2017.9温州市第一次适应性考试数学试卷.docx

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数学试题
参考公式：
如果事件A，B互斥，那么
P(A+B)=P(A)+P(B)
如果事件A，B相互独立，那么
P(A·B)=P(A)·P(B)
如果事件A在一次试验中发生的概率是p,那么n
次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率
Pn(k)=pk(1－p)n-k(k=0，1，2，…，n)
台体的体积公式
V=
其中S1,S2分别表示台体的上、下底面积，
h表示台体的高

柱体的体积公式

其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高
锥体的体积公式

其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高
球的表面积公式
S=4πR2
球的体积公式

其中R表示球的半径
本试卷分选择题和非选择题两部分. 全卷共4页. 满分150分，考试时间120分钟.

选择题部分（共40分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则（ ▲ ）
A． B． C． D．
第3题图
2．已知R,则“”是“”的（ ▲ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
3．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积
（单位：cm3）是（ ▲ ）
A． B．
C． D．
4．若实数满足约束条件则的取值范围是（ ▲ ）
A． B． C． D．
5．已知数列是公差不为0的等差数列，，数列的前项，前项，前项的和分别为，则（ ▲ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ▲ ）
第6题图

A． B． C． D．
7．正方形的四个顶点都在椭圆上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是（ ▲ ）
A． B． C． D．
8．已知的边的垂直平分线交于Q，交于P，若，则的值为（ ▲ ）
A．3 B． C． D．
A
B
C
P
Q
第8题图
9．已知函数，则下列命题错误的是（ ▲ ）
A．函数是奇函数，且在上是减函数
B．函数是奇函数，且在上是增函数
C．函数是偶函数，且在上是减函数
D．函数是偶函数，且在上是增函数

第10题图
10．如图，正四面体中，、、在棱、、上，
且，，分别记二面角，，
的平面角为、、，则（ ▲ ）
A． B．
C． D．

非选择题部分（共110分）
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.
11．＝ ▲ ．
12．双曲线的焦点在x轴上，实轴长为4，离心率为，则该双曲线的标准方程为 ▲ ，渐近线方程为 ▲ ．
13．已知直线：与圆交于两点（其中是坐标原点），则圆心到直线距离为 ▲ ，点A的横坐标为 ▲ .
14．如图，四边形ABCD中，△ABD、△BCD分别是以AD和BD为底的等腰三角形，其中 AD＝1，BC＝4，∠ADB＝∠CDB，
则第14题图
BD＝ ▲ ，AC＝ ▲ ．
15．已知R)，则的最大值为 ▲ ．
16．设向量、，且，，则的最大值是 ▲ ；最小值是 ▲ ．
17．已知函数有六个不同零点，且所有零点之和为3，则a的取值范围为 ▲ .
三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18．（本小题满分14分）已知函数.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的最小正周期及单调递增区间.

第19题图
19．（本小题满分15分）如图四面体中，，
．
（Ⅰ）求的长；
（Ⅱ）点是线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值．

20．（本小题满分15分）已知函数.
（Ⅰ）求的单调递增区间；
（Ⅱ）当时，求证：.

第21题图

21．（本小题满分15分）已知抛物线C:，焦点为F，直线交抛物线C于、两点，为AB的中点，且．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）若，求的最小值.

22．（本小题满分15分）已知数列中，，(N+)．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：是等差数列；
（Ⅲ）设，记数列的前项和为，求证：．
.

2017年9月份温州市普通高中高考适应性测试
数学试题参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
D
A
C
D
C
B
B
A
D
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.
11. 12.， 13. 1，3 14.2，
15. 0 16. 9， 1 17.
三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18．解：（Ⅰ） ……2分

……4分
. ……6分
（Ⅱ）

……8分
. ……10分
所以，的最小正周期为， ……12分
当时单调递增，
即的单调递增区间为. ……14分
19．解：（Ⅰ）∵ ,,，
∴
又∵ 平面⊥平面，
平面平面，
∴ 平面 …………3分
∴ ,
∵ ,
∴ …………6分
（Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）可知AB⊥平面BCD，过B作BG⊥CD于点G，连接AG，
则有CD⊥平面ABG，
∴ 平面AGD⊥平面ABG，
过B作BH⊥AG于点H，则有BH⊥平面AGD，连HE，
则∠BEH为BE与平面ACD所成的角 ……11分
由BC＝CD＝1， ，得，∴
又∵，
∴，又∵
∴. ……15分
方法二：在平面上做，分别以为轴建立空间直角坐标系，则有，，， ……8分
设平面的法向量为，∵，，
∴ ，
∴ ……12分
又∵，
∴……15分
20．（Ⅰ）解：∵ ， ……3分
令，解得或， ……5分
又由于函数的定义域为，
∴ 的单调递增区间为，. ……8分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知在上单调递增，在上单调递减，
所以，当时，， ……11分
因此，当时，恒有，
即. ……15分
21．解：（Ⅰ）根据抛物线的定义知
……2分
，
∵，
∴ ， ……4分
∴ . ……6分
（Ⅱ）设直线的方程为，代入抛物线方程，
得，
，
即 ，
∴ ，
即
∴ ，
∴ ，， ……10分
,
，
∴ ， ……13分
令，则
. ……15分
22．（Ⅰ）证明：当时，，满足，
假设当时，，则当时，，
即时，满足，
所以，当时，都有. ……4分
（Ⅱ）由得，
所以，，
即 ，
即 ，
所以，数列是等差数列. ……8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，，
所以，， ……10分
因此，，
当时，，
即时，， ……13分
所以时， ，
显然，，只需证明，即可.
当时，
. ……15分
命题老师：徐登群 钱从新 林 荣 邵 达 李 勇 叶事一

数学（高考试题） 第 10 页（共4页）