2015年体育单招数学试题及答案.doc

2015年全国普通高等学校运动训练、民族传统体育专业
单招统一招生考试 数 学
一、选择题：本大题共10小题，每小题6分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案的字母在答题卡上涂黑
1、若集合，则A的元素共有 （ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 无穷多个
2、圆的半径是 （ ）
A. 9 B. 8 C. D.
3、下列函数中的减函数是 （ ）
A. B. C. D.
4、函数的值域是 （ ）
A. B. C. D.
5、 函数的最小正周期和最小值分别是 （ ）
A. 和 B 和 C. 和 D. 和
6.已知是钝角三角形，，，，则 （ ）
A. B. C. D.
7.设直线，，平面，，有下列4个命题：
①若，，则 ②若，，则
③若，，则 ④若，，则
其中，真命题是 （ ）
A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④
8.从5名新队员中选出2人，6名老队员中选出1人，组成训练小组，则不同的组成方案共有（ ）
165种 B. 120种 C. 75种 D. 60种
9、 双曲线的一条渐近线的斜率为，则此双曲线的离心率为 （ ）
A. B. C. 2 D. 4
10、 已知是奇函数，当时，，则当时，（ ）
A． B.
C. D.
二、填空题:本大题共6 小题，每小题6 分，共36 分．把答案填在题中横线上。
11、不等式的解集是 。
12、若椭圆的焦点为，，离心率为，则该椭圆的标准方程为 。
13、已知，，则 。
14、若向量，满足，，，，则 。
15、的展开式中的系数是 。
16、若，且，则的取值范围是 。
三、解答题:本大题共3小题，共54分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17、某校组织跳远达标测验，已知甲同学每次达标的概率是.他测验时跳了4次，设各次是否达标相互独立.
（Ⅰ）求甲恰有3次达标的概率；（Ⅱ）求甲至少有1次不达标的概率。（用分数作答）
18、已知抛物线C：，直线：。
（1）证明：C与有两个交点的充分必要条件是；
（2）设，C与有两个交点A，B，线段AB的垂直平分线交轴于点G，求面积的取值范围。
19、如图，四棱锥中，底面为梯形，，且，.
P
A
C
D
M
B
，是的中点。
（1）证明：；
（2）设，求与平面所成角的正弦值

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2015 年全国普通高等学校运动训练、民族传统体育专业单独统一招生考试
数学试题参考答案和评分参考
评分说明：
1．本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则，
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分效的一半：如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数．表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题6分，满分60分．
( 1 ) B ( 2 ) C ( 3 ) B （4）D（5）D( 6 ) B ( 7 ) A ( 8 ) D ( 9 ) C（10）A
1、考点：自然数概念，集合元素个数求法，集合的表示法－－描述法和列举法
解：∵集合，∴A的元素共有3个。选B
2、考点：圆半径求法
解：将圆方程变形为，所以半径是，选C.
说明：圆方程的圆心为（a，b），半径为r
3、考点：函数的单调性
解：A. 当是增函数，当是减函数，不符合题意；
B. 是减函数符合题意；所以选B
说明：用函数单调性的定义判断：∵的定义域是，∴设是任意两个实数，且，则△，△，所以在定义域内是减函数。
4、考点：根式函数的定义域和值域的求法，一元二次不等式的解法，二次函数最大值求法。
解：由平方根的定义知，即，解得，当，时，，当时的最大值为1，
所以函数的值域是 选D.
5、考点：三角函数最小正周期和最小值，三角函数加法公式
解：用辅助角公式：
（）
因为
==，
所以函数的最小正周期是、最小值是 。故选D
6、考点：正弦定理和钝角三角形的概念
解：∵已知是钝角三角形，，，，
∴由正弦定理得，，
∴（不符合题意，当时变为直角三角形，故舍去）选B
7.设直线，，平面，，有下列4个命题：
①若，，则 ②若，，则
③若，，则 ④若，，则
其中，真命题是 （ ）
A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④
考点：直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系。
解：①若，，则正确，垂直于同一平面的两直线平行；
②若，，则错误，可能平行、相交、异面，故结论错误，
③若，，则正确，垂直于同一直线的两平面平行；
④若，，则 错误，平行于同一直线的两平面可能平行、相交，故结论错误，
因此①③正确，故选A
8.从5名新队员中选出2人，6名老队员中选出1人，组成训练小组，则不同的组成方案共有（ ）
A.165种 B. 120种 C. 75种 D. 60种
考点：组合数，乘法原理
解：因为从5名新队员中选出2人，6名老队员中选出1人，组成训练小组，只有同时选出任务才算完成，故用乘法原理，（种），故选D
9.双曲线的一条渐近线的斜率为，则此双曲线的离心率为 （ ）
A. B. C. 2 D. 4
考点：双曲线渐近线方程的斜率，双曲线的离心率
解：双曲线的一条渐近线方程为，其斜率为，即，双曲线的离心率为=，选C
10.已知是奇函数，当时，，则当时，（ ）
A． B.
C. D.
考点：奇函数性质，对数函数的运算
解：∵是奇函数，当时，且当时
∴==

=，选A
二．填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题6分，满分36分．
11、不等式的解集是。
考点：分式不等式
解：原不等式等价于或解得
12、若椭圆的焦点为，，离心率为，则该椭圆的标准方程为 。
考点：椭圆的标准方程，椭圆的离心率
解：∵椭圆的焦点为，，离心率为
∴设椭圆的标准方程为，由题知，，
∴，，
∴该椭圆的标准方程为 。
13、已知，，则 。
考点：正切函数加法公式
解：∵已知，
∴
14、若向量，满足，，，，则 。
考点：向量夹角公式
解：∵向量，满足，，，，
∴
15、的展开式中的系数是 。
考点：二项式展开式及通项公式
解：由通项公式得
∴当时，满足题意，故的展开式中的系数是
16、若，且，则的取值范围是。
考点：对数函数的性质
解：∵
∴在定义域上是减函数
∵
∴，解得，即的取值范围是
（不等式等价于解（1），解得或，解（2）得，所以的取值范围是）
三．解答题：
17.考点：n重贝努力实验
解：（Ⅰ）甲恰有3次达标的概率为………………………………9分
（Ⅱ）甲至少有1次不达标的概率为 ………………………………18分
18.考点：直线与曲线有交点的判别法，根与系数的关系，中点坐标的求法，两点间距离公式，点到直线的距离公式，求直线方程，三角形面积的计算及取值范围的确定。
解：（Ⅰ）C与l的交点（x，y）满足
由第二个方程得，代入第一个方程得 ①……………………………4分
方程①的判别式△=
C与l有两交点△>0，故命题得证。………………………………8分
（Ⅱ）设C与l的交点，则满足方程① ，所以，
，=
∴=，………………………………12分

AB中点，即
过Q与AB垂直的直线方程为，
它与y轴的交点到直线l的距离
，
所以的面积
因为，所以，故的取值范围是。……………………18分
19.如图，四棱锥中，底面为梯形，，且，.
P
A
C
D
M
B
，是的中点。
（1）证明：；
（2）设，求与平面所成角的正弦值
19.考点：线面平行，线面所成的角
解：（Ⅰ）取PC中点N，连接BN、MN。因为，
由已知∥，所以∥，故四边形为平行四边形。
∥，平面，平面，所以∥。………………………10分
（Ⅱ）设，则=2=，连接。则是在平面上的射影，为与平面所成的角。
∵

所以
………18分

2015年全国体育 单招数学试题及答案 第 8 页 共 8 页