示事件“第二次是 3 点”，G表示事件“两次点数之和是 9”，H表示事件“两次点数之和是 10”，则（）AE与G相互独立 BE与H相互独立 CF与G相互独立 DG与H相互独立 答案：A 分析：先根据古典概型的概率公式分别求出四个事件的概率，再利用独立事件的定义()=()()判断个选项的正误.解：由题意得：()=1836=12，()=636=16，()=436=19，()=336=112 对于选项 A：()=236=118，()()=1219=118，()=()()，所以和互相独立，故 A 正确；对于选项 B：()=136，()()=12112=124，()()()，所以和不互相独立，故 B 错误；对于选项 C：()=136，()()=1619=154，()()()，所以和不互相独立，故 C 错误；对于选项 D：()=0，()()=19112=1108，()()()，所以和不互相独立，故 D 错误；故选：A 6、接种疫苗是预防和控制传染病最经济、有效的公共卫生干预措施根据实验数据，人在接种某种病毒疫苗后，有80%不会感染这种病毒，若有4人接种了这种疫苗，则最多1人被感染的概率为（）A512625B256625C113625D1625 答案：A 分析：最多1人被感染即 4 人没有人感染和 4 人中恰好有 1 人被感染，利用独立重复试验的概率和互斥事件的概率求解.由题得最多1人被感染的概率为40(45)4+41(15)(45)3=256+256625=512625.故选：A 小提示：方法点睛：求概率常用的方法：先定性（确定所求的概率是六种概率（古典概型的概率、几何概型的概率、互斥事件的概率、独立事件的概率、独立重复试验的概率、条件概率）的哪一种），再定量.7、2020 年 1 月，教育部出台关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见（简称“强基计划”），明确从 2020 年起强基计划取代原有的高校自主招生方式.如果甲、乙、丙三人通过强基计划的概率分别为45,34,34，那么三人中恰有两人通过的概率为（）A2180B2780C3380D2740 答案：C 分析：根据积事件与和事件的概率公式可求解得到结果.记甲、乙、丙三人通过强基计划分别为事件,，显然,为相互独立事件，则“三人中恰有两人通过”相当于事件+，且,互斥，所求概率(+)=()+()+()=()()()+()()()+()()()=153434+451434+453414=3380.故选：C.8、掷一枚均匀的硬币，如果连续抛掷 1000 次，那么第 999 次出现正面向上的概率是 A1999B11000C9991000D12 答案：D 每一次出现正面朝上的概率相等都是12，故选 D.9、生物实验室有 5 只兔子，其中只有 3 只测量过某项指标，若从这 5 只兔子中随机取出 3 只，则恰有 2 只测量过该指标的概率为 A23B35 C25D15 答案：B 分析：本题首先用列举法写出所有基本事件，从中确定符合条件的基本事件数，应用古典概率的计算公式求解 设其中做过测试的 3 只兔子为,，剩余的 2 只为,，则从这 5 只中任取 3 只的所有取法有,，,共 10 种其中恰有 2 只做过测试的取法有,共 6 种，所以恰有 2 只做过测试的概率为610=35，选 B 小提示：本题主要考查古典概率的求解，题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查应用列举法写出所有基本事件过程中易于出现遗漏或重复，将兔子标注字母，利用“树图法”，可最大限度的避免出错 10、若随机事件，互斥，发生的概率均不等于 0，且()=2 ，()=4 5，则实数的取值范围是（）A(54,2)B(54,32)C(54,43D54,32 答案：C 分析：利用互斥事件的加法公式及概率的基本性质列式即可作答.因随机事件，互斥，则(+)=()+()=3 3，依题意及概率的性质得0 ()10 ()10 (+)1，即0 2 10 4 5 10 3 3 1，解得54 43，所以实数的取值范围是(54,43.故选：C 11、两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是 A16B14C13D12 答案：D 解析：男女生人数相同可利用整体发分析出两位女生相邻的概率，进而得解.两位男同学和两位女同学排成一列，因为男生和女生人数相等，两位女生相邻与不相邻的排法种数相同，所以两位女生相邻与不相邻的概率均是12故选 D 小提示：本题考查常见背景中的古典概型，渗透了数学建模和数学运算素养采取等同法，利用等价转化的思想解题 12、将一个容量为 1000 的样本分成若干组，已知某组的频率为 0.4，则该组的频数是（）A4B40C250D400 答案：D 分析：直接利用频率的定义求解即可 一个容量为 1000 的样本分成若干组，某组的频率为 0.4，该组的频数为：1000 0.4=400 故选：小提示：本题考查频数的求法，解题时要认真审题，属于基础题 填空题 13、“田忌赛马”的故事千古流传，故事大意是：在古代齐国，马匹按奔跑的速度分为上、中、下三等.一天，齐王找田忌赛马，两人都从上、中、下三等马中各派出一匹马，每匹马都各赛一局，采取三局两胜制.已知田忌每个等次的马，比齐王同等次的马慢，但比齐王较低等次的马快.若田忌事先打探到齐王第一场比赛会派出上等马，田忌为使自己获胜的概率最大，采取了相应的策略，则其获胜的概率最大为_.答案：12#0.5 分析：设齐王有上、中、下三等的三匹马、，田忌有上、中、下三等的三匹马、，列举出所有比赛的情况，以及齐王第一场比赛会派出上等马的比赛情况和田忌使自己获胜时比赛的情况，结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.设齐王有上、中、下三等的三匹马、，田忌有上、中、下三等的三匹马、，所有比赛的方式有：、；、；、；、；、；、，一共6种.若齐王第一场比赛派上等马，则第一场比赛田忌必输，此时他应先派下等马参加.就会出现两种比赛方式：、和、，其中田忌能获胜的为、，故此时田忌获胜的概率最大为12.所以答案是：12.14、已知事件A，B，C相互独立，若()=16，()=14，()=112，则()=_ 答案：13 分析：根据相互独立事件的概率公式，列出(),(),(),()的等式，根据对立逐一求解，可求出()的值.根据相互独立事件的概率公式，可得 ()()=16()()=14()()()=112，所以()=13 所以答案是：13.15、若随机事件A、B互斥，A，B发生的概率均不等于 0，且()=2 ，()=4 5，则实数a的取值范围是_ 答案：(54,43 分析：由互斥事件的性质，列不等式组求a的范围.由题意，0 ()10 ()1()+()1，即0 2 10 4 5 13 3 1，解得54 43 所以答案是：(54,43 16、有三个同样的箱子，箱中有 4 个黑球 1 个白球，箱中有 3 个黑球 3 个白球，箱中有 3 个黑球 5 个白球.现任取一箱，再从中任取一球，则此球是白球的概率为_.答案：53120 分析：由概率的加法公式计算 任取一箱取到,箱的概率各为13，在,箱中取到白球的概率依次为15,12,58 故=1315+1312+1358=115+16+524=53120 所以答案是：53120 17、假定某运动员每次投掷飞镖正中靶心的概率为 40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心的概率：先由计算器产生 0 到 9 之间取整数值的随机数，指定 1，2，3，4 表示命中靶心，5，6，7，8，9，0 表示未命中靶心；再以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了 20 组随机数：93 28 12 45 85 69 68 34 31 25 73 93 02 75 56 48 87 30 11 35 据此估计，该运动员两次掷飞镖恰有一次正中靶心的概率为_ 答案：12#0.5 分析：根据随机数以及古典概型的概率计算公式即可求解.解：两次掷镖恰有一次正中靶心表示随机数中有且只有一个数为 1，2，3，4 中的之一.它们分别是 93，28，45，25，73，93，02，48，30，35 共 10 个，因此所求的概率为1020=0.5.所以答案是：12.解答题 18、一个不透明的袋子中装有 5 个小球，其中有 3 个红球，2 个白球，这些球除颜色外完全相同.（1）记事件为“一次摸出 2 个球，摸出的球为一个红球，一个白球”.求()；（2）记事件为“第一次摸出一个球，记下颜色后将它放回袋中，再次摸出一个球，两次摸出的球为不同颜色的球”，记事件为“第一次摸出一个球，不放回袋中，再次摸出一个球，两次摸出的球为不同颜色的球”，求证：()()=15().答案：（1）35；（2）证明见解析.解析：（1）列举出从袋中一次摸出 2 个球的所有基本事件，找出其中满足事件的基本事件有 6 个，即可求解()；（2）同样列举出从袋中第一次摸出一个球，记下颜色后将它放回袋中，再次摸出一个球的所有基本事件，找出其中满足事件的基本事件；同理列举出从袋中第一次摸出一个球，不放回袋中，再次摸出一个球的所有基本事件，找出其中满足事件的基本事件，即可计算出()()=15().解：（1）记这 3 个红球为1,2,3，2 个白球记为1,2，则从袋中一次摸出 2 个球的所有基本事件为：(1,2)，(1,3)，(1,1)，(1,2)，(2,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)，(1,2)共 10 个，其中满足事件的基本事件有 6 个，所以()=610=35.（2）从袋中第一次摸出一个球，记下颜色后将它放回袋中，再次摸出一个球的所有基本事件为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,1)，(3,2)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,1)，(2,2)共 25 个，满足事件的基本事件有 12 个，所以()=1225.从袋中第一次摸出一个球，不放回袋中，再次摸出一个球的所有基本事件为(1,2)，(1,3)，(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)，(3,1)，(3,2)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,1)共 20 个，满足事件的基本事件有 12 个，所以()=1220=35.因此：()()=351225=325，又()=35，所以()()=15().【点晴】方法点晴：等可能事件概率一般用列举法列举出所有基本事件，找出满足所求事件的基本事件个数，直接用公式求得概率.19、今年中国共产党迎来了建党 100 周年，为了铭记建党历史、缅怀革命先烈、增强爱国主义情怀，某区组织了党史知识竞赛活动.在最后一轮晋级比实中，甲、乙、丙三所学校回答一道有关红色革命根据地建立时间的问题，已知甲校回答正确这道题的概率为34，甲、丙两所学校都回答正确这道题的概率是12，乙、丙两所学校都回答正确这道题的概率是14.若各学校回答这道题是否正确是互不影响的.(1)求乙、丙两所学校各自回答正确这道题的概率；(2)求甲、乙、丙三所学校中不少于 2 所学校回答正确这道题的概率.答案：(1)()=23,()=38(2)2132 分析：（1）根据独立事件的概率公式计算；（2）结合互斥事件、独立事件的概率公式计算（1）设事件=“甲学校回答正确这道题”，事件=“乙学校回答正确这道题”，事件=“丙学校回答正确这道题”，则()=34，()=12，()=14，各学校回答这道题是否正确是互不影响的.事件A，B，C相互独立.()=()()=12,()=()()=14，()=23,()=38；（2）设事件=“甲、乙、丙三所学校中不少于 2 所学校回答正确这道题”=且,两两互斥，()=()=()+()+()+()；由于事件A，B，C相互独立.所以()=()()()=343813=332()=()()()=345823=516，()=()()()=143823=116，()=()()()=343823=316，()=332+516+116+316=2132 20、某产品在出厂前需要经过质检，质检分为 2 个过程第 1 个过程，将产品交给 3 位质检员分别进行检验，若 3 位质检员检验结果均为合格，则产品不需要进行第 2 个过程，可以出厂；若 3 位质检员检验结果均为不合格，则产品视为不合格产品，不可以出厂；若只有 1 位或 2 位质检员检验结果为合格，则需要进行第 2 个过程第 2 个过程，将产品交给第 4 位和第 5 位质检员检验，若这 2 位质检员检验结果均为合格，则可以出厂，否则视为不合格产品，不可以出厂设每位质检员检验结果为合格的概率均为23，且每位质检员的检验结果相互独立(1)求产品需要进行第 2 个过程的概率；(2)求产品不可以出厂的概率 答案：(1)23(2)1127 分析：（1）分在第 1 个过程中，1 或 2 位质检员检验结果为合格两种情况讨论，根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得；（2）首先求出在第 1 个过程中，3 位质检员检验结果均为不合格的概率，再求出产品需要进行第 2 个过程，在第 2 个过程中，产品不可以出厂的概率，最后根据互斥事件的概率公式计算可得；（1）解：记事件A为“产品需要进行第 2 个过程”在第 1 个过程中，1 位质检员检验结果为合格的概率1=231313+132313+131323=29，在第 1 个过程中，2 位质检员检验结果为合格的概率2=232313+231323+132323=49，故()=1+2=23（2）解：记事件B为“产品不可以出厂”在第 1 个过程中，3 位质检员检验结果均为不合格的概率3=131313=127，产品需要进行第 2 个过程，在第 2 个过程中，产品不可以出厂的概率4=()(1 2323)=2359=1027，故()=3+4=1127