2021届黄浦区一模数学试卷.docx

黄浦区 2020 学年度第一学期高三年级期终调研测试
数学试卷
(完卷时间：120 分钟 满分：150 分)
2021.1
考生注意：
1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的
解答一律无效；
2．答卷前，考生务必将姓名等相关信息在答题卷上填写清楚，并在规定的区域贴上条形码；
3．本试卷共 21 道试题，满分 150 分；考试时间 120 分钟．
一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分）考生应在答题纸相应编号的空格内
直接填写结果，每个空格填对前 6 题得 4 分、后 6 题得 5 分，否则一律得零分.
{ }
= x, x (xÎR) ，若1Î A
1.已知集合 A
2
，则 =
．
x
= lg1- x
2.已知函数 f (x)
，则该函数的定义域是
．
1+ x
p
1
p q
q
- ) = -
cos( - ) = _________
3.已知sin(
，则
．
3
2
1
= f (x)
(4, )
f (x) = ________
，则 ．
4.已知幂函数 y
的图像过点
2
-2 8
y
32 8
5.已知 x 是 和 的等差中项， 2是 和 的等比中项，则
．
x + y =
2
2
6.已知直线 l 过点 P2,1)
= -
，直线 l 的一个方向向量是 d ( 3, 2) ，则直线 l 的点方向式方
程是
．
2
7.某圆锥体的底面圆的半径长为 2 ，其侧面展开图是圆心角为3
的扇形，则该圆锥体的
体积是
．
1
x)9的二项展开式中的常数项的值是a ，若3i× z + a -6i = 72+3i
8.已知 -
(其中 是虚
i
(
x
=
数单位)，则复数 的模| z |
z
．(结果用数值表示)
ìa x +b y = c ,
ì =1,
x
æ
m 1 3ö
0 2 n÷
9.若关于 x、y
的二元一次线性方程组
的增广矩阵是ç
，且í
í
1
1
1
a x +b y = c
îy = -1
î
è
ø
2
2
2
-1 0 1
0 3 m
2 n 1
是该线性方程组的解，则三阶行列式
中第 3 行第 2 列的元素的代数余子式的值
是
．
10.某高级中学欲从本校的 7 位古诗词爱好者(其中男生 2 人、女生 5 人)中随机选取 3 名同
学作为学校诗词朗读比赛的主持人．若要求主持人中至少有一位是男同学，则不同选取方法

的种数是
．(结果用数值表示)
11.已知平面向量a b 满足| a |= 5,| b |=1,a ×b = 3 ，向量c = ×a + ×b (
、
l
(1 l)
lÎR )，且
．
l R
|
|³ 2 5
，总有 c ka 成立，则实数 的取值范围是
Î
+
k
对任意
12.已知a、bÎR
，函 数 f x x
( ) = + + + | - - | ( Î R)
ax b x ，若函数 的最小值
f (x)
2
ax b x
2
2b
为 ，则实数 的取值范围是
b
2
．
二、选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在
答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分．
13.已知a、bl
a、b
a
l ^ a l ^ b
是空间中的三条直线，其中直线 在平面 上，则“ 且 ”
^
a
是“l 平面 ”的
(A)充分非必要条件
答( )．
(B )必要非充分条件
(C )充要条件
14.为了得到函数y
像
(D )非充分非必要条件
sin x
3 cos x(x R) 的图像，可以将函数y 2sin x(x R)的图
答( ).
(A)向右平移 个单位
(B )向左平移 个单位
6
3
(C )向右平移 个单位
(D )向左平移 个单位
3
6
15.某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面由扇形
OAD挖去扇形OBC后构成)．已知OA =10米,
= 米(0 < <10)，线段
OB x
BA、线段CD 、
x
弧BC 、弧AD 的长度之和为 米，圆心角为q 弧度，则q 关于
x 的函数解析式是 答( )．
x +10
x +10
(C )q = 10 - x
10 + x
q
ÎR
16.已知k ，函数f x
( ) =| - 4 | + +
R
f (x)
(0, 4)
x
2
x
2
kx 的定义域为 ，若函数 在区间 上
有两个不同的零点，则 的取值范围是
k
答( )．
-7 < k < -2
k < -7 k > -2 (C )-7 < k < 0 (D )-2 < k < 0
或
(A)
(B )
三、解答题（本大题满分 76 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号
规定区域内写出必要的步骤．

17.（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分．
已知正方体ABCD - A B C D
的棱长为 4，点E 是侧面
CDD C 的中心.
1 1
1
1
1
1
- DED
(1) 联结A D ，求三棱锥A
的体积V
的数值；
1
1
1
A -DED
1
1
(2) 求异面直线A E 与 所成角的大小(结果用反三角函数值表示).
AD
1
D
C
1
1
A
1
B
1
E
D
C
A
B
18.（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分．
a、b、c
所对的边分别为 ，若 A 为钝角，且
DABC
A、B、C
在
中，内角
2asin B - 2b = 0.
(1) 求角A的大小；
p
= x
(2) 记B ，求函数 f (x) cos x cos(
=
+
+
x) 的值域.
3
19.（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分．
、b
f (x) = ( 1+ x + 1- x + a)( 1- x + b)
2 .
已知实数a 是常数，函数
(1) 求函数 f (x) 的定义域，判断函数的奇偶性，并说明理由；
(2) 若a = -3,b =1，设t
1 x
= + + -
1 x ，记 的取值组成的集合为D ，则函数 f (x)
t
1
= (t -3t ) t Î D
的值域与函数g(t)
(i)求集合D；
( )的值域相同. 试解决下列问题：
3
2
2
1
= (t -3t )
(ii)研究函数g(t)
在定义域D上是否具有单调性？若有，请用函数单调性
3
2
2
定义加以证明；若没有，请说明理由.并利用你的研究结果进一步求出函数f (x) 的最小值.

20.（本题满分 16 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3
小题满分 6 分．
x2
y
a b2
2
2
+ =1(a > b > 0)
x + y =
定义：已知椭圆
，把圆
称为该椭圆的协同圆.
2
2
a b2
2
a + b2
2
x
y
2
2
C : + =1
4 2
设椭圆
的协同圆为圆O (O 为坐标系原点)，试解决下列问题：
(1) 写出协同圆圆O 的方程；
、B
(2) 设直线 是圆O 的任意一条切线，且交椭圆C 于A 两点，求OA OB 的值；
×
l
、N
C
OM ^ ON
O OH ^ MN
，过点 作 ，交直线
(3) 设M 是椭圆 上的两个动点，且
MN 于H 点，求证：点H 总在某个定圆上，并写出该定圆的方程.
21.（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3
小题满分 8 分．
{ }
已知函数 y = f (x)
Î
¹
=
的定义域为 ，数列 a (n N ) 满足a a ，a f (a )
R
*
2
1
n
n
-1
n
f (a ) + kf (a ) = t(a + ka )(n ³ 2,nÎ N ) (实数k、t 是非零常数).
*
n
n-1
n
n-1
{ }
= -1
Î
(1) 若k ，且数列 a (n N ) 是等差数列，求实数 的值；
*
t
n
{ }
+ ka ¹ 0，
b (nÎN )满足b
= a + ka (nÎ N )
b
n
(2) 若a
(3) 若k
数列
，求通项公式 ；
*
*
2
1
n
n
n
+1
n
{ }
= -1，t ¹1
Î
，数列 a (n N ) 是等比数列，且a a(a 0,a R) ，a a ，
=
¹
Î
¹
*
n
1
2
1
= t ×a
试证明： f (a) .

17.（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分．
已知正方体ABCD - A B C D
的棱长为 4，点E 是侧面
CDD C 的中心.
1 1
1
1
1
1
- DED
(1) 联结A D ，求三棱锥A
的体积V
的数值；
1
1
1
A -DED
1
1
(2) 求异面直线A E 与 所成角的大小(结果用反三角函数值表示).
AD
1
D
C
1
1
A
1
B
1
E
D
C
A
B
18.（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分．
a、b、c
所对的边分别为 ，若 A 为钝角，且
DABC
A、B、C
在
中，内角
2asin B - 2b = 0.
(1) 求角A的大小；
p
= x
(2) 记B ，求函数 f (x) cos x cos(
=
+
+
x) 的值域.
3
19.（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分．
、b
f (x) = ( 1+ x + 1- x + a)( 1- x + b)
2 .
已知实数a 是常数，函数
(1) 求函数 f (x) 的定义域，判断函数的奇偶性，并说明理由；
(2) 若a = -3,b =1，设t
1 x
= + + -
1 x ，记 的取值组成的集合为D ，则函数 f (x)
t
1
= (t -3t ) t Î D
的值域与函数g(t)
(i)求集合D；
( )的值域相同. 试解决下列问题：
3
2
2
1
= (t -3t )
(ii)研究函数g(t)
在定义域D上是否具有单调性？若有，请用函数单调性
3
2
2
定义加以证明；若没有，请说明理由.并利用你的研究结果进一步求出函数f (x) 的最小值.

20.（本题满分 16 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3
小题满分 6 分．
x2
y
a b2
2
2
+ =1(a > b > 0)
x + y =
定义：已知椭圆
，把圆
称为该椭圆的协同圆.
2
2
a b2
2
a + b2
2
x
y
2
2
C : + =1
4 2
设椭圆
的协同圆为圆O (O 为坐标系原点)，试解决下列问题：
(1) 写出协同圆圆O 的方程；
、B
(2) 设直线 是圆O 的任意一条切线，且交椭圆C 于A 两点，求OA OB 的值；
×
l
、N
C
OM ^ ON
O OH ^ MN
，过点 作 ，交直线
(3) 设M 是椭圆 上的两个动点，且
MN 于H 点，求证：点H 总在某个定圆上，并写出该定圆的方程.
21.（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3
小题满分 8 分．
{ }
已知函数 y = f (x)
Î
¹
=
的定义域为 ，数列 a (n N ) 满足a a ，a f (a ) ，
R
*
2
1
n
n
-1
n
f (a ) + kf (a ) = t(a + ka )(n ³ 2,nÎ N ) (实数k、t 是非零常数).
*
n
n-1
n
n-1
{ }
= -1
Î
(1) 若k ，且数列 a (n N ) 是等差数列，求实数 的值；
*
t
n
{ }
+ ka ¹ 0，
b (nÎN )满足b
= a + ka (nÎ N )
b
n
(2) 若a
(3) 若k
数列
，求通项公式 ；
*
*
2
1
n
n
n
+1
n
{ }
= -1，t ¹1
Î
，数列 a (n N ) 是等比数列，且a a(a 0,a R) ，a a ，
=
¹
Î
¹
*
n
1
2
1
= t ×a
试证明： f (a) .