高等数学导数应用(三)曲率(课堂PPT).ppt

第六章 一元微积分的应用,本章学习要求：,熟练掌握求函数的极值、最大最小值、判断函数的单调性、判断函数的凸凹性以及求函数拐点的方法。,能运用函数的单调性、凸凹性证明不等式。,掌握建立与导数和微分有关的数学模型的方法。能熟练求解相关变化率和最大、最小值的应用问题。,知道平面曲线的弧微分、曲率和曲率半径的概念，并能计算平面曲线的弧微分、曲率、曲率半径和曲率中心。,第六章 导数的应用,第 五 节 平面曲线的曲率,一、曲率的概念,二、曲率的计算公式,三、参数方程下曲率的计算公式,四、曲率圆、曲率中心,我们已经讨论过曲线的凹凸性,知道如,判定曲线的弯曲程度,.,而在许多实际问题中,何判断曲线的弯曲方向,但是还不能描述和,都必须考虑曲线的弯曲程度,例如,道路的,弯道设计,梁的弯曲程度,曲线形的切削工,具的设计等等,.,你认为应该如何描述,曲线的弯曲程度,?,单位弧长上的转角,一、曲率的概念,例,1,解,求半径为,R,的圆上任意一点处的曲率,.,如图所示,在圆上任取一点,M,则,故,即圆上点的曲率处处相同：,半径越小的圆,弯曲得越厉害,.,设曲线方程为,则在曲线上点,处的曲率为,二、曲率的计算公式,证,如图所示,曲线在,故,又,从而,例,2,解,直线上任意一点处的曲率均为零,.,俗话说,直线不弯曲,.,例,3,解,哪一点曲率最大,哪一点曲率最小,.,利用参数方程求导法求出,故,得驻点,故在各象限中,+,+,由此可得,:,将它们代入曲率计算公式中即可得：,三、参数方程下曲率的计算公式,例,4,解,会出现导数的分母,为零的情形,相同,对称,故原问题可以转为求曲线,图形关于,在有些实际问题中,现在问你一下,:,(,假设单位是统一的,),如果告诉你一条曲线在点,M,处的曲率为,你能想象出它的弯曲程度吗？,如果告诉你有一个半径为,5,的圆,你能想象,出该圆上任何一点处的弯曲程度吗？,由此及前面讲的例题,1,你有什么想法？,曲率圆,曲率半径,曲率中心,处可用一个相应的圆来描述曲线的弯曲程度,作其,法线,在法线指向曲线凹向的一侧上取一点,Q,使,以,Q,为中心,R,为半径所作的圆称为曲线在点,M,处的曲率圆,圆心,Q,称为曲率中心,R,称为,曲率半径,.,三、曲率圆、曲率中心,曲率圆与曲线在点,M,处相切,且在点,M,处,两者曲率相同,.,曲率圆与曲线在点,M,处具有相同的一、二,阶导数,.,当讨论曲线在点,M,处与一、二阶,导数有关的局部性质时,可以通过讨论其相,应的曲率圆的局部性质来实现,.,曲率圆的性质,则曲线在点,曲率中心的坐标,证,则,曲线在点,由于,故有,其斜率为,曲线在点,M,处切线的斜率为,从而,有,(1),(2),由,(1),(2),两式消去,由于曲率圆总是位于曲线凹向的一侧,所以,故对上式两边开方得,由,(2),式,得,画画图更清楚,例,5,解,曲率半径、曲率中心和曲率圆方程,.,曲率中心为,曲率圆的方程为,谢谢观看,