旋转教学分析.doc

西城区教育研修学院·初二数学研修活动 2014.02.20

旋转 教材分析
北京八中 邵峰 2014.2.20
一、本章知识的地位与作用
图形的旋转是图形变换的第三种基本形式. 它是我们认识和描述物体的形状和位置关系的必要手段, 也是我们解决现实生活中的具体问题, 进行数学交流的重要工具.
旋转是工具性的知识. 学习旋转的基本性质, 欣赏并体验旋转在现实生活中的广泛应用, 不仅是初中学习的重要目标之一, 也是密切数学与现实之间联系的重要桥梁之一.
旋转变换在平面几何中有着广泛的应用, 特别是在解（证）有关等腰三角形（主要是等腰直角三角形、等边三角形）以及正方形等问题时, 更是经常用到的思维方法. 此前, 学生已学习了平移、轴对称两种图形变换, 对图形变换已具有一定的认识, 通过本章的学习, 学生对图形变换的认识会更完整, 同时, 也能对平移、轴对称有更深的认识. 进一步建立的几何变换的意识更可帮助我们用运动的观点认识图形，从而使解决问题的思路更加简明、清晰.
旋转及其性质
中心对称
关于原点对称的点的坐标
图案设计
旋转的基本知识
特殊的旋转
－－中心对称
平移、旋转、轴对称
的综合运用
中心对称图形

二、主要内容

三、课程学习目标
1. 通过具体实例认识旋转, 探索它的基本性质, 理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质.
2. 能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形, 欣赏旋转在现实生活中的应用.
3. 通过具体实例认识中心对称, 探索它的基本性质, 理解对应点所连线段被对称中心平分的性质. 了解平行四边形、圆是中心对称图形.
4. 探索图形之间的变换关系(轴对称、平移、旋转及其组合), 灵活运用轴对称、平移、旋转的组合进行图案设计.
2014年中考说明中对旋转的要求
基本要求：了解图形的旋转，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；会识别中心对称图形.
略高要求：能按要求作出简单平面图形旋转后的图形，能依据旋转前、后的图形，指出旋转中心和旋转角.
较高要求：能运用旋转的知识解决简单问题.

四、课时安排
本章教学时间约需10课时, 具体分配如下（仅供参考）：
图形的旋转 2课时
中心对称 2课时
旋转的应用(计算与证明及图案设计) 4课时
数学活动、小结 2课时
五、教学重点难点
重点： 1. 图形旋转的基本性质.
2. 中心对称的基本性质.
3. 两个点关于原点对称时, 它们坐标之间的关系.
难点： 1. 图形旋转的基本性质的归纳与运用.
2. 中心对称的基本性质的归纳与运用.

六、整体教学建议：
1、明确学习图形变换的大致思路
⑴通过具体实例认识图形变换; ⑵探索图形变换的性质;
⑶依据图形变换的性质进行作图、计算和证明; ⑷利用图形变换进行图案设计;
⑸用坐标表示图形变换.

2、注意联系实际
旋转与现实生活联系紧密, 为此, 在教学中应列举了大量实例来使学生认识和感受它们, 增强学生对旋转的理解. 利用图形变换进行图案设计、解决实际问题又加强了图形变换与现实生活的联系.
3、注意培养动手操作的意识
教材在探索旋转的性质、中心对称的性质以及如何设计图案最美观等问题时, 安排了转
动硬纸板、转动三角板、转动模板等应用动手操作来探索结论的内容. 动手操作是解决问题
的一种方法, 应加强学生主动进行动手操作的意识.
4、注意概念之间的联系
⑴平移、旋转、轴对称
学习旋转变换与学习平移、轴对称的过程基本一致, 主要都是研究变换过程中的不变量, 是研究几何问题、发现几何结论的有效工具. 平移、轴对称、旋转都是全等变换, 只改变图形的位置, 不改变图形的形状和大小. 由于变换方式的不同, 故变换前后具有各自的性质.

平移
轴对称
旋转
相同点
都是全等变换, 即变换前后的图形全等.
不
同
点
定义
把一个图形沿某一方向移动一定距离的图形变换, 叫~.

把一个图形沿着某一条直线折叠的图形变换叫~.

把一个图形绕着某一定点转动一个角度的图形变换叫~.
图形

要素
平移方向
平移距离
对称轴
旋转中心、旋转方向、
旋转角度
性质
连接各组对应点的线段平行(或共线)且相等.
任意一对对应点所连线段被对称轴垂直平分.
对应点到旋转中心的距离相等; 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角. 即：对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等
⑵旋转与中心对称
中心对称是一种特殊的旋转(旋转180°), 满足旋转的性质, 由旋转的性质可以得到
中心对称性质.

旋转
中心对称
图
形

性质
1
对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.
对称点所连线段都经过对称中心.
2
对应点到旋转中心的距离相等.
对称点所连线段被对称中心所平分.
3
旋转前、后的图形全等.
关于中心对称的两个图形是全等图形

⑶中心对称与轴对称

中心对称
轴对称
1
有一个对称中心——点
有一条对称轴——直线
2
图形绕中心旋转180°
图形沿轴折叠
3
旋转后与另一图形重合
折叠后与另一图形重合

中心对称与轴对可以称类比着学习, 对学生掌握新知识有帮助.

⑷两个图形成中心对称与中心对称图形

中心对称
中心对称图形
区别
①指两个全等图形之间的相互位置关系.
②对称中心不定.
①指一个图形本身成中心对称.
②对称中心是图形自身或内部的点.
联系
如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形）, 那么这个图形就是中心对称图形.
如果把中心对称图形对称的部分看成是两个图形, 那么它们又关于中心对称.

⑸中心对称图形与轴对称图形

中心对称图形
轴对称图形
1
关于某一点对称
关于某一条直线对称
2
图形绕对称中心旋转180°后, 与自身重合
图形沿对称轴折叠后, 对称轴两旁的部分互相重合
以上五点在教学中要注意随时总结, 帮助学生理清概念之间的关系.
5、注意用计算机辅助教学
利用几何画板的旋转功能, 可以方便地作出一个图形绕某一点旋转某个角度后的图形.利用几何画板的度量功能, 可以发现旋转变换中的不变量; 关于原点对称的点的坐标特征. 进行图案设计时, 利用计算机, 可以让学生直观地看到改变旋转中心、旋转角会出现不同的效果. 同时利用计算机, 可以直观地看到图形运动变换的过程.
6、培养学生良好的作图习惯，加强学生对图形的认识和理解.
几何作图是本章教学过程中不可缺少的重要组成部分. 通过作图可以加深学生对旋转的认识和理解. 旋转的过程中, 实际上其运动轨迹均为圆, 利用圆规构造旋转变换的图形是学生应该掌握并熟练应用的. 在教学中，教师应当指导学生利用尺规和其它工具规范作图, 培养学生良好的作图习惯. 同时, 不断渗透在特殊图形条件下利用全等知识实现的间接旋转作图，为学生在证明和计算问题中添加构造类辅助线打下基础.

7、从变换的角度重新认识几何图形, 建立图形变换的意识.
图形变换是对几何图形认识方法上的一种改变. 通过平移、轴对称、旋转变换达到复杂图形简单化、一般图形特殊化, 分散条件集中化的目的. 从图形变换的角度思考问题, 可以整体把握图形的性质, 特别是可以帮助我们从更高的层次理解平行线、截长补短、倍长中线等常用辅助线的作用, 使问题解决更加简洁明确. 当图形运动变化的时候, 从运动变换的角度更容易发现不变量和特殊图形.
我们在教学中可以从两条途径帮助学生逐步建立运动变换的意识.
(1) 从解决已知旋转问题到构造旋转解决问题;
(2) 从解决特殊图形(等腰三角形、等边三角形、正方形)问题到解决一般图形问题.

七、具体教学建议
1. 旋转与中心对称的基本知识.
对于概念部分, 可以从实际例子出发, 通过自身感受, 形成概念, 并进一步加深理解.
对于性质部分, 可以采用课本上的方法, 通过实际的操作, 观察, 猜想性质并加以证明, 也可以按照“点 → 线段 → 三角形”的顺序进行研究, 最后得出有关性质.
C
O
A'
A
B'
B
C'
O
A'
A
B'
B

O
A'
A

2. 旋转与中心对称的作图.
本章中主要的作图问题：
①按要求作旋转后的图形;
②已知旋转前后的图形(或旋转后图形的一部分), 确定旋转中心、旋转角;
③作一个图形关于一点成中心对称的图形;
④已知成中心对称的两个图形(或已知某一图形是中心对称图形), 确定对称中心;
⑤在平面直角坐标系中, 作一个图形关于原点对称的图形.
上述五种作图是本章的基本技能. 在教学中一定要让学生动手完成.

3. 三种变换之间的一些联系.
①连续两次对称轴平行的轴对称变换可实现一次平移.
②以两垂直直线为对称轴, 连续做轴对称变换可实现中心对称变换.
③以两相交直线为对称轴，连续做轴对称变换可实现旋转变换.

例: 已知△ABC, 直线PQ、PR, 作△ABC关于PQ的对称图形△A'B'C', 再作△A'B'C'关于PR的对称图形△A''B''C'', 则△ABC与△A''B''C''的关系是以P为中心将△ABC旋转2∠QPR得到△A''B''C'' . 由此可知, 将一个图形关于两条相交直线轴对称两次, 则可得到原图形关于两直线交点的旋转两倍夹角后的图形.

4. 旋转的应用.
①从旋转的角度认识静态图形, 发现图形关系.
② 图形按指令语言要求移动, 解决在图形移动过程中形成的问题.
③根据题目需要和图形特征有目的的旋转图形的某一部分, 形成新的图形关系来解决问题.

(一) 以等边三角形为背景的旋转问题
例1、如图, C为BD上一点, 分别以BC和CD为边向同侧作等边△ABC, △ECD, AD和BE相交于点M.
①探究线段BE和AD的数量关系和位置关系. 在图中你还发现了什么结论?
②当△ECD绕点C在平面内顺时针转动到如图所示的位置时, 线段BE和AD有何关系.
在转动的过程中, 特别是在一些特殊的位置, 你还会发现什么结论? 有哪些结论是不随图形位置的变化而改变的呢?
③如图, A、D、E在一直线上, △ABC、△CDE是等边三角形, 若BE=15cm, AE=6cm,
求CD的长度及∠AEB的度数。
A
B
C
D
E
M
A
B
E
D
C
A
B
C
D
E
M

例2、如图, D是等边△ABC内一点, 将△ADC绕C点逆时针旋转, 使得A、D两点的对应点分别为B、E, 则旋转角为_60°_, 图中除△ABC外, 还有等边三角形是_△DEC __.

例3、已知E为正△ABC内任意一点. 求证：以AE、BE、CE为边可以构成一个三角形.
若∠BEC=113°, ∠AEC=123°, 求构成三角形的各角度数. 63°, 53°, 64°

例2图 例3图

M
C
A
B
例4、如图, △ABC是等边三角形, BM = 2, CM = 3, 求AM的最大值、最小值. 5, 1
M'
M
C
B
A

例5、△ABC是等边三角形, P为平面内的一个动点, BP = BA, 若<∠PBC<180°,
且∠PBC平分线上的一点D满足DB = DA,
(1) 当BP与BA重合时（如图1）, ∠BPD = 30 °;
(2) 当BP在∠ABC的内部时(如图2), 求∠BPD的度数; 30°
(3) 当BP在∠ABC的外部时, 请你直接写出∠BPD的度数, 并画出相应的图形.
A
B
C
D
E
F

G

30°或150°

图②
图①

(二) 以正方形或等腰直角三角形为背景的旋转问题
A
B
C
D
E
F

G

例1、如图①, B,C,E是同一直线上的三个点, 四边形ABCD
与四边形CEFG都是正方形. 连接BG,DE.
(1) 探究BG与DE之间的大小关系, 并证明你的结论;
(2) 当正方形CEFG绕点C在平面内顺时针转动到如图②所示
的位置时, 线段BG和ED有何关系？在转动的过程中, 特别
是在一些特殊的位置, 你还会发现什么结论？有哪些结论是
不随图形位置的变化而改变的呢？

例2、 如图1, 已知点D在AC上, △ABC和△ADE都是等腰直角三角形, 点M为EC的中点.
(1)求证：△BMD为等腰直角三角形.
(2) 将△ADE绕点A逆时针旋转, 如图2, (1)中的“△BMD为等腰直角三角形”成立吗?.
(3) 我们是否可以猜想, 将△ADE绕点A任意旋转一定的角度, 如图3, (1)中的“△BMD为等腰直角三角形”均成立？（不用说明理由）.

例3、 操作：在△ABC中, AC=BC=2,∠C=90,将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边的中点P处, 将三角板绕点P旋转, 三角板的两直角边分别交射线AC,CB于D,E两点, 图1, 2, 3是旋转三角板得到的图形中的其中三种.
探究：(1)三角板绕点P旋转, 观察线段PD和PE之间有什么大小关系?
它们的关系为___________; （不必写出证明过程）PD = PE
(2)三角板绕点P旋转, △PBE能否成为等腰三角形？若能, 指出所有情况（即求出△PBE为等腰三角形时线段CE的长）; 若不能, 请说明理由. 0, 1, 2+
(3) 如图4, 若将等腰直角三角板PDE的锐角顶点P与C点重合, PE交线段AB于N,PD交线段AB于M, 探究MB,MN,NA之间的等量关系. MN 2 = MB2 + NA2
(4) 如图5, 若将线段AB改为直线AB, 继续探究MB,MN,NA的数量关系. 同上
(5) 如图 6, 是等腰直角三角形ABC内一点, 连结, 且.
则的度数. 135°
E
D
P
B
A
C
E

P
B
C
A
D
E
P
B
C
A
D

图1 图2 图3
M
N
A
P（C）
B
D
E

P
A
B
C
A
P（C）
B

图4 图5 图6

(三) 以一般等腰三角形为背景的旋转问题
例1: (1)如图①, 已知在△ABC中, AB=AC, P是△ABC内部任意一点, 将AP绕A顺时针旋转至AQ, 使∠QAP =∠BAC, 连接BQ、CP. 求证：BQ = CP.
(2)将点P移到等腰三角形ABC之外, (1)中的条件不变, “BQ=CP”还 成立吗?
A
B
C
P
Q

A
B
C
P
Q

图②
图①

例2: 在等腰△ABC中, AB=AC, D是△ABC内一点, ∠ADB =∠ADC.
求证: ∠DBC = ∠DCB.

小结: (1) 只要图形中存在公共端点的等线段, 就可能形成旋转型问题.
(2) 当旋转角是60°时, 作一个图形旋转后的图形的存在等边三角形; 当旋转角是90°时, 存在等腰直角三角形. 反之, 如果图形中存在两个等边三角形或等腰直角三角形, 可以从图形旋转的角度分析图形关系.

八、练习
1、如图, △DEF是由△ABC绕着某点旋转得到的, 则这点的坐标是( B )
A. (1,1) B (0,1) C. (−1,1) D. (2,0)
2、如图, △ABC中, ÐACB = 90°, ÐB = 30°, BC = 6, 三角板绕C逆时针旋转, 当点的对应点A' 落在边上时即停止转动, 则BM的长为 3 .
O
A
B
C
D
E
F
x
y
2
3
第1题图
3、Rt△ABC中, 已知∠C=90°, ∠B=50°, 点D在边BC上, BD=2CD. 把△ABC绕着点D逆时针旋转m（0° 80°或120°.
A
C
B
D
M
B'
A'
C
A
B

第3题图
第2题图

4、如图, 设△ABC和△CDE都是正三角形, 且∠EBD = 62°, 则∠AEB的度数 = 122° .
5、正方形ABCD在坐标系中的位置如图所示, 将正方形ABCD绕A点顺时针方向旋转90°, 得到正方形AB'C'D', 在网格中画出图形, 并直接写出B', C' 点到达的位置坐标为 .
6、如图, 已知△ABC为等边三角形, M为三角形外任意一点. (2, 1), (4, 0)
① 证明: AM ≤ BM + CM; ② 线段AM是否存在最大值?
A
C
M
B
A
B
C
D
E

第6题图
第5题图
第4题图

7、如图1, 以△ABC的边AB、AC为直角边向外作等腰直角△ABE和△ACD, M是BC的中点, 请你探究线段DE与AM之间的关系. 如图2, 若以△ABC的边AB、AC为直角边, 向内作等腰直角△ABE和△ACD, 其它条件不变, 试探究线段DE与AM之间的关系.
M
E
D
C
B
A
DE = 2AM, DE⊥AM
B
A
M
C
D
E

图1

图2

8、图形操作：

△ABC为等边三角形, 点O是边AB的延长线上一点, 以点O为中心, 将△ABC按顺时针方向旋转90°角得到△A1B1C1.
(1) 在图1中完成作图, 请保留作图痕迹, 不要求写作法;
A
B
C
D
E
F
(2) 若将△ABC按顺时针方向旋转到△A1B1C1, 旋转角度为α (0°< α < 360°).
且AC∥B1C1, 直接写出旋转角度α 的值为 . 60°或240°.
C
A
O
B
C

A
O
B

图2
图1

第9题图

9、如图, Rt△ABC中, ∠ACB=90°, ∠BAC=30°, 分别以AB、AC为边作等边△ABE和△ACD, 连结ED交AB于F.
求证: EF = FD.

10、已知: 在△ABC中, ∠ABC = 90°, AB = BC, 点D为射线BC上一动点(点D不与B、C
重合). 以AD为边向上作正方形ADEF, 连接CF.
(1) 如图1, 当点D在线段BC上时, 请直接写出CF、BC、BD三条线段之间的关系
为 ; CF = BC + BD
(2) 如图2, 当点D在线段BC的延长线上时, 其它条件不变, 求证: BD⊥CF.
(3) 如图3, 当D在CB延长线上时, 如图3所示, 连结CE, 取CE中点M, 连结BM, FM,
A
B
C
D
E
F
M
求证: BM = FM.
E
C
A
B
D
F

A
B
D
C
E
F

图3
图2
图1

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