经-管学院内招《高等数学》(II)练习题.doc

经，管学院内招生《高等数学》（Ⅱ）练习题
一． 填空题
1．要使广义积分收敛，必须 ；2．差分=
3．若在上，则在上 ；
4．若连续函数在上满足，则= ；5．= ；6． = ；7．=
8．的驻点 ;
9．若 ，则 = ；10。二重积分 =
11．已知函数 = ， 则 = ；
12．已知函数 = ，则 = , = ；
13． = ；19．微分方程 的通解是 ；
14．函数的全体原函数是 ；15．函数的定义域为
16．球心在半径为2的球面方程是 。
17. 差分方程 是 阶的差分方程.
二． 计算下列不定积分或定积分
1． ; 2． ； 3．
4． ; 5． ; 6． ; 7．；
8． ； 9．； 10．
11．设，求； 12。
13．设 ，求（1）；（2）。
三． 用定积分计算面积或体积:
1． 求由 ， ， ， 所围成的平面图形的面积。
2． 求由，及直线所围成的平面图形的面积。
3． 求由所围成的平面图形绕轴旋转一周所成的旋转体的体积。
四． 解微分方程和差分方程：
1．求方程 的通解. 2。求方程的通解.
3．求方程的通解. 4．求方程 的通解.
5．求方程 的通解及在初始条件下的特解。
6．求方程 的通解及在初始条件 下的特解。
7．某商品的需求价格弹性为, 若该商品的最大需求量Q=1200, 求商品的需
求 函数Q = Q, 其中为该商品的价格。
8．某商品的需求量的变化率为, 该商品的最大需求量Q=3000, 求商品的需求函数Q = Q, 其中为该商品的价格。
9．某商品的供给量对价格的供给弹性为, 且价格=1时, 供给量=2500,
求供给量对价格的函数关系.
10. 求差分方程 的通解及在条件下的特解.
五． 计算偏导数:
1． 设 ， 求 和 ；（2）。
2．设生产函数为 其中分别表示资本和劳力, 求边际产
出 和 .
3．设 ，，求 和 .
4． 设, ，，求和。
5． 设，求。 6．设 ， 求。
7．设，求 （1） 和；（2）。
六． 计算稳函数偏导数:
1． 由方程确定可导, 求和.
2． 由方程 确定可导, 求和 。
3． 由方程 确定可导, 求（1）和 ；（2） 。
4. 由方程 确定函数可导。求（1）和；
（2）； （3） 。
七． 计算二重积分:
1． 计算，其中区域D是由与轴及轴所围成的平面区域在第一象限部分。
2． 计算由曲面：，与所围成的立体在第一卦限部分的体积。
3．计算 ，其中是由 围成的区域。
八． 应用题:
1． 设生产某种产品的数量与所用两种原料A和B的数量，之间有关系式： 。现用150元购买两种原料，已知A和B两种原料的价格分别为2元和1元，问应购买两种原料各多少单位，才能使生产该种产品的数量最多？
2． 某公司的两个工厂生产同样的产品,但成本不同,第一工厂生产单位产品和第二工厂生产单位产品时总成本是, 若公司生产的任务是500单位,问如何分配任务才能使总费用最小?
3．已知某种产品的生产函数为，其中分别是劳动力和资本的投入
量，且，问应如何确定的值以使产出量最大？
4．用24米细钢管造一个长方体形状的框架的各条棱，问框架的长宽高各为多少米时，
框架的内部空间最大？
九． 求极限：
1．； 2． ; 3.
十． 无穷级数：
1．判别级数的敛散性。2．判别级数 是绝对收敛还是条件收敛？
3．判别级数是绝对收敛还是条件收敛？
4．判别级数是绝对收敛还是条件收敛还是发散？
5．求的收敛半径和收敛区间. 6．求的收敛区间及和函数。
7．把函数展开为的幂级数，并确定其收敛区间。
8．把函数 展开为的幂级数。
9．讨论为何值时，级数 收敛，发散。
2003年度经管学院《高等数学》（Ⅱ）期末试题（A卷）
一． 计算下列不定积分（每小题7分）。
1． ; 2．设， 求
二． 计算下列定积分（每小题7分）。
1． 设，求； 2。
三． 判别级数的敛散性。（7分）
四． 求幂级数的收敛区间及和函数。（8分）
五． 由方程确定可导。求（1）和；（2）；
（3）。（8分）
六． 设，其中是由确定的隐函数，
求（1） ； （2）。（7分）
七． 设生产某种产品必须投入两种要素，其产出量为，其 中，分别为两种要素的投入量。假设两种要素的价格分别为 =3和=24，问当产出量为64时，两种要素各投入多少才能使 得投入的总费用最少。（8分）
八． 计算，其中 为,
。（7分）
九． 若为可导函数，且，求。（7分）
十． 设某商品的需求量Q对价格P的弹性为，且市场对该商 品的最大需求量为1400，求需求量Q对价格P的函数关系。（7分）
十一．求位于轴的上方，直线的左侧，曲线的下方的区域绕轴旋转一周
所成的旋转体的体积。（8分）
2004年度经管学院《高等数学》（Ⅱ）期末试题（A卷）
一． 填空题（每小题2分，共20分）
1．若 ， 则 。
2．若 ，则 。
3． 。 4． 。
5．级数 的收敛区间是 ，它的和函数是 。
6．已知级数 收敛 ，则 。
7．将二重积分化为先对后对的累次积分为 。
8．函数的定义域是 。
9．微分方程 是 阶的微分方程。
10．微分方程 的通解是 。
二． 计算下列不定积分或定积分（每小题6分，共12分）
1． ; 2．
三． 由方程 确定函数可导。
求（1）和； （2）； （3） 。（10分）
四．若为可导函数 ，且 ，求。（9分）
五．计算 ， 其中为 。（10分）
六．讨论级数 的敛散性（）。（8分）
七．求幂级数 的收敛区间及和函数。（12分）
八．某公司通过电台和报纸两种方式做销售广告，根据统计资料，销售收入R（万元）
与电台广告费（万元）及报纸广告费（万元）之间的关系如：
R=
(1) 在公司的广告费用不受限制的情况下，求最优(即利润最大)的广告策略。
(2) 若公司提供的广告费用为1.5万元, 求最优(即利润最大)的广告策略。（13分）
九． 设在内连续，且 ，
证明：若单调增加，则单调减少。（6分）
暨 南 大 学 考 试 试 卷 答 案
教
师
填
写
2007 - 2008 学年度第二学期
课程名称：高等数学II（经管院内招生用）
授课教师姓名：____________________________
考试时间:2008年7月15日
课程类别
必修[√] 选修[ ]
考试方式
开卷[ ] 闭卷[√]
试卷类别(A、B)
[A] 共 9 页
考
生
填
写

学院(校) 专业 班(级)

姓名 学号 内招[√] 外招[ ]

题 号
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
总 分
得 分

得分
评阅人
一填空题（将题目的正确答案填写在相应题目划线空白处。共7小题，每小题2分，共14分）

1． 经过点（1，3），且其切线的斜率为的曲线方程为 。
2． =。
3． 设，则= 。
4． 微分方程在初始条件下的特解是。
5． 函数的定义域是
。
6． =。
7． 设某产品在时刻总产量的变化率是 ，则从到这两小时的总产量是。
得分
评阅人
二、单选题（在每小题的备选答案中选出一个正确的答案，并将正确答案的号码填在题干的括号内。共10小题，每小题2分，共20分）

1． 设的导数为，则下列选项中是的原函数的是（ B ）
(A) (B)
(C) (D)
2． 设曲线在上连续，则曲线，，及轴所围成的图形的面积是（ C ）
(A) (B)
(C) (D)
3． 下列广义积分发散的是（ A ）
(A) (B)
(C) (D)
4． 关于级数的收敛性的下面结论中正确的是（ A ）
(A) 时条件收敛 (B) 时条件收敛
(C) 时绝对收敛 (D) 时发散

5． =（ D ）
(A) (B)
(C) (D)
6． 函数按幂展开的麦克劳林级数的前三项是（ C ）
(A) (B)
(C) (D)
7． 二元函数在点处可导（即偏导数存在）与可微的关系是（ B ）
(A) 可导必可微 (B) 可微必可导
(C) 可导一定不可微 (D) 可微不一定可导
8． 微分方程的通解是 （ A）
(A) （为任意非负常数）
(B) （为任意非负常数）
(C) （为任意非负常数）
(D) （为任意非负常数）
9． 函数在点（1，1）处的全微分是（ C）
(A) (B) (C) (D) 0
10．下列差分方程中，不是二阶差分方程的是（ D）
(A) (B)
(C) (D)
得分
评阅人
三、计算题（共4小题,每题6分,共24分）

1． 求不定积分
解 ………………………………2分
= = ……………4分
= ……………………5分
= ……………………6分
2． 求定积分
解 = ………………………………1分
= = ………4分
= ………………………………5分
= ………………………………6分
3． 求定积分
解 …………2分
= ……………4分
=
= ……5分
=1-0=1 ……6分
4． 已知，求偏导数。
解 ，
， …………3分
，
，
………………………6分
得分
评阅人
四、计算题（共4小题,每题7分,共28分）

1．求曲线所围成的平面图形的面积。
解 所围成的平面图形的面积为 ………………………3分
=
= ………………………7分
2．计算二重积分，其中是由 与所围成的区域。
解 =
= ………………………………3分
= ………………5分
=
= ………………………7分
3．求幂级数的收敛域与和函数。
解 由…………………3分
得到收敛半径为1，收敛域为[-1，1）。 …………………5分
设和函数，
=， ………………………………6分
=。 ………………………………7分
4．求微分方程的通解。
解 方程变为， 则通解为

= ………………………………2分
= ………………………………4分
= ………………………………5分
=………………………………7分
得分
评阅人
五、应用题（10分）

某工厂生产甲、乙两种产品， 销售单价分别为100元和80元， 已知生产件甲种产品和件乙种产品的总费用为 = ，如果要求两种产品共生产1000件。问甲、乙两种产品各生产多少件时，所得利润最大？
解 总收益函数 ……………2分
总利润函数

且
求在条件下的极值。 ……………4分
构造拉格郎日函数
+ …6分
求驻点，解联立方程组
……………8分
得
因此，甲、乙两种产品各生产525、475件时，所得利润最大。………10分
得分
评阅人
六、证明题（4分）

设函数，方程确定是的函数，其中，可微；连续，且。证明。
证明 ，
， ………2分
所以
，
代入可得
= 0。 ………4分
14