第二类曲线积分PPT参考课件.ppt

Click to edit Master title style,第二类曲线积分,第二节,第十章,一、第二类曲线积分的概念及性质,二、两类曲线积分之间的联系,三、第二类曲线积分的计算,一、,第二类曲线积分的概念及性质,1.,问题引入,“,分割，近似,求和,取极限”,变力沿曲线所作的功,.,设一质点受如下变力作用,L,:,A,B,解决办法,:,求移动过程中变力,联想：恒力沿直线做功,所作的功,W,.,2,取近似,把,L,分成,n,个小弧段,有向小弧段,近似代替,则有,所做的功为,F,沿,则,用有向线段,在上任取一点,1,分割,4,取极限,(,其中,为,n,个小弧段的最大长度,),3,求和,变力沿曲线所作的功,设,L,为,xOy,平面内从,A,到,B,的一条,有向光滑弧,若对,L,的任意分割和在局部弧段上任意取点,都存在,(,与分割和取点无关,),在,L,上定义了一个有界,向量函数,极限,2.,定义,10.2,F,(,x,y,),在有向曲线弧,L,上的,第二类曲线积分,或,对坐标的曲线积分，,记作,则称此极限值为向量值函数,积分曲线,第二类曲线积分的向量形式,第二类曲线积分的坐标形式,对,x,的曲线积分,;,对,y,的曲线积分,.,注,1,关于第二类曲线积分的几个术语,2,若,为空间曲线弧,3,如果,L,是,闭曲线,则对坐标,的曲线积分记为,4,对坐标的曲线积分,必须注意,积分弧段的,方向,!,5,变力沿曲线所作的功,性质,L,1,L,2,(3),有向性,:,用,L,表示,L,的反向弧,则,这是第一类和第二类曲线积分的一个重要区别,对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向,.,二、两类曲线积分之间的联系,起点：,A,a,，,终点：,B,b,定理,曲线,L,的方程的向量形式：,x,y,O,A,B,L,M,(,x,y,),其,指向,与,参数,t,增大,时曲线,L,上的点移动,的,方向一致,.,证,沿着,L,的方向移动时，参数,t,增加,.,于是,另一方面，,一方面,沿着,L,的方向移动时，参数,t,减少,.,综合,(1),、,(2),，,得,可以推广到空间曲线上,从而,注,将积分,化为对,弧长的积,分,解,(,方法,1),其中,L,沿上半圆周,例,1,切向量,与,L,方向一致,.,其方向余弦：,切向量,与,L,方向相反,.,与,L,同方向的切向量：,其方向余弦：,.,(,方法,2),(,方法,3),三、第二类曲线积分的计算,定理,10.2,设,L,是一条平面有向光滑曲线弧，,其,参数方程为,则有,首先证明：,由两类曲线的关系，得,证,再由第一类曲线积分的计算法，得,同理可证,即可；,代入上式，且同时换限,.,注,1,a,不一定,小于,b,!,即计算定积分：,2,如果,L,的方程为,3,对空间光滑曲线弧,:,思考,定积分,第二类,曲线积分,是！,是否可看作第二类曲线积分的特例,?,x,O,A,B,x,O,A,B,其中,L,为沿抛物线,解,(,方法,1),取,x,为参数,则,从点,的一段,.,例,2,计算,注意积分,路径的,表示形式,(,方法,2),取,y,为参数,则,-1,1,注意积分,路径的,表示形式,其中,L,为,(1),半径为,a,圆心在原点的,上半圆周,方向为逆时针方向,;,(2),从点,A,(,a,0),沿,x,轴到点,B,(,a,0).,解,(1),L,:,(2),L,:,则,则,例,3,计算,沿不同的路径积分，其结果不同,其中,L,为,(1),抛物线,(2),抛物线,(3),有向折线,解,(1),原式,(2),原式,(3),原式,例,4,计算,沿不同的路径积分，所得到结果相同,例,5,计算,其中,是从点,A,(3,2,1),到点,B,(0,0,0),的直线段,AB,.,解,直线,AB,为,:,内容小结,1.,定义,2.,性质,3.,计算,4.,对坐标的曲线积分,必须注意,积分弧段的,方向,!,5.,两类曲线积分之间的关系,解,例,3-1,三点连成的折线段；,备用题,从,z,轴正向看为顺时针方向,.,解,的参数方程,:,例,5-1,求,