2015届广东惠州第一次考试数学(理).doc

惠州市2015届高三第一次调研考试
数 学 (理科）
本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1．复数（其中为虚数单位）的虚部是 （ ）

2．已知集合，，则下列结论正确的是（ ）

3．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为人，现用分层抽样的方法从该
校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高三年级抽取的学生人数为 ( )

4．已知等差数列的前项和为，若，则 ( )
4

3
2
3
3
正视图
侧视图
俯视图

5．在二项式的展开式中，含的项的系数是（ ）

6．若某几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积等于（ ）

7．已知都是区间内任取的一个实数，则使得的取值的概率是（ ）

8．已知向量与的夹角为，定义为与的“向量积”，且是一个向量，它的
长度，若，，则（ ）

二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分30分）
（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答．
9． 函数的定义域是 .
10．以抛物线的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为2的双曲线方程是 .
11．用数字1,2,3,4可以排成没有重复数字的四位偶数，共有____________个.
12．设变量满足，则的最大值是 .
13．函数的定义域为，，对任意，，则的解
集为 .
（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。
14．（坐标系与参数方程选做题）极坐标系中，分别是直线和
A
P
O
B
圆上的动点，则两点之间距离的最小值是 .
15．(几何证明选讲选做题)如图所示，是等腰三角形，
是底边延长线上一点，
且，，则腰长= .

三、解答题：（本大题共6小题，满分80分．须写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤．）
16．（本小题满分12分）
已知.
(1)求的值；
(2)求的值．

17．（本小题满分12分）
去年2月29日，我国发布了新修订的《环境空气质量标准》指出空气质量指数在为优秀，各类人群可正常活动.惠州市环保局对我市2014年进行为期一年的空气质量监测，得到每天的空气质量指数，从中随机抽取50个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为，，，，由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图，如图.
(1) 求的值；
(2) 根据样本数据，试估计这一年度的空气质量指数的平均值；
（注：设样本数据第组的频率为，第组区间的中点值为，则样本数据的平均值为.）
(3) 如果空气质量指数不超过，就认定空气质量为“特优等级”，则从这一年的监测数据中随机抽取天的数值，其中达到“特优等级”的天数为，求的分布列和数学期望.
空气质量指数
频率
组距
0.032
0.020
0.018
O
5
15
25
35
45

18.（本小题满分14分）
如图，在直三棱柱中，平面侧面，且
(1) 求证：；
B
A1
C
A
B1
C1
(2) 若直线与平面所成的角为，求锐二面角的大小。

19．（本小题满分14分）
已知数列中，，前项和．
(1) 求数列的通项公式；
(2) 设数列的前项和为，是否存在实数，使得对一切正整数都
成立？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．

20．（本小题满分14分）
椭圆的离心率为，其左焦点到点的距离为．
(1) 求椭圆的标准方程；
(2) 若直线与椭圆相交于两点(不是左右顶点)，且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．
F2
O
x
y
P
A
B
F1
A2
l

21．（本小题满分14分）
已知关于的函数，其导函数为．记函数 在区间上的最大值为．
(1) 如果函数在处有极值，试确定的值；
(2) 若，证明对任意的，都有；
(3) 若对任意的恒成立，试求的最大值．
惠州市2015届高三第一次调研考试
数学 (理科）参考答案与评分标准
一．选择题：共8小题，每小题5分，满分40分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案

C
C
B
D
A
C
A
D

1. 【解析】化简得，则虚部为，故选
2. 【解析】已知集合,故选
3. 【解析】三个年级的学生人数比例为，按分层抽样方法，在高三年级应该抽取人
数为人，故选
4. 【解析】由题意，等差数列中，所以，故选
3
2
4
3
第6题图
5. 【解析】由二项式定理可知，展开式的通项为，则得，所以含项
的系数为，故选
6. 【解析】由三视图可知，原几何体是一个三棱柱被截去了一个小三棱锥得到的，
如图，故选

7. 【解析】此题为几何概型，事件A的度量为函数的图像在内与轴围成的图形的面积，即，则事件A的概率为，故选
8解析】由题意，则，，得，由定义知，故选
二．填空题：共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．
9． 10． 11．12 12． 13． 14． 15．
9. 【解析】由得，则定义域为：
10．【解析】抛物线焦点，则双曲线中：，且，得，又得，
O
C
B
A
1
1
-1
x
y
y=-x
则双曲线的标准方程为：
11．【解析】由题意，没有重复数字的偶数，则末位是2或4，
当末位是时，前三位将，，三个数字任意排列，则
有种排法，末位为时一样有种，两类共有：
种，故共有没有重复数字的偶数个。
12．【解析】由约束条件画出可行域如图所示，
则目标函数在点取得最大值， 代入得，故的最大值为。
13．【解析】设函数，则，得函数在上为增函数，
且，所以当时，有，得，
故不等式的解集为
14．【解析】由题意，直线，圆的标准方程，则圆心到直线的距离为，且圆半径，故
15．【解析】以为圆心，以为半径作圆，则圆经过点，即，设与圆交于
点且延长交圆与点，由切割线定理知，即，
A
B
P
O
C
D
得，所以
三、解答题：

16．（本小题满分12分）
解：（1）∵ ，则 -------------------------1分
∴¹ ---------------------------2分
∴\ ----------------------------4分
\ ----------------------------5分
（2） 原式 ---------------------------7分
÷ è ø ----------------------------9分
---------------------------10分
= ------------------------------11分
------------------------------12分

17．（本小题满分12分）
(1) 解：由题意，得， ……………1分
解得. ……………2分
（2）解：个样本中空气质量指数的平均值为
……………3分
由样本估计总体，可估计这一年度空气质量指数的平均值约为. …………4分
（3）解：利用样本估计总体，该年度空气质量指数在内为“特优等级”，
且指数达到“特优等级”的概率为，则. ……………5分
的取值为， ……………6分
，，
，. ……………10分

∴的分布列为：

……………11分
∴. ……………12分
（或者）
18．（本小题满分14分）
解：（1）证明：如右图，取的中点，连接， ……………1分
因，则 ……………2分
由平面侧面，且平面侧面，…………3分
得，又平面，
B
A1
C
A
B1
C1
D
E
所以. …………………4分
因为三棱柱是直三棱柱，
则，
所以.
又，从而侧面 ，
又侧面，故. ………………7分
（2）解法一：连接，由（1）可知，则是在内的射影
∴ 即为直线与所成的角，则 …………8分
在等腰直角中，，且点是中点
∴ ，且，
∴ …………………9分
过点A作于点，连
由（1）知，则，且
∴ 即为二面角的一个平面角 …………………10分
且直角中：
又，
∴ ，且二面角为锐二面角
∴ ，即二面角的大小为 …………………14分
解法二（向量法）：由（1）知且，所以以点为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，且设，则
， ， ，
， ， ， ……9分
设平面的一个法向量
由， 得：
令 ，得 ，则 …………10分
设直线与所成的角为，则
得，解得，即 ………12分
又设平面的一个法向量为，同理可得，
设锐二面角的大小为，则
，且，得
∴ 锐二面角的大小为。 …………………14分

19．（本小题满分14分）
解：（1）（解法一）∵
∴
∴
…………………3分
整理得
∴
两式相减得 ………………5分
即
∴，即 …………………7分
∴ 数列是等差数列
且，得，则公差
∴ …………………8分
（解法二） ∵
∴
∴
…………………3分
整理得
等式两边同时除以得 ， …………………5分
即 …………………6分
累加得

得 …………………8分
（2） 由（1）知
∴ …………………10分
∴

…………………12分
则要使得对一切正整数都成立，只要，所以只要
∴ 存在实数，使得对一切正整数都成立，且的最小值为…………14分
20．（本小题满分14分）
解：（1）由题： ①
左焦点 (－c,0) 到点 P(2,1) 的距离为：d = = ② …………………2分
由①②可解得c = 1 ， a = 2 ， b 2 = a 2－c 2 = 3． ………………3分
O
x
y
P
A
B
F1
F2
A2
l
∴所求椭圆 C 的方程为 ． ………………4分
（2）设 A(x1,y1)、B(x2,y2)，将 y = kx + m代入椭圆方程得
(4k 2 + 3) x 2 + 8kmx + 4m 2－12 = 0．
∴x1 + x2 = －，x1x2 = ， ………………6分
且y1 = kx1 + m，y2 = kx2 + m．
∵AB为直径的圆过椭圆右顶点 A2(2,0) ，所以 •= 0． ………………7分
所以 (x1－2,y1)·(x2－2,y2) = (x1－2) (x2－2) + y1y2 = (x1－2) (x2－2) + (kx1 + m) (kx2 + m)
= (k 2 + 1) x1x2 + (km－2) (x1 + x2) + m 2 + 4
= (k 2 + 1)·－(km－2)·+ m 2 + 4 = 0 ． ………………10分
整理得 7m 2 + 16km + 4k 2 = 0．∴m = －k 或 m = －2k 都满足 △ > 0． ………………12分
若 m = －2k 时，直线 l 为 y = kx－2k = k (x－2) ，恒过定点 A2(2,0)，不合题意舍去；………13分
若 m = －k 时，直线 l 为 y = kx－k = k (x－)， 恒过定点 (,0) ． ……………14分

21．（本小题满分14分）
解：（1） ∵，由在处有极值，可得
，解得，或 …………………2分
若，，则，此时函数没有极值；…3分
若，，则,此时当变化时，，的变化情况如下表：

↘
极小值
↗
极大值
↘
∴ 当时，有极大值，故，即为所求。 ………………4分
（2）证法一：
当时，函数的对称轴位于区间之外
∴ 在区间上的最值在两端点处取得，故应是和中较大的一个
∴ ，即 …………8分
证法二（反证法）：因为，所以函数的对称轴位于区间之外，
∴ 在区间上的最值在两端点处取得，故应是和中较大的一个，
假设，则，将上述两式相加得: ………………6分
,得，产生矛盾，
∴ …………………………8分
（3）
（i）当时，由（2）可知； ………………9分
（ii）当时，函数的对称轴位于区间之内，
此时，由，有
① 若，则，则，
于是
…………………………11分
② 若，则，则
于是
…………………………13分
综上可知，对任意的、都有
而当，时，在区间上的最大值 ，故对任意的、恒成立的的最大值为。 …………………………14分