植树问题教学实录与评析.doc

在潜移默化中渗透数学思想方法
——“植树问题”教学实录与评析
教学内容：人教版义务教育教科书五年级上册第106～107页。
教学目标：
1.通过生活中的事例，知道“植树问题”的三种不同情况，理解与掌握间隔数和棵数之间的关系与变化规律。
2.通过具体问题的解决过程，经历观察、比较、发现、概括等数学活动，培养学生的研究意识和探究能力，感悟数形结合、“一一对应”的数学思想方法。
3.能运用规律或研究策略解决相关实际问题，感受数学在日常生活中的应用，培养学生的应用意识和解决问题的能力。
教学重点：引导学生经历规律的获得过程，建立数学模型，并用所学的方法解决一些简单的实际问题。
教学难点理解间隔数与棵数之间的关系；解决与植树问题具有相同数学结构的实际问题。
教学准备：多媒体课件、题卡、小树和小路模型
教学过程：
一、创设情境，引入新课
师：我们今天的研究，就从这一列精神抖擞的同学开始。请这一列的第一位和第二位同学站起来。来看，这两位同学之间产生了一个“空”，我们把这个“空”叫做间隔。
板书：间隔
师：两位同学之间产生1个间隔。这3位同学之间产生几个间隔？
生：2个间隔。
师：4位同学之间产生几个间隔？
生：3个间隔。
师：这一列共有几位同学？产生几个间隔？
生：7位同学，产生6个间隔。
师：我们今天来了多少位同学？如果排成这样的一列，能产生多少个间隔
生：40位同学，产生39个间隔。
师：这节课，我们就来研究和间隔有关的一类数学问题——植树问题。
板书：植树问题
【评析】由现实情境入手，引出“间隔”这一概念。一是能在瞬间吸引学生的注意力，使其很快进入学习状态；二是形象感知间隔的意义，初步感受间隔和间隔数的联系与区别，为后面的研究做好铺垫。
二、自主探究，建构模型
1.出示问题，引出三种不同情况。
课件出示问题：同学们在长20m的小路一边植树，每隔5m栽一棵树。一共要栽多少棵树？
师：请看大屏幕。自己读一读，说一说找到了哪些信息？要解决的问题是什么？
生1：小路长20米，每隔5米栽一棵树。
生2：要解决的问题是“一共要栽多少棵树”。
师：“每隔5米栽一棵”，你们是怎样理解的？
生1：两棵树之间的距离是5米。
生2：栽一棵树，隔5米再栽一棵树。
师：同学们理解得很到位。请大家结合生活实际想象一下，这条小路可能是怎样的？
生：是一条直的小路。
师：有可能。（课件出示小路示意图）

师：小路也有可能是这样的。（出示一端有房子的小路示意图）

师：现实生活中，会出现这样的情况吗？
生：会。
师：（手指一端的房子）这里出现了房子，这一端还能栽树吗？
生：不能。
师：这种情况可以叫作什么？
生：一端能栽树，一端不能栽。
师：说得简单一些就是“只栽一端”。
板书：只栽一端
师：既然这一端有可能出现房子，另一端有没有可能出现房子？（出示两端有房子的小路示意图）

生：有可能。
师：这种情况可以叫作什么？
生：两端都不栽。
板书：两端不栽
师：第一种情况可以叫作什么？
生：两端都栽。
【评析】结合生活实际理解题意，唤起学生的生活经验。引出植树问题的三种不同情况，让学生体会数学与现实生活的密切联系，为后面的研究活动创设一个开放的问题情境。
2.动手操作，初建模型。
师：这三种不同的情况，植树的棵数一样吗？为什么？
生：不一样，因为有房子的地方不能栽树，所以栽树的棵数不一样。
师：你能找到问题的关键所在。三种不同的情况，到底分别栽下几棵树呢？下面，就请同学们自己来研究一下。
师：请看自学提示。
课件出示自学提示：
（1）两人一组，选择其中一种情况。
（2）用摆一摆、画一画或算一算的方法研究，看到底能种几棵树。
同桌合作动手探究，教师选三组同学将示意图摆到黑板上，选一组同学将“两端都栽”的线段图贴到黑板上。
师：我们一起来看看大家的研究成果。来看两端都栽的情况，请你们说一说是怎样摆的？

生：我们是每隔5米摆一棵，一共摆了5棵树。
师：出现了几个间隔？
生：4个。
师：全长是多少米？
生：20米。
师：符合题目的要求吗？
生：符合。
师：再来看看只栽一端的情况。也给大家介绍一下你们是怎样摆的？

生：我们也是每隔5米摆一棵，摆了4棵树。
师：出现了几个间隔？全长多少米？
生：出现4个间隔，全长也是20米。
师：符合题目的要求吗？
生：符合。
师：两端不栽的情况。你们也给大家说说你们的摆法。

生：栽下了3棵树，出现了4个间隔，全长也是20米。
师：这样看来，在这条全长20米的小路上植树，可能栽下5棵树，也可能栽下4棵树，还有可能栽下3棵树，都符合题目的要求。
师：这是谁画的？你们能看懂吗？有没有什么问题要问他们？

生1：看不出来你们栽了几棵树，树在哪里？
生回答：我们画的是线段图，用这些竖线来表示小树。
师：你们看懂了吗？
生：看懂了。
师：你们两位把示意图变成了线段图，这是一种进步；用竖线来表示小树，这又是一种进步。谢谢你们的精彩表现！
师：如果不摆不画，你们能用算式来表示“两端都栽”的情况下，植树的棵数吗？
生：20÷5=4 4+1=5（棵）
师：你们有问题要问他吗？
生：为什么要加1呢？
师：这个问题问得好，老师也想知道为什么？
生：因为这里的4是间隔数，要算棵数，还得加1。
师：在上面的图中，能找到这个4吗？给大家指一指。
师：现在，让我们回顾一下刚才“两端都栽”的植树过程。
课件演示：一棵树一个间隔，一棵树一个间隔……

师：说一说你们看懂了什么？
生：我发现起点也要栽一棵，一棵树一个间隔，一棵树一个间隔，最后就多出了一棵树。
师：观察细致，透过现象看到了本质。一棵树一个间隔，一棵树一个间隔，这样对应下去，发现多出了1棵树，所以要加1。
师：学到这儿，关于“两端都栽”，同学们似乎已经发现了什么，有发现吗？
生：（举手）有发现！
师：（摆手）不要着急，先把你的发现藏到脑海中。我们来看看，当小路的长度发生变化，变成30米、35米、50米，甚至更长的时候，还有这样的发现吗？请看大屏幕。
出示表格：
两端
都栽
全长（m）
30
35
50
…
间距（m）
5
5
5
…
间隔数

…
棵数（棵）

…
提示：两人一组，选择合适的方法进行研究，把结果记录在下面的表格中，并把你们的发现写下来。
师：请同学们说一说自己的发现。
生1：我发现“全长÷间距=间隔数”。
生2：棵数总是比间隔数多1。
生3：间隔数总是比棵数少1。
师：尽管大家表达的方式不一样，却可以得出相同的结论。在“两端都栽”的情况下，棵数=间隔数+1。
【评析】这个环节是本节课的精彩之处，让学生通过摆一摆、画一画、算一算的活动，经历和体验了知识的形成过程，感悟了数形结合和一一对应的数学思想方法。活动过程中学生的参与度高，教师善于引导学生质疑并进行生生间的对话与交流，激发了学生对数学的好奇心和求知欲，丰富了学习方法。活动的设计体现了深入浅出、水到渠成的教学方法。
3.观察比较，拓展规律。
师：不摆不画，你能用算式表示出“只栽一端”时树的棵数吗？
生：20÷5=4
师：这里的4表示什么？
生：4棵树。
师：还可以表示什么？
生：4个间隔。
师：能用算式表示出“两端不栽”时树的棵数吗？
生：20÷5-1=3（棵）
师：三种情况的算式中，都出现了相同的一步？你们发现了吗？
生：20÷5。
师：为什么都要先算20÷5呢？
生：知道了间隔的数量，才能知道棵数。
师：看问题很透彻。在“只栽一端”和“两端不栽”的情况下，棵数和间隔数之间又有什么关系？请同学们在小组内讨论一下。
师：来，说一说你们的发现。
生1：“只栽一端”的情况下，棵数=间隔数。
生2：“两端不栽”的情况下，棵数=间隔数-1。
师：能结合图说一说为什么这里“棵数=间隔数”，这里“棵数=间隔数-1”吗？
生1：一棵一个间隔，一棵一个间隔，棵数和间隔数刚好相等。
生2：一棵一个间隔，一棵一个间隔，最后发现少了1棵树。
师：你们已经学会了举一反三，能用刚刚学到的知识解决新的问题了。当这条小路变得更长时，这个问题你们还能解决吗？
出示：同学们在长100m的小路一边植树(两端都栽)，每隔5m栽一棵树。一共要栽多少棵？
生：100÷5+1=21（棵）
师：如果只栽一端，能栽多少棵树？
生：100÷5=20（棵）
师：两端不栽呢？
生：100÷5-1=19（棵）
师：同学们已经对植树问题的三种情况有了深刻的认识，当我们掌握了其中的规律，不管小路有多长，这样的问题都可以迎刃而解。
【评析】在重点研究了“两端都栽”的基础上，放手让学生自主探索“只栽一端”和“两端不栽”所蕴含的规律，在轻松愉悦的氛围中不知不觉建立了数学模型，对三种不同情况的内在联系与区别有了深刻认识，在数形结合解释规律的过程中，继续渗透了一一对应的数学思想方法。通过补充练习，渗透了化归和模型思想。
三、走进生活，丰富认知
师：其实，像这样的问题，在我们的生活中还有很多，我们一起来看看。
出示阅兵式队列图。
师：是植树问题吗？
生：是……不是，像植树问题。
师：和植树问题具有相同的数学结构，我们把这一类问题都叫做植树问题。找到树了吗？这个问题是三种情况中的哪一种？
生：一排士兵就是一棵树，两端都栽的情况。
师：很好，看到了问题的实质。
出示纽扣图。
师：谁来解读一下这幅图片？
生：纽扣就是树，只栽一端。
出示剪绳子的图片。
师：解读一下。
生：剪刀就是树，两端都不栽的情况。
师：还有些问题，我们看不到，却能听得到，请仔细听一听。
课件播放钟声。
师：听懂了什么？
生：钟声就是树，是两端都栽的情况。
课件出示上面的三幅图。
师：其实呀，不管是上面的哪一类问题，研究的都是线段上的点数和间隔数之间关系的问题。
师：最后，让我们欣赏一下黄山美景。把姿态优雅的迎客松和姹紫嫣红的杜鹃花微缩成盆景。每两盆迎客松之间摆一盆杜鹃花，在一条笔直的小路上摆下25盆迎客松，要摆多少盆杜鹃花？
生：24盆。
师：怎么想的？
生：摆多少盆杜鹃花，就是算有多少个间隔。
师：解决问题时，就要像他这样，透过问题的表象，看到数学的本质。
【评析】由生活中丰富的问题模型，让学生进一步理解植树问题的本质，能运用所学知识恰当解决遇到的实际问题。钟声问题的出现，使数学问题的呈现方式更加丰富，拓展了学生的认知空间，打开了一扇发现问题的窗户。
四、引领思维，全课小结
出示树形思维导图。
师：如果把今天所学的知识看作一棵大树，这是一棵能生长知识的大树。课后，请同学们充分发挥自己的想象力，打开发现的双眼，让这棵生长知识的大树枝繁叶茂。这节课，我们就上到这儿。同学们休息，谢谢同学们！
【评析】全课总结不落俗套，教给学生用树形思维导图的方式整理这节课的收获，同时引领学生在生活中寻找更多具有“植树问题”数学结构的问题，使学生的思路不断开阔，更加深入。
【总评】
“植树问题”是数学建模的经典课例之一，以前通常出现在各类奥数教材中，而现在编排到小学数学教材中，有其深层次的考量。究其原因，主旨是让学生经历从实际问题出发建立数学模型的过程。本节课，教师以精巧的设计、严谨的逻辑、开阔的视野，引领学生通过“问题情境—建立模型—解释、应用与拓展”的过程经历了知识形成的过程，感悟了数学思想方法的魅力。
1.在开放的空间中经历知识形成的过程
本节课教学中，王老师没有把植树问题的三种情况进行分解，用三个独立的情境来呈现，进而一一探索并解决。而是在一个开放的问题情境中，引导学生感知可能出现的不同情况，经历发现问题的过程。这样做的好处很明显：学生的学习积极性被充分调动起来了，结合生活实际感知了“植树问题”的三种不同情况，初步体会到因实际情况不同，植树的棵数就会不一样，为后面探究不同情况下蕴含的不同规律，奠定了认知基础，这是感知知识形成过程的重要一步。
2.在自主探究中体验数学建模的方法
在设计了开放的问题以后，教师把学习的主动权交给学生。让学生任选一种情况，用摆一摆、画一画或算一算的方法来研究不同情况下植树的棵数。教师没有按部就班按“摆—画—算”的方式让学生进行整齐划一的研究，而是让学生根据自己的认知水平、已有的知识经验基础，自行选择合适的方法进行研究，这是数学建模中的重要方法，也是对学生个性化学习活动的尊重和关注。
对于数学建模的结果并不急于求成，而是追求水到渠成。把学习过程的重难点分解到反馈活动的各个环节，在“摆”的解读中侧重于感知“摆”的过程和是否符合题意的要求，初步理解间隔的含义；在“画”的过程中侧重于理解间隔数，初步感知全长与间隔数的关系；在“算”的过程中侧重于引起认知冲突，初步感知间隔数和棵数之间的关系。在学生已经有所发现的基础上，再通过填表探究、类比归纳、发现规律，进而建构模型。一系列的活动遵循学生的认知规律和解决问题的特点。
3.在潜移默化中感悟数学思想方法的魅力
本节内容的学习对培养学生的数学思想方法来说意义重大，涵盖了化归思想、数形结合思想、一一对应思想、数学建模思想等，把这些思想方法巧妙融合到学习活动的各环节，使学生在潜移默化中体悟、感受，是本节课的高明之处。在学生展示反馈的环节，感知了数形结合思想；在练习巩固环节，感知了化归思想；在解释规律的内涵中，感知了一一对应思想；在全课自然流畅的活动中，体验了数学建模的过程。
4.在互动交流中培养学生的问题意识
在本节课的教学中，王老师非常重视学生问题意识和质疑精神的培养。在“你有什么问题要问吗”“你来解释自己的想法”的互动中，不断启发学生质疑，在生生间的交流中，拓展学生思维的深度和广度，也使整节课学生的参与度和学习的有效性得到提高。整节课体现了数学课堂要以学生为主体，以学生的学为主体的教学观，突出学生、淡化教师自己，使学生的学习能力不断得以提高。
综观全课，教师不仅让学生经历了知识形成的过程，还让学生感悟了数学思想方法和积累了数学活动经验，很好地处理了教师引导和学生自主探究之间的关系，在学生数学思想方法的培养和自主探究能力的提高上做了有益的探索和尝试。

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