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向量的坐标表示及其运算

【知识概要】

1. 向量及其表示

1）向量：我们把既有大小又有方向的量叫向量（向量可以用一个小写英文字母上面加箭头来表示，如读作向量，向量也可以用两个大写字母上面加箭头来表示，如，表示由到的向量. 为向量的起点，为向量的终点）.向量 （或）的大小叫做向量的模，记作（或）.
注：① 既有方向又有大小的量叫做向量，只有大小没有方向的量叫做标量，向量与标量是两种不同的量，要加以区别；
② 长度为0的向量叫零向量，记作的方向是任意的 注意与0的区别
③ 长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.

说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.

例1 下列各量中不是向量的是（ D ）
A.浮力 B.风速 C.位移 D.密度
例2 下列说法中错误的是（ A ）
A.零向量是没有方向的 B.零向量的长度为0
C.零向量与任一向量平行 D.零向量的方向是任意的
例3 把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是（ D ）
A.一条线段 B.一段圆弧 C.圆上一群孤立点 D.一个单位圆

2）向量坐标的有关概念
① 基本单位向量: 在平面直角坐标系中，方向分别与轴和轴正方向相同的两个单位向量叫做基本单位，记为和.
② 将向量的起点置于坐标原点，作，则叫做位置向量，如果点的坐标为，它在轴和轴上的投影分别为，则

③ 向量的正交分解
在②中，向量能表示成两个相互垂直的向量、分别乘上实数后组成的和式，该和式称为、的线性组合，这种向量的表示方法叫做向量的正交分解，把有序的实数对叫做向量的坐标，记为=.
一般地，对于以点为起点，点为终点的向量，容易推得，于是相应地就可以把有序实数对叫做的坐标，记作=.
3）向量的坐标运算：，
则.
4） 向量的模：设，由两点间距离公式，可求得向量的模.
.
注：① 向量的大小可以用向量的模来表示，即用向量的起点与终点间的距离来表示；
② 向量的模是个标量，并且是一个非负实数.

例4 已知点的坐标为，点的坐标为，且，求点的坐标.
解：点的坐标为 或 .
例5 已知，求、的坐标.
解：
例6 设向量，化简：
（1）；
（2）.
解：都为.

2. 向量平行的充要条件
平行向量：方向相同或相反的非零向量叫平行向量（我们规定0与任一向量平行）.
已知与为非零向量，若，则的充要条件是，所以，向量平行的充要条件可以表示为：

例7 已知向量，点，若向量与平行，且，求向量的坐标.
解：的坐标为 或 .

3. 定比分点公式
1）定比分点公式和中点公式
① 是直线l上的两点，是l上不同于的任一点，存在实数，
使=，叫做点分所成的比，有三种情况：
(内分) >0 (外分) <-1 (外分) -1<<0
② 已知、是直线上任一点，且=.是直线上的一点，令，则，这个公式叫做线段的定比分点公式，特别地时，为线段的中点，此时，叫做线段的中点公式.
注：① 可得；
② 当时，定比分点的坐标公式和显然都无意义，也就是说，当时，定比分点不存在

2）三角形重心坐标公式
设的三个点的坐标分别为为的重心，则
例8 在直角坐标系内，点在直线上，且，求出的坐标.
解：当在上时，；当在延长线上，.

例9 已知，是直线上一点，若，求点的坐标.
解: 注意定比分点的定点，可得.

*方法提炼*
几个重要结论
1. 若为不共线向量，则，为以为邻边的平行四边形的对角线的向量；

2. ；

3. 为的重心

【基础夯实】
1. 判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.
①向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；
②单位向量都相等；
③任一向量与它的相反向量不相等；
④四边形ABCD是平行四边形的充要条件是＝
⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件；
⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.
解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量、在同一直线上.
②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.
③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的.
④、⑤正确.⑥不正确.如图与共线，虽起点不同，但其终点却相同.
评述：本题考查基本概念，对于零向量、单位向量、平行向量、共线向量的概念特征及相互关系必须把握好.

2.下列命题正确的是（ C ）
A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c也共线
B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点
C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量
D.有相同起点的两个非零向量不平行

3. 在下列结论中,正确的结论为（ D ）
(1)a∥b且|a|=|b|是a=b的必要不充分条件
(2)a∥b且|a|=|b|是a=b的既不充分也不必要条件
(3)a与b方向相同且|a|=|b|是a=b的充要条件
(4)a与b方向相反或|a|≠|b|是a≠b的充分不必要条件
A. (1)(3) B. (2)(4) C. (3)(4) D. (1)(3)(4)
4. 已知点A分有向线段的比为2，则在下列结论中错误的是（ D ）
A. 点C分的比是- B.点C分的比是-3
C 点C分的比是- D 点A分的比是2

5. 已知两点、，点分有向线段所成的比为，则、的值为（ C ）
A －，８ B.，－８ C －，－８  D ４，

6. △ABC的两个顶点A(3，7)和B(-2，5)，若AC的中点在x轴上，BC的中点在y轴上，则顶点C的坐标是（ A ）
A (2，-7) B (-7，2) C 3，-5) D (-5，-3)

7. “两个向量共线”是“这两个向量方向相反”的 条件.
答案：必要非充分

8. 已知a、b是两非零向量,且a与b不共线,若非零向量c与a共线,则c与b必定 .
答案：不共线

9. 已知点A(x,2),B(5,1),C(-4,2x)在同一条直线上，那么x=
答案：2或

10. △ABC的顶点A(2，3)，B(-4，-2)和重心G(2，-1)，则C点坐标为
答案：(8,-4)

11. 已知M为△ABC边AB上的一点，且，则M分所成的比为
答案：

【巩固提高】
12. 已知点、，线段上的三等分点依次为、，求、点的坐标以及分所成的比．
解：P1(1,-2),P2(3,0),A、B分所成的比λ1、λ2分别为-,-2

13. 过、的直线与一次函数的图象交于点，求分所成的比值
解：

14. 已知平行四边形ABCD一个顶点坐标为A(-2,1)，一组对边AB、CD的中点分别为M(3，0)、N(-1，-2)，求平行四边形的各个顶点坐标
解：Ｂ（８，－１），Ｃ（４，－３），Ｄ（－６，－１）

15 设是所在平面内的一点，,则（ B ）
(A). (B).
(C). (D).

16. 若平面向量满足平行于轴，，则.

17．在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点．若＝(4,3)，＝(1,5)，则等于(　　)
A．(－6,21) B．(－2,7)
C．(6，－21) D．(2，－7)
解析：选A.＝2＝2(－)＝(－6,4)，＝＋＝(－2,7)，＝3＝(－6,21)．

18. 已知O为坐标原点，向量若A,B,C三点共线，且，求实数的值

19. 已知点A(3，0),B(-1，-6), P是直线AB上一点，且，求点P的坐标.

20. 已知向量和，且，求的值。