三角形重心、外心、垂心、内心的向量表示及其性质.doc

三角形“四心”向量形式的充要条件应用
1．O是的重心;
若O是的重心，则故;
为的重心.
2．O是的垂心;
若O是(非直角三角形)的垂心，则
故
3．O是的外心(或)
若O是的外心则
故
4．O是内心的充要条件是
引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记的单位向量为，则刚才O是内心的充要条件可以写成　 ，O是内心的充要条件也可以是 。若O是的内心，则　
A
C
B
C
C
P
故　;
是的内心;
向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)；
(一)将平面向量与三角形内心结合考查
例1．O是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则P点的轨迹一定通过的（ ）
（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心
解析：因为是向量的单位向量设与方向上的单位向量分别为， 又，则原式可化为，由菱形的基本性质知AP平分，那么在中，AP平分，则知选B.
(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”
例2． H是△ABC所在平面内任一点，点H是△ABC的垂心.
由,
同理，.故H是△ABC的垂心. （反之亦然（证略））
例3.(湖南)P是△ABC所在平面上一点，若，则P是△ABC的（D　）
A．外心　 B．内心　 C．重心　 D．垂心
解析:由.即

则 所以P为的垂心. 故选D.
(三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”
例4． G是△ABC所在平面内一点，=0点G是△ABC的重心.
证明 作图如右，图中
连结BE和CE，则CE=GB，BE=GCBGCE为平行四边形D是BC的中点，AD为BC边上的中线.
将代入=0，
得=0，故G是△ABC的重心.（反之亦然（证略））
例5． P是△ABC所在平面内任一点.G是△ABC的重心.
证明
∵G是△ABC的重心 ∴=0=0，即
由此可得.（反之亦然（证略））
例6 若 为内一点， ，则 是 的（     ）
A．内心           B．外心        C．垂心          D．重心
解析：由得，如图以OB、OC为相邻两边构作平行四边形，则，由平行四边形性质知，，同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选D。
(四) 将平面向量与三角形外心结合考查
例7若 为内一点，，则 是 的（     ）
A．内心           B．外心        C．垂心          D．重心
解析：由向量模的定义知到的三顶点距离相等。故 是 的外心 ，选B。
(五)将平面向量与三角形四心结合考查
例8．已知向量，，满足条件++=0，||=||=||=1，
求证 △P1P2P3是正三角形.（《数学》第一册（下），复习参考题五B组第6题）
证明 由已知+=-，两边平方得·=，
同理 ·=·=，
∴||=||=||=，从而△P1P2P3是正三角形.
反之，若点O是正三角形△P1P2P3的中心，则显然有++=0且||=||=||.
即O是△ABC所在平面内一点，
++=0且||=||=||点O是正△P1P2P3的中心.
例9．在△ABC中，已知Q、G、H分别是三角形的外心、重心、垂心。求证：Q、G、H三点共线，且QG:GH=1:2。
【证明】：以A为原点，AB所在的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系。设A(0,0)、B（x1,0）、C(x2,y2)，D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，则有
由题设可设,
A
B(x1,0)
C(x2,y2)
y
x
H
Q
G
D
E
F

即，故Q、G、H三点共线，且QG：GH=1：2
例10．若O、H分别是△ABC的外心和垂心.
求证 .
证明 若△ABC的垂心为H，外心为O，如图.
连BO并延长交外接圆于D，连结AD，CD.
∴，.又垂心为H，，，
∴AH∥CD，CH∥AD，
∴四边形AHCD为平行四边形，
∴，故.
著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”——外心、重心、垂心的位置关系：
（1）三角形的外心、重心、垂心三点共线——“欧拉线”；
（2）三角形的重心在“欧拉线”上，且为外——垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍。
“欧拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题.
例11． 设O、G、H分别是锐角△ABC的外心、重心、垂心. 求证
证明 按重心定理 G是△ABC的重心
按垂心定理 由此可得 .
一、“重心”的向量风采
【命题1】 是所在平面上的一点，若，则是的重心．如图⑴.
M

图⑵
图⑴

【命题2】 已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则的轨迹一定通过的重心.
【解析】 由题意，当时，由于表示边上的中线所在直线的向量，所以动点的轨迹一定通过的重心，如图⑵.

二、“垂心”的向量风采
【命题3】 是所在平面上一点，若，则是的垂心．
【解析】 由，得，即，所以．同理可证，．∴是的垂心．如图⑶.

图⑷
图⑶

【命题4】 已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的垂心．
【解析】 由题意，由于，
即,所以表示垂直于的向量，即点在过点且垂直于的直线上，所以动点的轨迹一定通过的垂心，如图⑷.
三、“内心”的向量风采
【命题5】 已知为所在平面上的一点，且，， ．若，则是的内心．

图⑹
图⑸

【解析】 ∵，，则由题意得，
∵，
∴．∵与分别为和方向上的单位向量，
∴与平分线共线，即平分．
同理可证：平分，平分．从而是的内心，如图⑸.
【命题6】 已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的内心．
【解析】 由题意得，∴当时，表示的平分线所在直线方向的向量，故动点的轨迹一定通过的内心，如图⑹.

四、“外心”的向量风采
【命题7】 已知是所在平面上一点，若，则是的外心．

图⑺
图⑻

【解析】 若，则，∴，则是的外心，如图⑺。
【命题7】 已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的外心。
【解析】 由于过的中点，当时，表示垂直于的向量（注意：理由见二、4条解释。），所以在垂直平分线上，动点的轨迹一定通过的外心，如图⑻。

补充练习
1．已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点P满足
= (++2),则点P一定为三角形ABC的 （ B ）
A.AB边中线的中点 B.AB边中线的三等分点（非重心）
C.重心 D.AB边的中点
1. B取AB边的中点M，则，由= (++2)可得3，∴，即点P为三角形中AB边上的中线的一个三等分点，且点P不过重心，故选B.
2．在同一个平面上有及一点Ｏ满足关系式： ＋＝＋＝＋，则Ｏ为的 （  D  ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
2．已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足：，则P为的 （  C  ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
3．已知O是平面上一 定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P 满足：
，则P的轨迹一定通过△ABC的 （  C  ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
4．已知△ABC，P为三角形所在平面上的动点，且动点P满足：
，则P点为三角形的 （  D   ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
5．已知△ABC，P为三角形所在平面上的一点，且点P满足：，则P点为三角形的 （ B   ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
6．在三角形ABC中，动点P满足：，则P点轨迹一定通过△ABC的： （ B ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
7.已知非零向量与满足(+)·=0且·= , 则△ABC为( )
A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形
解析：非零向量与满足()·=0，即角A的平分线垂直于BC，∴ AB=AC，又= ，∠A=，所以△ABC为等边三角形，选D．
8.的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，，则实数m = 1
9.点O是所在平面内的一点，满足，则点O是的（B ）
（A）三个内角的角平分线的交点 （B）三条边的垂直平分线的交点
（C）三条中线的交点 （D）三条高的交点
10. 如图1，已知点G是的重心，过G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且，
，则。
证 点G是的重心，知O，
得O，有。又M，N，G三点共线（A不在直线MN上），
于是存在，使得，
有=，
得，于是得。

1、课前练习
1.1已知O是△ABC内的一点，若，则O是△ABC的〔 〕
A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
1.2在△ABC中，有命题①；②；③若，则△ABC为等腰三角形；④若，则△ABC为锐角三角形，上述命题中正确的是〔 〕
A、①② B、①④ C、②③ D、②③④
例1、已知△ABC中，有和,试判断△ABC的形状。
练习1、已知△ABC中，，，B是△ABC中的最大角，若，试判断△ABC的形状。
4、运用向量等式实数互化解与三角形有关的向量问题
例2、已知O是△ABC所在平面内的一点，满足，则O是△ABC的〔 〕
A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
5、运用向量等式图形化解与三角形有关的向量问题
例3、已知P是△ABC所在平面内的一动点，且点P满足，则动点P一定过△ABC的〔 〕
A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
练习2、已知O为平面内一点，A、B、C平面上不共线的三点，动点P满足，则动点P 的轨迹一定通过△ABC的〔 〕
A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
例4、已知O是△ABC所在平面内的一点，动点P满足，则动点P一定过△ABC的〔 〕
A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
练习3、已知O是△ABC所在平面内的一点，动点P满足，则动点P一定过△ABC的〔 〕
A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
例5、已知点G是的重心，过G作直线与AB、AC分别相交于M、N两点，且，求证：
7、作业
1、已知O是△ABC内的一点，若，则O是△ABC的〔 〕
A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
2、若△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，且，则等于〔 〕
A、 B、0 C、1 D、
3、已知O是△ABC所在平面上的一点，A、B、C、所对的过分别是a、b、c若，则O是△ABC的〔 〕
A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
4、已知P是△ABC所在平面内与A不重合的一点，满足，则P是△ABC的〔 〕
A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
5、平面上的三个向量、、满足，，求证：△ABC为正三角形。
6、在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM＝2，求

- 10 -