2018年6月浙江省学业水平考试数学.docx

一、 选择题
1. 已知集合，，则（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
B
解答：
由集合，集合，得.
2. 函数的定义域是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
A
解答：
∵，∴，，∴函数的定义域是.
3. 设，则（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
C
解答：
根据诱导公式可以得出.

4. 将一个球的半径扩大到原来的倍，则它的体积扩大到原来的（ ）
A. 倍
B. 倍
C. 倍
D. 倍
答案：
D
解答：
设球原来的半径为，则扩大后的半径为，球原来的体积为，球后来的体积为，球后来的体积与球原来的体积之比为.
5. 双曲线的焦点坐标是（ ）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
答案：
A
解答：
因为，，所以，所以焦点坐标为，.
6. 已知向量，，若，则实数的值是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
A
解答：
，，利用的坐标运算公式得到，所以解得.
7. 设实数，满足，则的最大值为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
B
解答：
作出可行域，如图：

当经过点时，有.
8. 在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，则（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
C
解答：
由正弦定理可得
9. 已知直线，和平面，，则“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
答案：
B
解答：
因为“直线和平面垂直，垂直与平面上所有直线”，但是“直线垂直于平面上一条直线不能判断垂直于整个平面”所以是必要不充分条件。
10. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A. 向右平移个单位
B. 向左平移个单位
C. 向右平移个单位
D. 向左平移个单位
答案：
A
解答：
因为，所以要得到的图象只需将的图象向右平移个单位.
11. 若关于的不等式的解集为，则的值（ ）
A. 与有关，且与有关
B. 与有关，但与无关
C. 与无关，且与无关
D. 与无关，但与有关
答案：
D
解答：
∵
∴，与无关，但与有关.
12. 在如图所示的几何体中，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，则该几何体的正视图为（ ）

A.
B.

C.
D.
答案：
C
解答：
画三视图要注意：可见轮廓线要用实线，不可见轮廓线要用虚线，所以选C
13. 在如图所示的几何体中，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，二面角的正切值为（ ）

A.
B.
C.
D.
答案：
D
解答：
过点作连接,因为平面与平面垂直且，所以,所以,所以，所以即是两平面的二面角.过作，所以四边形为平行四边形，所以,所以,

14. 如图，，分别为椭圆的右顶点和上顶点，为坐标原点，为线段的中点，为在上的射影，若平分，则该椭圆的离心率为（ ）

A.
B.
C.
D.
答案：
D
解答：
法一：
设，，则，，结合正切的二倍角公式知，化简得，故.
法二：
，，，，.
由内角平分线定理，，代入化简得，故.
15. 三棱柱各面所在平面将空间分为（ ）
A. 部分
B. 部分
C. 部分
D. 部分
答案：
C
解答：
想象一个没有上下底的三棱柱（上下两边无限延伸），将三棱柱的侧面延伸出来，俯视图如图所示，分成个区域.拿两个水平的平面去截（其实就是三棱柱上下底面所在平面），分成上中下三个大块，每个大块个区域，共个区域.

16. 函数（其中为自然对数的底数）的图象如图所示，则（ ）

A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
答案：
C
解答：
为偶函数，向右移个单位为，由图可知，当时，，故.
17. 数列是公差不为的等差数列，为其前项和.若对任意的，有，则的值不可能为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
A
解答：
由可知公差，，.
法一：

如图，在数轴上标出数列，不妨设原点到的距离为，公差.
则.
法二：
，由上图可知，是占的比值，这个比值与的大小有关，越大，这个比值越小，所以，.
18. 已知，是正实数，则下列式子中能使恒成立的是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
B
解答：
对于A，取，该不等式成立，但不满足；
对于C，该不等式等价于，取，，该不等式成立，但不满足；
对于D，该不等式等价于，取，，该不等式成立，但不满足；
下面证明B
法一：
该不等式等价于，而.
函数在上单增，故.
法二：
若，则，故，矛盾.

二、 填空题
19. 圆的圆心坐标是_______，半径长为_______.
答案：
；
.
解答：
因为圆，所以圆心坐标为，半径.
20. 如图，设边长为的正方形为第个正方形，将其各边相邻的中点相连， 得到第个正方形，再将第个正方形各边相邻的中点相连，得到第个正方形，依此类推，则第个正方形的面积为______.

答案：
.
解答：
第1个正方形边长为4，面积,第二个正方形边长为，面积,以此类推得到，所以
21. 已知，则实数的取值范围是_______.
答案：
.
解答：
易得，故.
由得，故，所以.
22. 已知动点在直线上，过点作互相垂直的直线，分别交轴、轴于、两点，为线段的中点，为坐标原点，则的最小值为_______.
答案：
.
解答：
设，，，，，故.
.
三、 解答题
23. 已知函数，.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函数的最大值，并求出取到最大值时的集合.
答案：
（Ⅰ）；
（Ⅱ），.
解答：
（Ⅰ）.
（Ⅱ）因为，所以，函数的最大值为，当，即时，取到最大值，所以，取到最大值时的集合为.
24. 如图，直线不与坐标轴垂直，且与抛物线有且只有一个公共点.

（Ⅰ）当点的坐标为时，求直线的方程；
（Ⅱ）设直线与轴的交点为，过点且与直线垂直的直线交抛物线于，两点.当时，求点的坐标.
答案：
（Ⅰ）；
（Ⅱ）.
解答：
（Ⅰ）设直线的斜率为，则的方程为，联立方程组，消去，得，由已知可得，解得，故，所求直线的方程为.
（Ⅱ）设点的坐标为，直线的斜率为，则的方程为，联立方程组，消去，得，由已知可得，得，所以，点的纵坐标，从而，点的纵坐标为，由可知，直线的斜率为，所以，直线的方程为.设，，将直线的方程代入，得，
所以，，又，，，由，得，即，解得，所以，点的坐标为.
25. 设函数，其中.
（Ⅰ）当时，求函数的值域；
（Ⅱ）若对任意，恒有，求实数的取值范围.
答案：
（Ⅰ）；
（Ⅱ）.
解答：
（Ⅰ）当时，，
（ⅰ）当时，，此时；
（ⅱ）当时，，此时，
由（ⅰ）（ⅱ），得的值域为.
（Ⅱ）因为对任意，恒有，所以，即，解得.
下面证明，当，对任意，恒有，
（ⅰ）当时，，，故成立；
（ⅱ）当时，，，，故成立.
由此，对任意，恒有.
所以，实数的取值范围为.