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教学创新课例：正弦定理

作者：安徽省阜阳市太和中学 数学组 阮艳艳
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正弦定理

一、教学内容分析：
《普通高中课程标准数学教科书·数学(必修5)》(人教A版)第一章《解三角形》：“正弦定理和余弦定理”的第1课。“解三角形”既是高中数学的基本内容，又有较强的应用性，在这次课程改革中，被保留下来，并独立成为一章。解三角形作为几何度量问题，应突出几何的作用和数量化的思想，为学生进一步学习数学奠定基础。本课“正弦定理”，作为单元的起始课，为后续内容作知识与方法的准备，是在学生已有的三角函数及向量知识的基础上，通过对三角形边角关系作量化探究，发现并掌握正弦定理（重要的解三角形工具），解决简单的三角形度量问题。教学过程中，应发挥学生的主动性，通过探索发现、合情推理与演绎证明的过程，提高学生的思辨能力。
二、学生学习情况分析：
由于本课内容和一些与测量、几何计算有关的实际问题相关，教学中若能注意课程与生活实际的联系，注重知识的发生过程，定能激起学生的学习兴趣。当然本课涉及代数推理，定理证明中可能涉及多方面的知识方法，综合性强，学生学习方面有一定困难。
三、设计思想：
定理教学中有一种简陋的处理方式：简单直接的定理呈现、照本宣科的定理证明，然后是大剂量的“复制例题”式的应用练习。本课采用实验探究、自主学习、合作交流的研究性学习方式，重点放在定理的形成、证明的探究及定理基本应用上，努力挖掘定理教学中蕴涵的思维价值。从实际问题出发，引入数学课题，最后把所学知识应用于实际问题。
四、教学目标：
让学生从已有的知识经验出发,通过对特殊三角形边角间数量关系的探求，发现正弦定理；再由特殊到一般，从定性到定量，探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，猜想，比较，推导正弦定理，由此培养学生合情推理探索数学规律的数学思考能力；培养学生联想与引申的能力，探索的精神与创新的意识，同时通过三角函数、向量与正弦定理等知识间的联系来帮助学生初步树立事物之间的普遍联系与辩证统一的唯物主义观点。
五、教学重点与难点：
本节课的重点是正弦定理的探索、证明及其基本应用；难点是正弦定理应用中“已知两边和其中一边的对角解三角形，判断解的个数”，以及逻辑思维能力的培养。
435m

C
B
A
六、教学过程设计：
（一）创设情境:
问题1、在建设水口电站闽江桥时,需预 先测量桥长AB,于是在江边选取一个测量 点C,测得CB=435m,∠CBA=,∠BCA=。由以上数据，能测算出桥长AB吗？这是一个什么数学问题?
引出：解三角形——已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程。
[设计意图：从实际问题出发，引入数学课题。]
师：解三角形，需要用到许多三角形的知识，你对三角形中的边角知识知多少？
生：······，“大角对大边，大边对大角”
师：“a＞b＞c ←→ A＞B＞C”，这是定性地研究三角形中的边角关系，我们能否更深刻地、从定量的角度研究三角形中的边角关系？
引出课题：“正弦定理
[设计意图：从联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对于过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构。]
（二）猜想、实验：
1、发散思维，提出猜想：从定量的角度考察三角形中的边角关系，猜想可能存在哪些关系？
[学情预设：此处，学生根据已有知识“a＞b＞c ←→ A＞B＞C”，可能出现以
下答案情形。如
a/A=b/B=c/C,a/sinA=b/sinB=c/sinC, a/cosA=b/cosB=c/cosC,a/tanA=b/tanB=c/tanC，······等等。]
[设计意图：培养学生的发散思维，猜想也是一种数学能力]
2、研究特例，提炼猜想：考察等边三角形、特殊直角三角形的边角关系，提炼出a\sinA=b\sinB=c\sinC。
3、实验验证，完善猜想：这一关系式在任一三角形中是否成立呢？
请学生以量角器、刻度尺、计算器为工具，对一般三角形的上述关系式进行验证，教师用几何画板演示。在此基础上，师生一起得出猜想，即在任意三角形中，有a\sinA=b\sinB=c\sinC。
[设计意图：着重培养学生对问题的探究意识和动手实践能力]
（三）证明探究：
对此猜想，据以上直观考察，我们感情上是完全可以接受的，但数学需要理性思维。如何通过严格的数学推理，证明正弦定理呢？
1、 特殊入手，探究证明 ：
在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。在RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,， 根据锐角的正弦函数的定义，有，，又, 则 ，从而在直角三角形ABC中，。
2、推广拓展，探究证明 ：
问题2：在锐角三角形ABC中，如何构造、表示 “a与、 b与sinB”的关系呢？
探究1：能否构造直角三角形，将问题化归为已知问题？
[学情预设：此处，学生可能出现以下答案情形。学生对直角三角形中证明定理的方法记忆犹新，可能通过以下三种方法构造直角三角形。
生1：如图1，过 C作BC边上的线CD，交BA的延长线于D，得到直角三角形DBC。
生2：如图2，过A作BC边上的高线AD，化归为两个直角三角形问题。
生3：如图3，分别过B、C作AB、AC边上的垂线，交于D，连接AD，也得到两个直角三角形······]
经过师生讨论指出：方法2，简单明了，容易得到“c与、 b与sinB”的关系式。
[知识链接：根据化归——这一解决数学问题的重要思想方法，把锐角三角形中正弦定理的证明归结为直角三角形问题是自然不过的。而方法3将把问题延伸到四点共圆，深究下去，可得=2R，对此，可留做课后思考解决]

图1
图2
_
c
_
b
_
a
_
a
_
C
(
bcosA
,
bsinA
)
_
D
(
acos
(

-
B
)
,
asin
(

-
B
))
_
B
(
c
,
0
)

图3 图4

探究2：能否引入向量，归结为向量运算？
（1）图2中蕴涵哪些向量关系式？
学生探究，师生、生生之间交流讨论，得（这三个式子本质上是相同的）, 等,
（2）如何将向量关系转化为数量关系？(施以什么运算?)
生：施以数量积运算
（3）可取与哪些向量的数量积运算？
[学情预设：此处，学生可能会做如下种种尝试，如两边自乘平方、两边同时点乘向量（或），均无法如愿。此时引导学生两边同时点乘向量,并说出理由：数量积运算产生余弦，垂直则实现了余弦与正弦的转换。]
[知识链接：过渡教材中，证明方法所引用的单位向量就是与向量 共线的单位向量。过去，学生常对此感到费解，经如此铺垫方显自然]

探究3：能否引入向量的坐标形式，把向量关系转化为代数运算？
（1）如图4，建立直角坐标系，可得：A(0,0),B(c,0),C(bcosA,bsinA),
（2）向量的坐标=？ （bcosA-c，bsinA）
（3）哪一点的坐标与向量的坐标相同？由三角函数的定义，该点的坐标又为多少？
根据平行四边形法则，D（），从而建立等量关系：bcosA－c= bsinA= , 整理，得c= bcosA+ acosB（这其实是射影定理），a/sinA=b/sinB，同理可得a/sinA=c/sinC。
[知识链接：向量，融数与形于一体，是重要的数学工具，我们可以通过向量的运算来描述和研究几何元素之间的关系（如角与距离等），这里学生已经学过向量，可根据学生素质情况决定是否采用探究2与3]
问题3：钝角三角形中如何推导正弦定理？（留做课后作业）
（四）理解定理、基本应用：
1、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

问题4、定理结构上有什么特征，有哪些变形式？
（1）从结构看：各边与其对角的正弦严格对应，成正比例，体现了数学的和谐美。
（2）从方程的观点看：每个方程含有四个量，知三求一。 从而知正弦定理的基本作用为：
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如；
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如。
2、例题分析
例1．在中，已知，，cm，解三角形。
评述：定理的直接应用，对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。
例2．在中，已知，解三角形（角度精确到，边长精确到1cm）。
评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。
课后思考：已知三角形的两边一角，这个三角形能唯一确定吗？为什么？
3、课堂练习：
（1）、引题（问题1
（2）、在△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[设计意图：设计二个课堂练习，练习（1）目的是首尾呼应、学以致用；练习（2）则是将正弦定理、简易逻辑与平面几何知识整合，及时巩固定理，运用定理。]
（五）课堂小结：
问题5：请同学们用一句话表述学习本课的收获和感受。
生1：原来我只会解直角三角形，现在我会解一般三角形了
师：通过本课学习，你发现自己更强大了。
生2：原来我以为正弦定理的证明，只有书上一种方法，今天我们学到了课本以外的众多方法。
师：我们学习过两个重要数学工具，即三角函数与平面向量，正弦定理的证明充分展示了它们的妙用。
生3：公式很美。
师：美在哪里？
生3：体现了公式的对称美，和谐美······
在同学们的热烈讨论的基础上，用课件展示小结：
1、在正弦定理的发现及其证明中，蕴涵了丰富的思想方法，既有由特殊到一般的归纳思想，又有严格的演绎推理。在定理证明中我们从直观几何角度、向量运算角度探求了数学工具的多样性。
2、正弦定理反映了边与其对角正弦成正比的规律,据此，可以用角的正弦替代对边，具有美学价值
3、利用正弦定理解决三类三角形问题：
（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角。
（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边 的对角，进而求出其他的边和角。
（3）实现边与角的正弦的互化。
[设计意图：通常，课堂小结均由老师和盘托出，学生接受现成的结论。本设计充分发挥学生思维参与的主动性和创造性，师生合作，让课堂小结成为点睛之笔。]
（六）作业布置：
1、书面作业：P10习题1.1 1、2
2、研究类作业：
1）在钝角三角形中探求证明定理的不同方法。
2）在△ABC中，，研究k的几何意义
3）已知三角形的两边一角，这个三角形能唯一确定吗？
[设计意图：对问题3），根据分散难点，循序渐进原则，在例2中初步涉及，在课后让学生先行思考，在“正、余弦定理”第三课时中予以下图的剖析阐述。]

b

a

b

a

b

a

b

a

a

已知边阿a
a,b
和

A

仅有一个解

有两个解

仅有一个解

无解解

a
?

b

CH
=
bsinA探索。以问题解决为中心，通过提出问题，完善问题，解决问题，拓展问题，采用实验探究、自主学习的研究性学习方式，重点放在定理的形成与证明的探究上，努力挖掘定理教学中蕴涵的思维价值，培养学生的思辨能力。改变了定理教学中简陋的处理方式（简单直接呈现、照本宣科证明，大剂量的“复制例题”式的应用练习）。
2、“用教材教，而不是教教材”，尽管教材中对本课知识方法的要求并不高，只介绍了通过作高将一般三角形变换为直角三角形，再将三角比变换得到等式的化归方法，但教学不仅是忠实执行课程标准，而且是师生共同开发课程，将教材有机裁剪，并融入个性见解的过程。如在正弦定理的证明探究中，学生完全可能围绕“如何构造直角三角形八方联系，广泛联想，分别应用平面几何四点共圆、向量的数量积运算、向量的坐标运算等知识方法。本课设计充分预设各种课堂生成，尽量满足不同思维层次学生的需求。
3、突出数学的本质。正弦定理的本质是“定量地描写三角形边角之间的关系”，是“大角对大边，小角对小边”的定量化。但量、算、猜不能代替数学思考与逻辑证明，而定理的证明实质是：用垂直做媒介，将一般三角形化为直角三角形处理。本课设计既讲类比联想，又讲逻辑推理，让学生知其然，知其所以然。
4、来源于生活实际，又回到生活中，强调了数学应用意识。
点评：
本课通过精心设计“发现和解决问题”的过程，注重讲背景、讲过程、讲应用，引导学生主动学习、勇于探索。首先从具体问题情境出发，在教师的指导下，结合学生的已有知识经验，通过自主学习，进行发散式猜想与探究判断，去伪存真，提炼猜想，并通过实验验证，完善猜想。其次，在定理证明阶段，通过新旧知识的连接点设问，搭建知识脚手架，让学生展开联想，力求引导学生寻找合理的知识方法（如本课知识生长点：三角函数与平面向量两大工具），进行自主性的活动与尝试，进一步拓展学生知识链。
整节课的设计体现从特殊到一般再回到特殊的研究方法。定理教学体现了教师指导下的学生再创造，充分发挥了学生学习的主动性，让学生在自主探究、实验、猜测、推理中感受和体验，较好地培养与提高了学生发现问题与解决问题、类比与猜想、联想与引申等能力以及探索精神与创新意识。此外，本节课的设计还关注多媒体辅助教学的适当运用，在定理的探求中充分使用了几何画板给予直观演示，强调培养学生应用数学的意识和动手实践的能力；引导学生注意学自己身边的数学，感知生活中包涵的数学现象与数学原理。

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