高等数学-第一节-对弧长的曲线积分PPT课件.ppt

,第九章 曲线积分与曲面积分,第一节,对弧长的曲线积分,第二节 对面积的曲面积分,第三节 对坐标的曲线积分,第四节,对坐标的曲面积分,第五节,Green,公式,第六节,Gauss,公式,第七节,Stokes,公式,第一节,对弧长的曲线积分,对整体量进行分割、作和、取极限所产生的定积分与重积分已经带来了很大的方便,但是,有些实际问题与理论问题,这两种积分还解决不了,于是,又引进了曲线积分与曲面积分,它们与前者的基本思想是一致的,.,本章讨论的基本问题是两类曲线积分与两类曲面积分,重点是曲线积分与路径无关的问题以及,Green(,格林,),公式与,Gauss(,高斯,),公式,.,一、对弧长的曲线积分的定义,二、对弧长的曲线积分的性质,三、对弧长的曲线积分的计算,四、对弧长的曲线积分的应用,线密度为连续函数,z,=,f,(,x,y,),利用分割作和、取极限的方法求该构件的质量,.,一、,对弧长的曲线积分的定义,定义,1,如果连续曲线,y,=,f,(,x,),上到处都有切线,当切点连续变动时,切线也连续转动,就称此曲线为光滑曲线,.,设有一曲线形构件,它在,xOy,平面内是一条光滑曲线弧,L,见图,9-1.,图,9-1,在,L,上取点,M,1,M,2,M,n,-1,把,L,分成,n,小段,在,上任意取一点,(,i,i,),弧段,的长度为,s,i,记,M,i,-1,M,i,M,i,-1,M,i,=max,s,1,s,2,s,n,则该构件的质量为,图,9-1,定义,2,设,L,为,xOy,平面内的一条光滑曲线,z,=,f,(,x,y,),为,L,上的连续函数,用分点,M,1,M,2,M,n,-1,把,L,分成,n,小段,在,存在,则将此极限值称为函数,f,(,x,y,),在,L,上对弧长的曲线积分,记为,其中,f,(,x,y,),称为被积函数,L,称为积分弧段,.,上任意取一点,(,i,i,),s,i,表示,的长度,M,i,-1,M,i,M,i,-1,M,i,记,=max,s,1,s,2,s,n,如果,定理,1,当,f,(,x,y,),在光滑曲线或分段光滑曲线弧,L,上连续时,对弧长的曲线积分 存在,.,二、对弧长的曲线积分的性质,由对弧长的曲线积分的定义可知,定积分的所有性质都可以移植过来,.,性质,1,设,k,为常数,则,设下面所涉及的对弧长的曲线积分都存在,.,性质,2,性质,3,将,L,分成,L,1,与,L,2,则,其中,L,0,表示,L,的长度,性质,4,性质,5,f,(,x,y,),g,(,x,y,),则,性质,6,在,L,上若设,m,f,(,x,),M,则,其中,L,0,表示,L,的长度,性质,7,当,f,(,x,y,),在光滑曲线弧,L,上连续时,必有,L,上某点,(,),使得,三、,对弧长的曲线积分的计算,定理,2,设,f,(,x,y,),在曲线,L,上连续,L,的参数方程为,(,t,),其中,(,t,),(,t,),在,上具有一阶连续导数,且,2,(,t,)+,2,(,t,),0,则有公式,(1),成立,.,(1),设下面的函数和曲线都满足定理,2,的条件,则还有如下公式,.,积分上限要大于下限,.,设,L,:,y,=,y,(,x,)(,a,x,b,),则有,设,L,:,r,=,r,(,)(,),则有,设,L,:,x,=,x,(,y,)(,c,y,d,),则有,设,L,:,x,=,(,t,),y,=,(,t,),z,=,(,t,)(,t,),则有,定理,3,设,f,(,x,y,),和,L,满足定理,2,的条件,若,f,(,x,y,)=,f,(,x,y,),L,关于轴对称,L,1,表示,L,的位于,x,轴上方的部分,则有,若,f,(,x,y,)=,f,(,x,y,),则,例,1,L,是整条星形线,解,设,L,1,:,x,=cos,3,t,y,=sin,3,t,(0,t,/2),由定理,3,可知,于是,例,2,求,L,为圆,x,2,+,y,2,=,ax,(,a,0).,解 把,L,写成极坐标形式,r,=,a,cos,-,/2,/2,利用公式,(4),有,例,3,求,为螺旋线,:,x,=,a,cos,t,y,=,a,sin,t,z,=,bt,0,t,2,.,解 利用公式,(5),有,为圆周,:,解 直接利用,(5),完成,计算量很大,注意到,于是,例,4,求,原式,设在,xOy,平面内有一条分布着质量的光滑曲线弧,(,或分段光滑曲线弧,),L,在点,(,x,y,),处的线密度为连续函数,f,(,x,y,),利用微元分析法不难推得下面各计算公式,.,四、对弧长的曲线积分的应用,质量,设重心为,则,转动惯量,如果曲线,L,是空间曲线,也可以得出类似的公式,.,式中,I,x,I,y,I,o,分别表示质量弧,L,对于,x,轴、,y,轴、原点的转动惯量,.,下面给出第一型曲线积分的几何意义,.,当,f,(,x,y,),0,时,如果,f,(,x,y,),在平面曲线,L,上连续,L,光滑或分段光滑,见图,9-2,曲线积分,表示柱面的面积,A,即,图,9-2,例,5,设有柱面,被平面,z,=,y,所截,求所截得有限部分的柱面面积,.,解 所求柱面面积为,式中,L,为半椭圆,其参数方程为,于是,作业,P84 1,、,2,、,3,、,5,