数学高考必看.doc

数学高考必看（2016）
一．目前教师中存在的问题
高考什么不清楚 ，清楚了却不照着去做 ，做了却不落实 ， 落实了却不到位 ．
学校最大的遗憾是： 考好了却不知道好的原因；
最大的悲哀是： 考差了却不知道差在哪里 ．所以 ，今年考好了却不敢保证明年还能考好；今年考差了也没有信心明年能考好 ． 师生都在照着那几种教辅玩命地讲练 ，不望问诊切 ，不对症下药 ．过期了的药吃了不能治病 ，吃错了药还会害命。
二．剩下的近3个月要重点做的几件事
1 ． 让学生能熟练地做出近三年高考数学全国I 、II、Ⅲ卷的试题 ， 而且要按照不同的内容分类来做；
2 ． 发现并详细记下学生做各类试题存在的困难和出现的错误 ， 然后分三个层次解决；
3 ． 针对每一个困难或错误找一组题训练 ， 然后再找一道原题的变式题做一做；
4 ． 让学生把自己做各类题遇到的困难或错误 ， 以及解决这些困难或错误的方法烂熟于心。
三．近三年全国I卷考查内容及试题分析
1.高考数学试题分布情况
年份 函数与导数 三角 立体几何
题目 分值 题目 分值 题目 分值
2015年 12,13,21 22 2,8,16 15 6,11,18 22-3=19
2014年 3,11,21 22 6,8,16 15 12,19 17-3=14
2013年11,15,21(5) 22+2=24 15,17(7) 17+2=19 6,8,18 22-3=19
年份 解析几何 概率统计 向量
题目 分值 题目 分值 题目 分值
2015年 5,14,20 22-2=20 4,19 17 7(5,18) 5+2+3=10
2014年 4,10,20 22-2=20 5,18 17 15(10,19) 5+2+3=10
2013年 4,10,20 22 3,19 17 13(18) 5+3=8
年份 数列 不等式与线性规划 排列组合与二项式定理
题目 分值 题目 分值 题目 分值
2015年 17(9) 12+2=14 15(3) 5+2=7 10 5
2014年 17(7) 12+2=14 9(1) 5-2+2=5 13 5
2013年 7,12,14 15-2=13 (1) 2 9 5
年份 算法 复数 集合与逻辑用语
题目 分值 题目 分值 题目 分值
2015年 9 5-2=3 1 5 3 5 -2=3
2014年 7 5-2=3 2 5 1,14 10
2013年 5 5-2=3 2 5 1 5 -2=3
年份 几何证明选讲 坐标系与参数方程 不等式选讲
题目 分值 题目 分值 题目 分值
2015年 22 10 23 10 24 10
2014年 22 10 23 10 24 10
2013年 22 10 23 10 24 10
2.高考数学试题分析（解答题）
（1）导数问题
（2013年II卷第21题）已知函数．（Ⅰ）设是的极值点，求，并讨论的单调性；（Ⅱ）当时，证明．
【 考查问题 】 利用函数的导数求函数的单调性 ，并结合极（ 最 ）值证明有关不等式 ．
（1） 求一个初等函数的导数和极值；（2） 利用函数的单调性和极值列出有关不等式和方程；
（3） 利用导函数的零点得到原函数的最值 ，从而列出有关不等式。
【 命题思路 】 函数既是 中学数学的核心内容又是高等数学的重要基础 ，函数单调性 则是中学函数最重要最普遍的性质 ，选择函数的单调性及其应用作为考查对象 ，通过单调性（本质就是不等关系）证明有关不等式达到考查推理能力和函数与方程思想方法的目的。
解题策略
1） 讨论函数单调性主要是利用函数的导数；求一个字母的值（范围）一般要列关于该字母的方程（不等式）；证明不等式常常是从表示单调性的不等式出发进行推导 ．
（2） 利用函数的导数讨论单调性的关键就是证明f ′(x)>0和f ′(x)<0 ，而常常由f ′(x )=0 的极值点x 作为确定单调区间的突破口；由f(x) 和f ′(x) 的函数值 、f ′(x )=0 可列方程；不等式的证明常常从f ′(x)>0 和f ′(x)<0 两个不等式出发 ，推导时会广泛用到函数和不等式的相关知识. .
（3）得分点：求出函数的导数；讨论函数的单调性；求出函数的极值；由f(x) 和f ′(x) 的函数值 、f ′(x )=0 列出关于某参数的方程；由f ′(x)>0 或f ′(x)<0列出函数和不等式。
（2）解析几何问题
（2013年II卷第20题）平面直角坐标系xOy 中，过椭圆的右焦点F作直线x + y- 3=0 交M于A 、B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为 ．（I ）求M的方程 ；（II ）C ，D为M上两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB ，求四边形面积的最大值。
【 考查问题 】 能利用已知条件求圆锥曲线的方程 ，并由所求方程和其他几何条件( ( 性质) ) 求解有关问题 ．
（1） 求 某 条圆锥曲线的方程；
（2） 根据圆锥曲线方程 、性质和已知条件(( 包括向量关系) 出并求解含a, ,b 或其他未知量的方程 ；
（3）对有关方程或等式变形，从而简化运算和推理；
【 命题思路 】 利用代数方法研究几何问题是解析几何的基本思想 ，而解析几何的主要研究内容则是求圆锥曲线的方程和用方程解决与曲线有关的问题 ， 选择一条圆锥曲线或直线以及与其有关的几何问题作为 考查对象 ， 通过代数方法求方程并解决有关问题达到考查运算求解和推理的能力 、 函数与方程和数形结合的思想方法的目的.
解题策略
（1）求椭圆标准方程就是要求a 和b( ( 或a 2 和b 2 ) ) 的值 ，但求它们的值一般要列出关于它们的两个方程 ，而列方程的关键则是寻找等量关系包括已知方程或等式 ，直线和曲线的性质 ，向量关系以及其他已知条件中隐藏的等量关系 ） ．
（2） 用代数方法求几何面积的最大值 ， 就是要得到面积函数的解析式 ，进而求函数的最大值 ．但要得到函数解析式 ，就需要将表示面积函数的各个变量转化为某个变量的解析式代换 ，而选择哪个变量则是运算求解的关键 ．
（3） 得分点 ：列关于a 和b 的方程和其他等量关系式；求弦长或列弦长关于变量的解析式；求直线与圆锥曲线的交点坐标；求面积关于某个变量的函数解析式；将几何关系（ 包括向量运算 ）变为代数关系
（3）概率统计问题
（2015年I卷第19题）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费 ，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（ 单位：t ）和年利润z( 单位 ：千元) 的 影响 ， 对近8 年的年 宣传费x i 和 年 销售量y i ( (i=1, 2, … … , 8) ) 数据 作了初步处理 ，得到下面的散点图及一些统计量的值.表中
表中wi=,=wi.

(xi-)2
(wi-)2
(xi-)(yi-)
(wi-)(yi-)
46.6
563
6.8
289.8
1.6
1 469
108.8
( Ⅰ) 根据 散点图判断 ，y=ax+b与 与y=c+d ?哪一个适宜作为年销售量y 关于 年宣传费x 的回归方程类型 ？( 给出判断即可，不必说明理由)
( Ⅱ) 根据( Ⅰ) 的 判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；
( Ⅲ) 已知 这种产品的年利率z 与x 、y 的关系 为z=0.2y- -x. 根据( Ⅱ) 的 结果回答下列问题： ( ⅰ) 年 宣传费x=49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ( ⅱ) 年 宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组 数据( (u 1 , v 1 ) ), ( (u 2 , v 2 ) ), …,( (u n , v n ) ) ， 其回归直线
v=α+βu 的 斜率和截距的最小二乘估计分别为：:=,=-.
b a【 考查问题 】 利用随机变量 、 回归分析等概率与统计的主要知识解决实际问题 （ 重点考查统计 ） ．
（1） 统计：用统计方法处理实际问题 ，主要侧重于从已知数据或图表中提取有用的信息 ，通过回归分析经历数据处理的过程和用统计方法进行决策 ．
（2） 概率：通过简单计算求概率并了解其意义；( ( 理科) ) 求随机变量的分布( ( 含分布列 ), 并了解数字特征的意义。
【 命题思路 】 选择一个背景公平的随机现象实例 ，对统计方法处理问题的全过程 （ ① 抽样 、 ② 整理数据 、 ③ 提取数字特征 、 ④ 给出统计结论 、 ⑤ 对结论的讨论 ） 中的部分环节 （ ② 、 ③ 、 ④ 、 ⑤ ） 进行考查 ，并结合概率或随机变量对实际问题中的随机现象进行分析或解释。
解题策略
（1） 从频率分布直方图中提取信息：每一需求量对应一个频率；每一矩形区间的频率相同 ， 即区间的中间值；能求各矩形的面积并解释 （ 频率对概率的估计值 ） ；求随机变量的取值 ；
（2） 根据散点图选择回归方程类型 ， 理解并利用回归模型公式求回归方程；
（3） 从独立重复试验模型及其分布出发求有关概率 ， 进而计算数学期望和方差；
（4） 得分点 ：提取统计图表中的重要数据；确定回归模型类型并根据最小二乘公式代值求解；尽可能求出分布列中的各个概率；给出计算数学期望和方差的过程和结果 ．
（4）立体几何问题

（2013年II卷第18题）如图,直棱柱中,分别是的中点,.(Ⅰ)证明:平面; (Ⅱ)求二面角的正弦值.

【 考查问题 】 根据棱柱( ( 锥) ) 中的线面位置关系及数量关系 ， 证明和求解其他线面位置关系和数量关系 ．
（1）证明线面平行；（2）证明线面垂直；（3）求空间中角的大小；（4）求 空间中线段的长或距离
【 命题思路 】 立体几何的主要内容是几何体的结构特征和空间位置关系与数量关系 ， 从结构特征出发选择一个几何体 ，将证明和求解几何体中线面的位置关系和数量关系作为考查对象 ，以达到考查空间想象能力 、推理论证能力以及转化与化归的思想方法的目的.
解题策略
（1） 证明空间中的线面位置关系 ， 就是要根据有关的定义和定理进行推理论证 ，而关键则是将空间位置关系转化为某个平面图形中的有关关系 （ 常常还需要作辅助线帮助构建平面图形或确定平面中的位置关系 ） ，利用平面几何的知识加以证明 ．
（2） 空间中的基本数量关系 就 是角度和长度( ( 距离) ) ， 一种方法是先找到并证明所求对象符合定义 ， 进而再在一个平面图形中求值； 但更好的方法是 ，建立空间坐标系 ，利用向量运算直接计算出结果 ．
（3） 得分点 ：作辅助线构建平面图形体现位置关系式；将空间位置关系转化为平面位置关系；证明平面位置关系；建立空间坐标系；向量运算
（5）数列问题
（2015年I卷第17题）Sn为数列{an}的前n项和.已知an>0,+2an=4Sn+3.
(1)求{an}的通项公式. (2)设bn=,求数列{bn}的前n项和.
【 考查问题 】 通过已知数列的递推关系式等条件 ，求与有关数列的通项公式 、 和有关的问题 ． 包括：
（1） 求数列的通项公式；（2）求数列某项或某几项的值；（3） 求数列前n 项或某几项的和
【 命题思路 】 数列既是中学数学的核心内容 ，又是大学的重要内容 ．从一个确定的等差( ( 比) ) 数列出发 ，利用其固有条件构造一个递推关系式作为题目的条件 ， 通过将递推关系式变形 、 化归 、 求解 ， 在考查等差( 比) ) 数列主要知识的同时 ， 还考查代数推理能力 ， 转化与化归以及函数与方程的思想方法。
解题策略
（1）求通项公式就是要求a =f( (n) ) ， 而等差( ( 比) ) 数列还可以求公差( ( 比) ) 和首项 ，一般方法是将已知的等量关系式变形 ， 得到a =f( (n) ) 或 关于 公差( ( 比) ) 和 首项的方程 ， 从而解方程得解 ．
（2） 数列求和 ， 一是先确定其为等差( ( 比) ) 数列 ， 再利用数列性质或求和公式得解；二是通过化简和式得解 ．
（3） 得分点 ：列关于a 和a 的方程 ， 和关于a 的方程 ；通过转化与化归解方程得a - a 和a 1 的值；化简数列 {b} 的前n 项和式并得解
（6）三角问题
（2013年II卷第17题）△ABC 中的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a = b cosC ＋c sinB ．（I ） 求B ；（II ）若b=2 ，求△ △ ABC 面积的最大值
【 考查问题 】 解三角形 ，并求解或证明与已知三角形有关的问题 ．
（1） 求三角形的边或角；（2）求三角形中的面积或其他几何量；（3） 求三角形中的面积或其他几何量的最值 ，或证明有关几何关系。
【 命题思路 】 三角既是中学数学的核心内容又是大学学习的基础 ．限定条件构造一个三角形便自然地给出了一个三角函数背景 ， 通过解三角形并解决有关问题不仅能综合考查三角函数 、 三角变换等三角的主要知识 ， 还能考查代数推理能力和转化与化归 、函数与方程的思想方法
解题策略
（1） 解三角形首先就是要 列关于角( 边) 的三角方程 ， 而列方程可依据正余弦定理 、 已知条件和三角形中的几何等量关系等条件 ， 求 解一般需要进行代数变换或通过三角公式进行三角变换 ．
（2） 求面积的 最值 ，首先是如何求该面积；然后才是怎样根据面积表达式求最值 ， 一般可以利用基本不等式 、函数性质或导数 、方程思想 ．
（3） 得分点 ：列关于所求角( ( 边) ) 的三角方程 ， 除了已知等式 ， 还要根据正余弦定理 、 三角形中的几何等量关系 、三角函数公式列方程 ；与所列方程中的角( ( 边) ) 有关的代数变换或三角变换；给出面积表达式并转换为某个变量的函数
（7）几何证明选讲问题
（2015年I卷第22题） 如图 ，AB 是 ⊙O 的直径， ， AC 是 ⊙O 的切线， ， BC 交 ⊙O 于点E ．
（I ）若D 为AC 的中点， 证明：DE 是 ⊙O 的切线 ；（II ）若OA＝ ＝ 3CE ，求 ∠ACB 的 大小．
【 考查问题 】 根据直线与圆的数量关系或位置关系 ，求解或证明其他有关的数量关系或位置关系 ．
（1） 求角的大小 ，或证明两个角相等；（2） 求线段的长 ，或证明两条线段相等；
（3） 证明两直线垂直；（4） 证明两直线平行；
【 命题思路 】 构造一至多条直线与一个圆的位置关系 ， 围绕教材的概念和定理 ， 给出几个数量或位置关系的已知条件 ，求解或证明有关的数量或位置关系 ，以达到考查推理论证能力 以及转化与化归的思想方法的。
解题策略
（1） 这里要求解或证明有关的数量关系或位置关系 ，主要是推理或求解有关角或线段长度的大小 ，就是从已知和未知出发 ，先建立与教材中有关概念和定理的联系 ， 然后建立已知与未知的联系 ， 从而推理或求解 ． 而建立各种联系常常需要作辅助线 ， 并便于利用教材中的知识 ．
（2） 得分点 ：作恰当的辅助线；能在已知图形的基础上正确运用教材中的概念和定理；求出所求数量关系 ， 或证明 、 求解与所求数量关系有关的位置或数量关系
（8）坐标系参数方程问题
（2015年I卷第23题）在直角坐标系xOy中.直线C1:x=-2,圆C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求C1,C2的极坐标方程.(2)若直线C3的极坐标方程为θ=,设C2与C3的交点为M,N,求△C2MN的面积.
【 考查问题 】 能将已知直线或曲线的一种形式方程转化为另一种形式的方程 ， 并由已知方程和其他几何条件求解简单问题 ．
（1） 直线或曲线的普通方程 、 参数方程 、 极坐标方程的互化；
（2） 利用直线或曲线的参数 方程或极坐标方程 ， 简化运算和推理 ， 从而求解简单的问题。
【 命题思路 】 利用代数方法研究几何问题是解析几何的基本思想 ， 而4 4- -4 4 的主要研究内容则是理解坐标系和参数或极坐标方程 ， 选择一条圆锥曲线或直线以及与其有关的几何问题作为 考查对象 ， 通过转化方程形式并利用参数或极坐标方程解决有关简单问题达到命题要求的考查目的.
解题策略
（1） 转化方程形式 ， 包括普通方程转化为参数方程和极坐标方程 ， 参数方程转化为普通方程和极坐标方程 ， 以及极坐标方程转化为普通方程和参数方程 ， 关键是建立坐标系 ， 以及将直角坐标表示为极坐标和参数的形式 ．
（2） 这里求解的简单问题 ， 主要是利用参数方程或极坐标方程进行代数推理 ， 从而简化运算 ． 关键是利用参数方程建立函数 ， 或利用极坐标方程求线段的长 ．
（3） 得分点 ：用极坐标或参数表示任意点的直角坐标；将点的含参数的坐标或极坐标代入方程；求直线与圆锥曲线的交点坐标；求几何量关于参数的函数解析式；用极径表示线段的长。
（9）不等式选讲问题
（2015年I卷第24题）已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0.(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集. (2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.
【 考查问题 】 利用基本不等式等主要不等式和绝对值不等式定理 ， 求解或证明有关不等式 ．
（1） 求已知不等式的解集；（2） 根据已知条件列出并求解有关参数的不等式；（3） 通过证明有关不等式 ， 解决与不等式有关的问题
【 命题思路 】 函数与方程 、 不等式有本质的联系 ， 选择合适的函数建立与主要不等式的联系 ， 从而直接或间接地构造不等式作为 考查对象 ， 通过求解或证明 有关不等式达到考查理解主要不等式和 函数与方程思想方法的目的.
解题策略
（1） 这里求解或证明不等式 ， 主要是利用基本不等式和绝对值不等式及其定理 ， 并根据不等式的性质进行推理 ．
（2） 利用具体函数的图象和性质也可以帮助找到不等式的解集或为证明不等式提供思路 ．
（3） 要从已知函数或有关条件出发 ， 列出关于某参数的不等式或其他不等式 ， 解决有关问题 ．
（4） 得分点 ：将不等式化简变形；讨论不等式的解集情况； 求 出不等式的解集；由已知函数或有关条件 列出新的不等式；根据不等式的解集回答有关问题。