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数列中蕴涵的数学思想

数学思想是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中。数学思想与数学知识的形成过程同步发展，同时又贯穿于数学知识的学习理解和应用过程，是学生形成数学能力的必由之路。而数列知识中蕴涵着丰富的数学思想。

一、 函数与方程思想
例1、在等差数列中，已知，，那么= 。
解法1：设数列的公差为d，则 解得
∴
评析：方程思想突出研究已知量与未知量间的等量关系，通过列方程（组）达到求值的目的。本题利用等差数列的性质：来列方程组求解，思路简洁、明晰，体现了方程的思想。
解法2：由于为等差数列，故前项和： 。
令，，则：。此时可视为的二次函数。由题意得： 解得：
∴ 则
评析：函数思想贯穿于高中代数的全部内容，在研究数列时，函数与方程思想起着十分重要的作用。本题利用等差数列的求和公式：，在时，可视是关于的二次函数，从而利用方程组来求解。这就是函数思想的体现。
例2、已知数列，其中，且数列为等比数列，求常数。
解：因为是等比数列，
所以（为公比）即
所以
整理得
即 对于一切自然数都成立。
而 ＞，＞，
所以 解得 或 所以 或。
评析：此题从数列与方程的交汇处着手，根据等比数列的定义，得出一个关于自然数的恒等式，进而列方程组求解。这其中蕴涵着函数和方程的思想。

二、 数形结合思想
例1、设等差数列中，为前项的和，且 ，求。
分析：等差数列的前项和公式为。当时，是的二次函数。设，又，故对称轴为。由二次函数对称性知：。
评析：数形结合就是使函数解析式与函数图象、方程与曲线建立起一一对应关系，使数量关系与图形性质相互转化。本题借助二次函数的对称性，利用数形结合思想使数列问题更直观、明了。
例2、在数列中， 。问为何值时，取得最大值和最小值？
y
x
O

1
解：，
设函数，其图
象如图所示：
则满足的和的值
为函数图象上的点。易知最小，最大。
评析：数形结合就是“数”与“形”的相互转化，但解决过程中往往偏重于由“数”到“形”的转化。

三、 分类讨论思想
例1、已知等比数列的前项之和为，前项之和为，公比＞。令，求。
解：当时，，。
当时， ∴
若＜＜时，；若＞时，。
综上，
评析：分类讨论经常运用于含字母系数的数学问题，要注意正确进行分类，选取恰当的标准，进行不重不漏的划分。本题中等比数列的前项和要分和两种情况分别讨论。
例2、已知数列满足（，，），且首项为，求通项。
解：当时， ∵
∴ ……（1）
令，则 即
由（1）得：
∴ 是以为首项，公比为的等比数列。
故
当时，，即，则是等差数列，故。
综上，当时，；当时，。
评析：本题中容易误认为，从而忽视对是否为1的讨论。解题中要注意讨论的分类标准和分类的完整。

四、 化归与转化思想
例1、等差数列前项和为30，前项和为100，则它的前项和为（ ）。
（A）130 （B）170 （C）210 （D）260
解：令，则，。故，则公差。∴ ∴ 故选（C）项。
评析：化归与转化思想是指在解决数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，从而使问题得到解决。其特点在于灵活性和多样性常用变换方法有一般与特殊的转化、繁与简的转化、构造转化、命题的等价转化等。由于本题是选择题，因此可利用化归思想中从一般到特殊的思想。对进行赋值，令，较易得出答案，使解法简单化。
例2、定义：若数列对任意，满足（为常数）。则称数列为等差比数列。（1）若数列的前项和满足，求的通项公式，并判断该数列是否为等差比数列；（2）若数列为等差数列，试判断是否一定为等差比数列，并说明理由；（3）试写出一个等差比数列的通项公式，使此数列既不是等差数列，也不是等比数列。
解：（1）当时，， （1）
， （2）
（1）-（2）得，所以，即。

又，所以， 。
任给，，故数列为等差比数列。
（2）设等差数列的公差为，则。
当时，（1为常数）。从而数列是等差比数列。
当时，即数列是常数列时，不是等差比数列。
（3）通项如 形式的数列，如，不是等差数列，也不是等比数列，但为常数，是等差比数列。
评析：本题把一个新定义的数列问题，通过分析、类比，转化为等差（比）数列，把未知转化为已学、已知，体现了化归这一基本思想。

五、 特殊与一般思想
例1、已知数列中，，且，，其中=1，2，3，……。（Ⅰ）求，；（Ⅱ）求的通项公式。
解：（Ⅰ）∵ ……（1）
令，有：
∵ …… （2）
令，有：
同样，对递推式（1），令，有：；
对递推式（2），令，有：。
（Ⅱ）将（1）式代入（2）式，得：
又

………

将以上各式相加得：

将上式代入递推式（1）得：
因此的通项公式为：
当为奇数时，；当为偶数时，。
评析：本题在由求、、、时，将所给递推式中的字母赋以特殊值1和2分别计算，体现了由一般到特殊的过程；在求几个特殊项的过程中，观察其规律，找到数列递推关系式的特点，从而找到解题思路和方法，这就是由特殊到一般的思维飞跃。

六、有限与无限思想
例1、已知是各项为正数的等差数列，、、成等差数列．又，．
(Ⅰ) 证明为等比数列；
(Ⅱ) 如果无穷等比数列各项的和，求数列的首项和公差．
(注：无穷数列各项的和即当时数列前项和的极限)
解：（Ⅰ）设数列{an}的公差为d，依题意，由 得
即，得 因
∴ 当=0时，{an}为正的常数列 就有
当=时，,就有
于是数列{}是公比为1或的等比数列
（Ⅱ）如果无穷等比数列的公比=1，则当→∞时其前项和的极限不存在。
因而=≠0，这时公比=，
这样的前项和为
则S=
由，得公差=3，首项==3
评析：有限与无限思想经常是在考查其它数学思想和方法的同时进行考查，如在由特殊到一般的归纳思想和用数学归纳法证明时，都体现了有限与无限思想。本题是在考查极限概念和四则运算时，体现了有限与无限思想。随着高中课程的改革，这种思想的体现和运用必将随着新增内容而得到不断加强，应该引起我们的重视。