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解决平面向量问题的六个基本策略

高三复习，贵在快捷有效，让所学的知识系统化，网络化，让解题方法形成方法论.“平面向量”这一部分内容作为高考的重要考点，经常出现在在选择填空的压轴题中，同学们在处理这类问题是常常无从下手.我们对多年的高考题进行系统整理、研究，总结出解决平面向量问题的六种基本策略，供大家参考.
一、坐标化策略：坐标法应该是处理平面向量问题的主要方法，只要能够建立平面直角坐标系，把点的坐标表示出来，则向量的坐标就可以求出来，从而平面向量的四大常见问题：平行、垂直、夹角、模长都可以套相应的公式解决。如果图形特殊，如涉及正方形、矩形、等边三角形、等腰三角形、等腰梯形、直角梯形等，有时也会给一个定角和一些线段长度的不规则图形，均可尝试坐标化策略解决问题.
例1.已知直角梯形ABCD中，,P是腰DC上的动点，则的最小值是
分析：以D为坐标原点，DA所在的直线为x轴，DC所在的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，由题意可得A（2，0）P（0，y）C(0,c),则=，于是当y=时取得最小值5.
二、数量化策略：教科书上证明正、余弦定理时重点如何将向量等式数量化，而向量数量化的基本方法是平方法（）或向量等式两边同时乘以一个向量，进行数量积运算.
三、算两次策略：平面向量基本定理的重要前提是向量不共线，而结论有两点：一是存在一对实数，使得a=e1+e2；二是这对实数是唯一的。这唯一性是说：a=e1+e2=e1+e2 ,则必有=,=，其实质相当于从两点重合推出其坐标相等，或从两个复数相等推出其实部和虚部分别相等，这种由一个等式获取两个等式的法则，又称为算两次的思想，是方程思想的另一种表述，在高中数学中应用广泛，如几何中的等面积法、等体积法等.
例2.设向量a与b不平行，向量a+b与a+2b平行，则实数=
解析：因为向量a+b与a+2b平行，所以a+b=（a+2b），则
a+b=a+2b,又因为向量a与b不平行，由平面向量基本定理可得
=且1=2，因此=
四、基底化策略：平面向量基本定理(平面向量分解定理)是解决向量问题的重要工具，它的作用在于把平面中纷繁复杂的向量都用两个不共线的基向量来表示。其关键是选好一组基底（两个向量的模长与夹角应该已知），其他向量都用这一组基底进行线性表示.
例3.在中，已知,AB=2，AC=3，,,则||=
分析：本题中，若建系，点与点之间的坐标关系很难找到，不是一个明智的选择。换个角度，因为线段AB,AC的长度和夹角都已知，所以选取向量作为基底，将用这一组基底进行线性表示.
解：=-+，
而=+,,从而=+,因此，=(+=+=
五、巧用回路转化策略：所谓回路，就是向量从一点出发，通过一个封闭的图形又回到起点的那个通路.就是这个直观而又简单的回路，常常关系到问题解决的成败，但你在解题过程中想到了要利用回路，那么问题的解决就会变得简洁。适当选择回路，是向量解题的基本手法，关键之处就在于领会向量几何，其运算不仅仅是数的运算，还包括图形的运算，数学大师张景中称其为 “绕来绕去的向量法”.如果遇到题目中只告诉一条线段的长，则用回路法将其他向量都用该向量表示.
例4.在中，M是BC边上的中点，||=1,P是线段AM上的一个点，且,则的值是（ A ）
A、 B、 C、 D、
分析:因为=,，所以=4=
例5.在中，D是BC边上的一点，且,P是线段AD上的一个动点，若||=2,则的最小值是（B ）
A、-8 B、-4 C、-2 D、 0
分析：===4
设,则
=4=()
所以的最小值为-4
六、几何化策略：除了代数的坐标法之外，利用几何意义数形结合也是处理平面向量问题的重要方法，因此要灵活构建平面图形，凸显向量几何本色.
1.构建“三角形.
例6.若|a|=1,|b|=2,c=a+b,且ca,则向量a与b的夹角为=
解析：当题目中出现一些特殊角度或特殊的线段关系，比如线段相等或二倍关系等，应该首先考虑构造图形来解决.
作直角,,设a=,b=,则
a+b,,延长CA到D,使得AD=CA,可得向量向量a与b的夹角为
2.构建“圆”.如果题目中出现单位向量，共起点的单位向量的终点在同一个圆，因此可以构造一个圆，进行特殊化处理.
平面向量是近代数学中重要的基本数学概念之一，它集形数于一身，是数形结合的有效载体，是沟通代数、几何与三角函数工具.如何有效突破平面向量问题，关键是要抓住向量概念的核心，即向量具有几何形式与代数形式的“双重身份”，因此解决向量问题有向量代数与向量几何两个基本解决思路，其中向量几何注重从形的角度分析解决问题，可衍伸为基底化策略、巧用回路转化策略、几何化策略；向量代数注重从坐标运算与布列方程的角度分析解决问题，可衍伸为坐标化策略、数量化策略、算两次策略.因此平面向量问题既可以从“数”的角度来解决，也可以从“形”的角度来思考，一题多法，多题一解。

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