工程数学第7讲公开课获奖课件.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,工程数学,第7讲,本文献可从网址,上下载,(单击ppt讲义后选择工程数学子目录),1,第1页,2,第2页,3,第3页,由此,当,z,z,0,时,得,而y(z)=1/j(z)在z0解析,并且y(z0)0,因此z0是f(z)m级极点.,证毕,这个定理为判断函数极点提供了一种较为简朴措施.,4,第4页,5,第5页,6,第6页,5.函数在无穷远点性态,假如函数,f,(,z,)在无穷远点,z,=,去心邻域,R,|,z,|内解析,称点为,fz,)孤立奇点.,7,第7页,8,第8页,规定,假如t=0是j(t)可去奇点,m级极点或本性奇点,则称点z=是f(z)可去奇点,m级极点或本性奇点.由于f(z)在R|z|+内解析,因此在此圆环域内可以展开成洛朗级数,根据(4.4.5)与(4.4.8),C为R|z|+内绕原点任何一条简朴正向闭曲线,9,第9页,假如在级数(5.1.6)中i)不含负幂项,ii)具有有限多负幂项,且t-m为最高幂,iii)具有无穷多负幂项,则t=0是j(t)i)可去奇点,ii)m级极点,iii)本性奇点.,10,第10页,因此,在级数(5.1.5)中,i)不含正幂项;ii)具有限多正幂项,且zm为最高幂;iii)具有无穷多正幂项;则z=是f(z)i)可去奇点;ii)m级极点;iii)本性奇点.,11,第11页,12,第12页,13,第13页,14,第14页,2,留数,15,第15页,1.留数定义及留数定理 假如函数f(z)在z0邻域内解析,那末根据柯西-古萨基本定理,不过,假如z0为f(z)一种孤立奇点,则沿在z0某个去心邻域0|z-z0|R内包括z0任意一条正向简朴闭曲线C积分,一般就不等于零.,16,第16页,因此将f(z)在此邻域内展开为洛朗级数f(z)=.+c-n(z-z0)-n+.+c-1(z-z0)-1+c0+c1(z-z0)+.+(z-z0)n+.后,两端沿C逐项积分,右端各项积分除留下c-1(z-z0)-1一项等于2pic-1外,其他各项积分都等于零,因此,其中,c,-,1,就称为,f,(,z,)在,z,0,留数,记作Res,f,(,z,),z,0,即,17,第17页,定理一(留数定理)设函数f(z)在区域D内除有限个孤立奇点z1,z2,.,zn外到处解析.C是D内包围诸奇点一条正向简朴闭曲线,则,D,z,1,z,2,z,3,z,n,C,1,C,2,C,3,C,n,C,18,第18页,证 把在C内孤立奇点zk(k=1,2,.,n)用互不包括正向简朴闭曲线Ck围绕起来,则根据复合闭路定理有,19,第19页,求函数在奇点z0处留数即求它在以z0为中心圆环域内洛朗级数中c-1(z-z0)-1项系数即可.但假如懂得奇点类型,对求留数也许更有利.假如z0是f(z)可去奇点,则Resf(z),z0=0,由于此时f(z)在z0展开式是泰勒展开式.假如z0是本性奇点,则没有太好措施,只好将其按洛朗级数展开.假如z0是极点,则有某些对求c-1有用规则.,20,第20页,2.留数计算规则规则1,假如,z,0,为,f,(z)一级极点,则,规则2,假如,z,0,为,f,(z)一级极点,则,21,第21页,实际上,由于f(z)=c-m(z-z0)-m+.+c-2(z-z0)-2+c-1(z-z0)-1+c0+c1(z-z0)+.,(z-z0)mf(z)=c-m+c-m+1(z-z0)+c-1(z-z0)m-1+c0(z-z0)m+.,令两端zz0,右端极限是(m-1)!c-1,两端除以(m-1)!就是Resf(z),z0,因此即得(5.2.5),当m=1时就是(5.2.4),22,第22页,23,第23页,24,第24页,由规则1,得,25,第25页,我们也可以用规则III来求留数:,这比用规则1要简朴些.,26,第26页,27,第27页,28,第28页,29,第29页,30,第30页,3.在无穷远点留数 设函数f(z)在圆环域R|z|内解析,C为圆环域内绕原点任何一条简朴闭曲线,则积分,值与,C,无关,称其为,f,(,z,)在,点留数,记作,积分路线方向是负.,31,第31页,定理二 假如函数f(z)在扩充复平面内只有有限个孤立奇点,那末f(z)在所有各奇点(包括点)留数总和必等于零.证 除点外,设f(z)有限个奇点为zk(k=1,2,.,n).又设C为一条绕原点并将zk(k=1,2,.,n)包括在它内部正向简朴闭曲线,则根据留数定理与在无穷远点留数定义,有,32,第32页,33,第33页,34,第34页,3,留数在定积分计算上应用,35,第35页,1.形如 积分,其中,R,(cos,q,sin,q,)为cos,q,与sin,q,有理函数.令,z,=e,i,q,则d,z,=,i,e,i,q,d,q,36,第36页,其中f(z)是z有理函数,且在单位圆周|z1上分母不为零,根据留数定理有,其中,z,k,(,k,=1,2,.,n,)为单位圆|z|=1内,f,(,z,)孤立奇点.,37,第37页,例1,计算 值.,解 由于0p1,被积函数分母在0qp内不为零,因而积分是故意义.由于,cos2q=(e2iq+e-2iq)/2=(z2+z-2)/2,因此,38,第38页,在被积函数三个极点,z,=0,p,1/,p,中只有前两个在圆周|,z,|=1内,其中,z,=0为二级极点,z,=,p,为一级极点.,39,第39页,40,第40页,41,第41页,取积分路线如图所示,其中CR是以原点为中心,R为半径在上半平面半圆周.取R合适大,使R(z)所有在上半平面内极点zk都包在这积分路线内.,z,1,z,2,z,3,y,C,R,-,R,R,O,x,42,第42页,此等式不因CR半径R不停增大而有所变化.,43,第43页,44,第44页,45,第45页,46,第46页,3.形如 积分,当R(x)是x有理函数而分母次数至少比分子次数高一次,且R(x)在实数轴上没有奇点时,积分是存在,象2中处理同样,由于m-n1,故对充足大|z|有,47,第47页,因此,在半径R充足大CR上,有,48,第48页,49,第49页,50,第50页,还可以运用复变函数计算出如下积分值:,51,第51页,作业 第五章习题,第183页开始,第1题 第1),2),3)小题,第8题 第1),2),3)小题,第9题 第1),2)小题,52,第52页,