高等数学定积分及其计算教学PPT参考课件.ppt

Nanjing College of Information and Technology,*,第五章 定积分及其应用,第一节 定积分及其计算,第五章 定积分及其应用,第一节 定积分及其计算,第二节 定积分在几何上的应用,第三节 定积分在物理上的应用,1,第一节 定积分及其计算,一,.,定积分的概念与性质,二,.,微积分基本公式,本节主要内容,:,三,.,定积分的积分法,四,.,反常积分,2,一,.,积分的概念与性质,(,一,),定积分问题举例,1.,曲边梯形的面积,设曲边梯形是由连续曲线,以及两直线,所围成,求其面积,A,.,3,显然,小矩形越多,矩形总面积越接近曲边梯形面积,.,观察下列演示过程,注意当分割加细时,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,.,4,观察下列演示过程,注意当分割加细时,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,.,播,幻灯片,75,放,5,解决步骤,:,1),分割,2),取近似,3),求和,4),取极限,6,解决步骤,:,1),分割,在区间,a,b,中任意插入,n,1,个分点,用直线,将曲边梯形分成,n,个小曲边梯形,;,2),取近似,在第,i,个窄曲边梯形上任取,作以,为底,为高的小矩形,并以此小,梯形面积近似代替相应,窄曲边梯形面积,得,7,3),求和,4),取极限,令,则曲边梯形面积,8,2,.,变速直线运动的路程,解决步骤,:,1),分割,2),取近似,3),求和,4),取极限,设某物体作直线运动,上连续,的路程,s,.,已知速度,在,求在运动时间 内物体所经过,9,解决步骤,:,1),分割,将它分成,在每个小段上物体经,2),近似,得,n,个小段,过的路程为,2,.,变速直线运动的路程,设某物体作直线运动,上连续,的路程,s,.,已知速度,在,求在运动时间 内物体所经过,10,3),求和,4),取极限,11,上述两个问题的共性,:,解决问题的方法步骤相同,:,“分割,近似,求和,取极限”,所求量极限结构式相同,:,特殊乘积和式的极限,12,(二)定积分的概念,定义,5.1.1,设函数,f,(,x,),在区间,a,b,上有定义,分割,:,任取分点 把区间,a,b,分割成,n,个小区间,x,i,-1,x,i,第,i,个小区间的长度为 ，记,近似,:,在每个小区间,x,i,-1,x,i,上任取一点,i,(,i,=1,2,n,),求和：,作和式,13,取极限：,当,0,时,若极限 存在,(,这 个极限值与区间,a,b,的分法及点,i,的取法无关,),，则称函数,f,(,x,),在,a,b,上可积,并称这个极限为函数,f,(,x,),在区间,a,b,上的定积分，记作,即,14,积分上限,积分下限,被积函数,被积表达式,积分变量,积分和,15,说明：,1.,闭区间上的连续函数是可积的,;,闭区间上只有有限个间断点的有界函数也是可积的,2.,定积分是一个确定的常数，它取决于被积函数,f,(,x,),和积分区间,a,b,，而与积分变量使用的字母的选取无关，即有,3.,在定积分的定义中,有,a,a,，若极限 存在,则称此极限为函 数,f,(,x,),在,a,+,),上的广义积分,记作 ，即,此时也称广义积分 收敛,;,如果上述极限 不存在,就称 发散,.,68,类似可定义,:,只要有一个极限不存在,就称,发散,.,69,引入记号,则有类似,N,L,公式的计算表达式,:,70,例,30,求,例,31,讨论,的敛散性,.,例,32,求,例,33,求,71,例,30,求,72,例,31,讨论,的敛散性,.,73,例,32,求,74,例,33,求,75,(二)无界函数的广义积分,瑕积分,定义,5.1.3,设函数,f,(,x,),在区间,(,a,b,上连续且,.,取,A,a,如果极限,存在,则称此极限为函数,f,(,x,),在,(,a,b,上的广义积分,记作,即,此时也称广义积分,收敛,否则就称广义积分,发散,.,A,称为,瑕点,.,76,类似可定义,:,（,1,）,x,=,b,为,f,(,x,),的无穷间断点时,:,（,2,）无穷间断点,x,=,c,位于区间,(,a,b,),内,:,77,若瑕点,的计算表达式,:,则也有类似牛,莱公式的,若,b,为瑕点,则,若,a,为瑕点,则,若,a,b,都为瑕点,则,则,当上式右边两个广义积分都收敛,称广义积分收敛,.,78,例,34,求,所以广义积分发散,.,79,例,35,讨论,的敛散性,.,80,内容小结,:,1.,定积分的概念与性质,2.,微积分基本公式,3.,定积分的积分法,4.,反常积分,8,个性质,积分上限函数,81,观察下列演示过程，注意当分割加细时，,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,3,82,观察下列演示过程，注意当分割加细时，,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,13,83,观察下列演示过程，注意当分割加细时，,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,23,84,观察下列演示过程，注意当分割加细时，,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,33,85,观察下列演示过程，注意当分割加细时，,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,43,86,观察下列演示过程，注意当分割加细时，,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,53,87,观察下列演示过程，注意当分割加细时，,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,63,88,观察下列演示过程，注意当分割加细时，,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,73,89,观察下列演示过程，注意当分割加细时，,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,83,90,观察下列演示过程，注意当分割加细时，,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,93,91,观察下列演示过程，注意当分割加细时，,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,103,92,观察下列演示过程，注意当分割加细时，,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,113,93,观察下列演示过程，注意当分割加细时，,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,123,94,观察下列演示过程，注意当分割加细时，,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,133,95,观察下列演示过程，注意当分割加细时，,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,143,96,