数学建模台阶问题.doc

台阶设计中的建模分析

一．问题的提出
台阶，楼梯是我们日常生活中常见的，天天行走的建筑结构，良好的台阶设计不仅可以节省上楼时间，也可最大限度的减少体力消耗。然而，不合理的设计会使人们上楼时既费时又费力，甚至还会发生危险。所以我们不禁要问，怎样设计台阶长度宽度比才能达到最优呢？(下文主要针对上楼过程给出讨论，下楼的讨论在最后涉及)
作为解决问题的第一步，我们首先来证明这个最佳设计的存在性，下面两张图为两种不同类型的台阶

保持总高度，台阶宽度，体力消耗一定时令台阶高度h充分小，则台阶数目会充分大，最终上楼时间t趋于无穷。因此我们是不会去登此楼梯的。再令h充分大，而人腿运动能力是有限的，由于每一步做功的增加势必会造成登楼时间的集聚增长，这种h我们同样无法接受。由于各种状态的连续变化，我们就可以断定，存在这样一个h，使得t最小。同理，台阶长度r很小时，人无法站稳，r充分大时，时间t趋于无穷。所以我们便有充足理由相信最优的r，h皆存在。分析到这里只是依赖于感性的认识与几何的直观，下面我们将用数学的观点给出尽可能合理的解答。
二．问题的分析
符号表示：
M 人体质量
g 重力加速度
l 人的小腿长度
v 人的正常行走速度
F 上楼过程中腿部力量
H 楼梯总体高度
h 台阶高度
r 台阶长度
P 人体登上高度H的楼梯时最舒适的输出功率
C 人的脚长
要细致而全面的分析此问题，可以将人登楼的全过程分解处理，将上楼的每一步设为一个单元，那么可以粗略的绘制出人体运动过程的简图。并考虑到上楼是个非常复杂的人体动力学过程，为了抓住主要矛盾并简化问题，一些人为的假设将是必要的。

模型的假设：1，人每走一步脚的前端接触到B点。
2，人的所有重量可以看成质点并集中在O（与集中在N是等价的），其他部位没有重量
3，每一步迈出同样的距离（台阶宽），并且连续前进。
4，人体上升的力量全部来自支撑腿的力F，F与h有关且在h取定的情况下F大小不变且始终保持ON方向。
5，上台阶过程做功只在DN段，并且人总是以所谓最舒适的感觉（P恒定）上楼。
6，台阶宽度大于等于脚长
运动的分解：可以将登上台阶看为两个运动过程
1.（由M到N）人若想登上台阶，向前倾斜重心将是第一步，毕竟人是前进的。要在D点发力，将M点移动到N点将是合理的。而且此过程与人在平地行走时的状态非常接近（这里将它们等同看待，速度也为v，v的方向近似水平）。为了简化计算，可以令此段做功充分小从而可以忽略（因为我们的主要矛盾是上楼，此段做功的变化也是相当于平地上走5米与10米的区别，而这种差别在正常人看来是微乎其微的）
2.（N点竖直向上达到直立并回到初始状态）在此过程中所做的功为F的贡献（这里腿部的屈申很类似课堂上铅球投掷模型中球的出手过程，因为当时的主要矛盾为球的初速度，所以可以将其近似看做线性关系，然而此时的重点是这个屈申过程，因此假设与模型机理自然不同）。随后根据生物课所学知识，可以知道，人腿的运动都是靠肌肉细胞的伸缩变化产生伸缩力的（伸缩方向只能沿腿的方向），因此这里可以将所有肌肉的发力等效看为一个力，方向总是沿着腿的方向，大小恒定（实际上F要随着角度的变化而变化，为了简化问题可以将其设为恒定）。由于考虑到人在2过程上升时做的功实际为非保守力所做功（并不是w=mgh），一个很简单的直观，就是同样登上两米的高度我们分10步与分2步腿部做功一定不同。造成这种差异的根源在于腿的承重能力与发力方向角度的大小也就是说台阶越高，我们所做的额外功越多)。所以要去用数学的观点度量所谓“腿部做功”这个概念，假设4将是必要的。其次我们要去度量所谓“舒适”与“疲劳”的概念。通常，在短距离内造成我们疲劳的主要原因实际为腿的运动强度过高，即功率P过大。这就使我们度量“舒适”成为可能。
三．数据的获得
行走速度v的测算：首先所谓“正常速度”就是一个模糊概念，但又是客观存在的，为了尽可能得到人正常行走时的速度并要求误差尽量的小，所以这里采用多次测量的方法。并且需要亲自进行实验。恰好家附近的楼门口的地面由方砖铺成，每块砖为正方形，边长为0.48米。这就为距离的测定提供了方便。用最大自控能力以正常速度行走，规定走过五块砖时开始记时并规定这点为距离零点（为了将加速段去掉）。最终得到11组数据
距离(米) 时间（秒）
1 2.4 2.03
2 2.88 2.42
3 3.36 2.78
4 3.84 3.22
5 4.32 3.57
6 4.8 3.97
7 5.28 4.47
8 5.76 4.81
9 6.24 5.19
10 6.72 5.53
11 7.2 6.05
在matlab中进行拟合得到下图。一次多项式为y=0.012909+0.83186x所以算得自己的正常行走速度为1.202m/s

体重53公斤，小腿长0.47米，脚长0.26米，都是可以精确测量的。唯有功率P未知，但由于我们假定它的大小不变，所以在随后的模型求解中可以根据关系式将其反解出。
四．模型的建立
由假设 台阶总数即为 （有分数出现时如 则可近似看为取每一小段时间的 倍。这种误差是可以被忽略的）
设 那么过程一的时间为 且满足关系 代入可得过程一的总时间为

过程二的总时间为

其中 为h,l,F,p的函数由于我们假设了M,N点有近似相同的高度。那么 是与x无关的函数。若令总时间

最小，一定要求x最小。所以可得 。我们得到结论台阶宽度应设计为近似脚长的宽度。由此，我们得到如下A图所示。并据此讨论h的变化

由于我们先假设F大小恒定。若F能带动人体上移，必要求Fy至少等于mg，那么在最省力的情况下，我们取 .此时我们已将F分解。因此N点运动到S点过程中要求F所做的功只需对Fx Fy分别求功即可。
我们将运动过程细致分析并放大为B图

当台阶高为h时Fy方向上的做功：设NNm的长度为变量m，当Nm由N运动到S时。M由0→h变化。计算得

用微元分析，当m变化△m时。
其中S（△m）为Om竖制直方向上运动距离。

对m积分
2，当台阶高为h时Fx方向上的做功：

微元分析，增加△m，我们得到
两边同除△m，并令△m→0。因此

其中S（m）为PmOm的长度。对m积分

由于我们假定的F为h的函数(h取定时大小恒定)。所以取

综上我们得到上楼总时间
下面我们来由此式确定T的最小值，将参数
P待定。
以上计算都可交给maple完成。计算过程如下
Ø t:=m->sqrt(0.47^2-((2*0.47-h+m)/2)^2);

Ø diff(t(m),m);

Ø e:=m->-sqrt(0.47^2-((2*0.47-h+m)/2)^2)*1/2/(.2209-(.4700000000-1/2*h+1/2*m)^2)^(1/2)*(-.4700000000+1/2*h-1/2*m)/0.47;

Ø int(e(m),m=0..h);

Ø wy:=h->(2*0.47*h-h^2/2)/(4*0.47);

Ø F:=h->(2*0.47*53*9.8)/(2*0.47-h);

Ø wx:=h->> .4999999999*h-.2659574468*h^2

由此，我们发现，Wx,Wy做功基本是一样的。所以最终，总时间表示为
>f:=h->H*(1.2*(2*0.47*53*9.8)/(2*0.47-h)*(.4999999999*h-.2659574468*h^2+.5*h-.2659574468*h^2)+0.26*P)/(h*P*1.2);

而且根据如上结果我们可以观察出人腿做功（Wx(h)+Wy(h)）与实际有效功Mgh之间的关
系随h变化的过程图。

其中红线为人腿做的总功，黄线为有效功Mgh。这种变化也是符合我们感觉的，例如，随h的增大，我们迈上台阶会感到越发的费力，h越大这种变化越明显。

随后进行几组实验来确定P的近似取值。分别选取不同的楼梯，从下走到上按一般速率（不感到劳累），并记录下经过的时间。并根据假设与上式分别求得P，得到下表

次数 台阶数 n 台阶高度 h 总高度H 时间 t 功率 P
1 20 0.17 3.4 18.11 142.34
2 18 0.15 2.7 14.83 140.49
3 25 0.14 3.5 18.92 133.09
4 16 0.18 2.88 15.06 144.31
5 20 0.16 3.2 16.87 146.18
6 22 0.17 3.74 18.87 152.94
7 20 0.15 3 15.79 148.92
8 18 0.16 2.88 14.91 149.79
9 16 0.17 2.72 15.10 134.85
经实践证明，P并没有随总高度H以及h的变化而发生太大变化，说明我们之前的假设是基本合乎情理的。这里取9次测量的平均值作为P，所以我们得到P=143.66.
我们在第一种情况下对T进行分析。取H=3.4
>f:=h->3.4*(1.2*(2*0.47*53*9.8)/(2*0.47-h)*(.4999999999*h-.2659574468*h^2+.5*h-.2659574468*h^2)+0.26*143.65)/(h*143.65*1.2);

Ø plot(f(h),h=0.1..0.5);

由图象，我们观察到，确实存在这样一个h使得总时间最少，也就是说任意给出某h下上楼的时间，就可以算得在此情况此功率P下,时间最小时h的理想高度。上图中，从0.19到0.24米间减少的时间在0.2秒左右，而这种时间的优化由于太小（0.2秒）以致于我们可以不去考虑（可以近似看为不变）。而时间迅速减少的阶段在0.1到0.19段。那么为了使腿部用力尽量的小，我们不妨将h定在0.19米。
随后我们要问，这种模型的可靠性如何，由于v P是粗略度量的，所以下面我们要对这两个参数进行灵敏度分析。
Ø plot3d(f(h,v),h=0.1..0.5,v=1.1..1.3,axes=boxed);

Ø plot3d(f(h,p),h=0.1..0.5,p=140..154,axes=boxed);

从三维图形可以观察出，模型还是比较可靠的。这里没有用老师上课应用的灵敏分析方法是因为我只想直观的表现出解对参数的连续依赖程度。仅仅用离散数据似乎是不直观的。
到这里为止，已经算得对于我来说，最佳的台阶高度应该为0.19米左右，也就是说，这个高度可以最充分而有效的利用我的正常功率，使上楼总时间最短，而不致超过限度而感到疲劳。
这里顺便说明一下下楼过程，人的下楼过程在短距离内完全可以近似看为腿部做0功并完全由重力做功的过程。由于重力是保守力，那么下楼时间应该于h近似无关。但是长时间下楼为何又使我们感到疲劳呢？原因也许是下楼时的缓冲用力。毕竟人不同于木块和小球，过快的下降对腿部以及身体的冲击造成人的不适感，因此腿部总要做一些功使其缓慢下降，平稳着陆。
我在这里引入缓冲时间 这一变量并且 其中T为下楼实际总时间，L为台阶宽度，v为水平行走速度。显然 便为缓冲(延迟)时间总和。对于大部分正常人，在短的距离下楼过程中，在h正常范围内(上文算得的范围内)， 都可近似看为0。则我们只许讨论上楼的过程即可。然而，是不是 可以永远被忽略呢？答案显然是否定的。例如当H很大时 就是H与h的函数了(H的影响不可忽略)，又如一些特殊人群老年人，残疾人等等 便会相当大，这时下楼这一过程就要单独考虑了。
五．模型的检验
由于这个以上数据的特殊性，便使模型过分特殊化了，毕竟台阶不是我一人走。然而自己是个正常人，即使考虑到众多人参数的不确定性因素，变化也不会太大。
经调查发现，校园内各台阶都是在0.16到0.2米之间变动，最低为科技楼前台阶，最高为四食堂前台阶。宽度都为近似脚的长度，说明模型的结论还是勉强可以的（虽不那么准确）。这就相当于对模型做了一定程度的检验（因为台阶的高度可以根据实践进行适当调整，不适当的高度一定无法存在的，或是被改造，或是在下一次建设中改进）
进一步，我们可以参考1999年6月1日起实施的《建筑设计规范GB50096-1999》的相关规定：“楼梯踏步宽度不应小于0.26m，踏步高度不应大于0.175m，坡度为33.94°，接近舒适性标准。”而其中的0.26一定是脚长，0.175便是最佳高度。（此结果也许是相关力学家与统计学家做出的结果，应该是比较权威的数据）
误差分析：从上面的检验可以看出，计算的结果与实际确实有着差异，计算的h偏大，造成这种偏差的原因我归结为如下几点
(1) 人的体重差异
(2) 身高以及腿长的差异
(3) 人的脚长差异
(4) 身体前倾的速度（这里取为行走速度，然而过程一，只是前倾过程，其速度一定要比行走速度大，可不易测量，因此误差一定不可避免）
(5) F随腿的运动而变化的函数未精确知道（将涉及复杂的人体动力学，由于所学知识有限，为化繁为简，只好假设其大小恒定。计算结果又无太大偏差，说明假设基本合理，但误差同样不可避免）
(6) 人的正常功率的差异，例如：老年人与青壮年，专业运动员与普通人所能承受的运动量一定不同
因此如果能够精确知道如上数据，有理由相信计算结果的误差会非常之小。模型将会更加可靠。
六．模型的意义
通过对此模型的分析，找到了F v P c L M 之间的大致关系。但也由此提出了一个问题，建筑设计规范《GB50096-1999》中的规定是否太片面呢？其中数据0.175米一定是一个统计平均值。在某些特定场合一定要再进行进一步明确的规定，例如：中学校舍与大学校舍台阶高度可以等高。然而幼儿园内，养老院内，康复中心内的台阶就一定要另做规定。否则会由于台阶高度的不适当导致危险的发生。如果我们得到相关数据便可根据模型，分别计算最适高度，从而将建筑设计规范的内容进行扩充。
END

参考资料：相关人体力学分析可参考网页