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挖掘数学本质，提炼核心素养
----记一堂《倍的认识（第三课时）》有感
前言：
三年级是数学学习的分水岭，学生在接触了一二年级的基础知识、基本运算和基本技能之后，带入了新的基本数学思想和基本活动经验，学生的学习会变得有些迷茫，甚至有可能会出现很多批判性的异象，似乎是对教学产生了极大的影响。与此同时，教材又发生了很大程度的改革，新教材的沿用，更加适应了学生的正常思维提高和基本能力训练。如何打破陈旧，树立新的知识结构和模型，如何自主学习，如何探究算理算法成为了三年级学生需要重点去解决的问题。
所以对三年级的数学课本总结就是一个字“破”，既有打破陈旧，还原数学本质之说，又有突破自我，树立数学根基之用。例如：时分秒的教学，是对一年级认识钟表本质“冲破”，万以内数的加法和减法，是对一、二年级100以内的加法和减法算理“揭破”，测量是对二年级长度单位、克与千克拓展“承破”，多位数乘一位数是对二年级表内乘法延伸“延破”，长方形和正方形是对一年级认识物体和图形认知“打破”，分数的初步认识是对数组成概念的全新“突破”……这么多“破”究其本质更多的是为了“立”，树立新的知识框架，建构新的知识模型，生成新的知识理念，所以三年级的教学会比之前和之后的教学都要显得重要和复杂。
但是在所有课程中，教材编排将原先的二年级“倍的认识”提升至三年级上册教学，让很多老师百思不得其解，它仅仅只是对表内乘法的延续还是一种新的概念的突破？教师如果带有太多的迷茫，给学生的教学将会带来更大的问题，所以我们不仅要发问：教材编排的目的是什么？究竟需要让学生掌握什么知识概念？教学中需要关注什么？数学核心素养究竟在哪里？
内容选择：
毫无疑问，基于新课程标准对小学数学教材的改编，新教材的沿用肯定更尊重了学生的个性发展。整套教材严格落实“四基”、“四能”，重视学生对解决问题能力的培养，激发学生对数学思想的思考和对活动经验的积累。
在倍的认识一章教学中“承前”是万以内数的加法和减法，“启后”是多位数乘一位数的教学。那么“倍的认识”更多是为了承前还是启后呢？毫无疑问，更多地是为了给“多位数乘一位数”做铺垫。
究竟铺垫了什么？很多老师认为，本质就是为了教学多位数乘一位数，或者了解其算理算法，所以教学中过多的强调对算法的理解，或者一味的强调“倍”的意义，表示一个数的几倍用乘法，要求几倍关系用除法等等。缺少了对数学核心素养的挖掘。
事实上，倍的认识教学核心应在于对小学“数形结合”数学思想的理解。更主要的是为了让学生学会画图，通过草图或概念图，从而了解数学本质，或者乘法、除法计算的意义。
一味地强调计算的算理或者计算过程，忽视了对“数形结合”思想的深化，则会让学生很难达到理解题意的目的，三年级的学生还是更多的注重感性思维，缺少一定的理性思维，学生喜欢画图，需要通过教师的引导，让学生画的图是有意义的，是可以为教学做辅助的。接着让学生通过“数与形”的结合，理解题目的本质意义，从而进一步理解“倍”的本质含义，这才是对“倍”最本质的认识和理解。最后可以通过一定的练习突破乘法与加法的联系，可以适当地起到“承上启下”的衔接作用。
过程设计：
倍的认识总分三节课时，每节课对“数形结合”思想和草图的画法等重点都有所不同。
例一是对白萝卜、红萝卜、胡萝卜之间倍数关系的理解。图形通过教材或者教师直接给出，学生只要注意观察，发现其中的倍数关系或者了解几倍关系后数量是多少即可，教学中需要挖掘的数学本质是对倍数关系的理解，也就是乘法、除法雏形的形成。
例二是对擦桌椅和扫地人数之间理解倍数关系，需要学生自己画图此时的画图学生会比较注重人物的画法，因为毕竟是人数之间的比较，所以学生在设计画图过程中会比较具体形象的画出人物模型，在通过数量的比较，自主得到了倍数关系，这样的倍数关系还可以让学生自己寻找，但是只是物体之间的比较，重点是对除法意义的理解。
例三则有了很大层次的突破，通过象棋、军棋价格的比对，学生不但需要理解几个几是多少，也就是对乘法意义的理解，同时也将图形进行的抽象，不再具体画出军棋或者象棋的模型，而是借用线段图进行价格的表示，这是一种借用概念图来帮助进行数的理解。所以学生需要达到的是这样的目标，教师在教学中更要注重对其核心素养的把握。
所以以例题三为例，在教学中教师需要先强调，上节课我们学习的是对数形结合思想的初步探究，了解了画图可以帮助我们快速分析问题，理解“倍的认识”。与此同时，回顾如何比较大小的，学生提出画图，画出一个一个人物：

然后通过比较，得出12里面有3个4，也就是说擦桌椅的人数是扫地人数的3倍。
在教师画图的过程中，学生会初步感知话“人物”图相对比较麻烦，当新课介绍时，教师画“人物”图，学生可能感知不是很明显，觉得能比较出倍数关系，而且具体形象，是一种比较不错的手段方法，但是一旦出现在复习课上，学生明显感觉到时间的浪费，而且在画的过程中并没有给大家带来多大的意义和帮助，所以学生会初步感知可以选用一些其他的图形来代替“人物”图。
再引入新课：军棋的价钱是8元，象棋的价钱是军棋的4倍，象棋价钱多少元？让学生尝试画图。
预设1：军棋：
象棋：

具体形象的比喻象棋和军棋是一种学生对物体把握准确性的理解，但是缺少的是对事物本质的理解，所以在介绍过程中，教师可以有的放矢的抓住问题的主干，究竟是在比较物体数量还是比较价格，学生会慢慢引导到去究其问题主干的过程中，于是能发现最终的表达意义。于是会产生
预设2：军棋：
象棋：

此时教师的关注点应该放在学生对物体具体形象的把握转而向抽象思维过渡的过程。所以可以通过同学之间的比较，发现有的同学画的一元比较简单，有的画的比较精细，那么究竟画的精细与否对解决问题有没有帮助呢？学生书写“1元”，和画一个“”硬币，对解决问题有没有影响，学生会慢慢感受到，其实只要表达的意思一样，画图只需要满足直观观察清晰就行，至于用什么图形可以自主选择，所以让学生们感受到可以借助一些简单的文字或图形来代替既能节省时间，同时也能帮助很好的分析问题。
预设3：军棋：

象棋：
此时，不但直观观察了倍数关系，同时又把具体的实物抽到到图形中，让学生在理解上更升了一个阶层，其实有些时候不需要学生去关注无关信息，就像作业中出现的无关信息一样，需要提炼学生如何去把握有用信息，剔除无关信息，让学生在解决问题中有更好的数学思维，有效的抓住数学核心素养。
但是这样的设计是否是最简便的，有没有比这个更直观更简便，有同学就会想到，我们有一元一元的硬币，如果有“两元”的纸币，表示八元只需要4张，画起来更容易，那么我们假如自己造出一张“八元”的纸币，画起来就会更加容易，更快捷，学生会达到这样的提炼，就是很好的数学核心素养的把握和数学思想的升华。
八元
预设4：军棋：

象棋：
学生有效的把多个量揉和成一个量，这是一个质的超越，学生发现可以把八个一元（或者圆）看成一个整体，其中4倍就是4个“八元”，所以学生从理解上又进一步转化为量上的比较，最后教师询问，有没有更简化式的表达，那么学生就进一步想到，其实用线段长短来表示数量的大小也是一种简单直观而且方便的画法，所以学生在操作中会有比较好的提炼。
预设5：军棋：

象棋：

用一定线段的长表示“八元”，4倍可以用等长的四条线段表示，或连接起来形成一条更长的线段，但无论如何表达都能直观、方便、形象的让学生发现其中的倍数关系，并且有效地借用草图，抓住了问题的本质通过思考,让学生理解这条线段表示什么意思，这条线段又表示什么意思，来理解线段图同样可以表示价格的多少，只是把价格视为长短进行比较，达到“数形结合”思考的数学思想，挖掘了数学教学的核心素养。
当然，类似的设计还可以很多不用线段长短表示，用正方形大小或者用数量的多少等等，都可以恰当的反映出倍数关系，但是要在直观和形象表达的同时，还能比较简洁方便，这样的设计就是比较完美的。
让学生理解象棋是军棋价格的4倍关系，得出草图，通过草图，让学生写出表达式，最后加以分析，这才是学习倍的认识最主要的意义，也是教材编排的合理体现数学核心素养的所在。
教后说教：
倍的认识作为三年级从加法到乘法的过渡，必须要学生抓住其中的核心素养，就是对数形结合的应用和对算理算法的理解。学生从表象的物体转而理解到抽象的图形思维，是一种质的飞跃。从多个量到一个量的转化是一种量的进步，所以教学中教师需要狠狠把握好这个度，让学生在自主学习或观察中发现问题，进而解决问题。
倍的认识又是为乘法内容做铺垫的，所以排除计算后，小学三年级阶段学习倍的认识最主要的核心素养还是充分感受“数形结合”对解决数学问题的优势性。所以在教学中可以不必过多的强调计算的难易程度，相反的可以多让学生画图或者通过图形的比较，设计大量的不同的图例，从而对比、比较发现其中的优势，让学生充分感受“数形结合”的数学思想。
只有练习充分得当了，学生在学习多位数乘一位数上才能有较好的理解，学会通过画图来表示其中意义，也为以后学习更高数位的乘法或除法计算做铺垫。
同时，也需要告知学生的是，在不同条件下要画出相对比较合理的草图。如果同学选择用长方形面积大小表示4倍关系，可能就很难理解和观察。
如：军棋：

象棋：

所以在本节课的处理上，要做到位的是让学生在感知数学魅力的同时，充分调动学生的积极性，通过发现用实物表示量的多少很复杂，而用线段抽象表示出价格的多少相对简单直观，从而思考怎样表达更加合理，让学生在今后选择中有一个初步的概念雏形。
这样后期教学P71~72例题时，学生画的草图非常标准，选择也非常合理。
例8学生会选择用圆表示一个碗，3个碗就是3个圆，一共18元，求8个碗要多少元可以先除后乘，先算出一个碗也就是一个圆的大小，再求8个。
例9学生则会选择用线段图表示总价，因为此时是总价一致，用圆的大小来表示价格明显不合理，所以学生在画图中有意识的体现出了线段长短相等表示总价相等，而每段线段的不同来表示单价的不同等等。
所以充分挖掘出倍的认识在数学教学中所体现出来的核心素养，是非常有利于开发学生对新知识的认知和对数学思想能力的培养，让学生在思考中前行，在实践中升华。
专家点评：
本节课的设计思路非常清晰，主旨在于体现当下数学教学中推崇的“数形结合”数学思想，挖掘了对教材中提出几何直观和模型思想的数学核心素养。不但将复杂的问题简单化，而且让具体的思维抽象化，把多个量转化成一个量，把具体的实物用简单的示意图表示出来，让学生不再纠结于物体是什么，而是展示出其中的最本质的数学思想和简单的数学模型，通过几何直观了解数学信息，从而得出数学算式，而这样的教学就是有效的教学，也满足“以学定教”的教学目标，真正能挖掘出学生的数学味，让学生更有数学思考。
通过各种草图形式的分析，学生不但在能力上得到了提升，而且在思考过程中有了质和量的升华，教材编排的目的是让学生体验“数形结合”思想在解题中的优势，而徐老师则更进一步的挖掘了数学核心素养，抽象了数学思维能力，让学生不但学会数形结合解决问题，更尽兴了优化比较，得出了分析问题需要“简单化”、“抽象化”、“合理化”。这是老师常年教学思考后方可具备的。
教材编排是为后续学习乘法服务的，所以在教学中要更多地关注的是学生未来发展，要巧借倍的认识为名，重点培养学生的数学味，让学生有话说，让学生善题问，让学生多思考，更主要的是让学生能理解。怎样能巧妙合理的解决数学问题，怎样能快速准确的抓住数学本质，挖掘数学核心素养，这是教师在教学中需要多思考的地方。
当然本节课的设计还可以更加完整些，上课中过多的关注了学生对数形结合思想的应用，恰恰忽略了对算理算法的分析，究竟倍表示什么含义？几倍关系可以是怎样通过加法或乘法关系联系起来的？老师可能会有的放矢的选择教学重难点，但让学生体验的过程是必不可少的！如何挖掘学生、老师、教材等对数学核心素养的认知？让学生在学习中充分展示数学思想，让思想得到升华，这是一个课题，也是一项任务！