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平面向量复习
【例1】 在下列各命题中为真命题的是( )
①若=(x1,y1)、=(x2,y2)，则·=x1y1+x2y2
②若A(x1,y1)、B(x2,y2)，则｜｜=
③若=(x1,y1)、=(x2,y2),则·=0x1x2+y1y2=0
④若=(x1,y1)、=(x2,y2)，则⊥x1x2+y1y2=0
A、①② B、②③ C、③④ D、①④
【例2】 已知=(－,－1), =(1, )，那么，的夹角θ=( )
A、30° B、60° C、120° D、150°
【例3】 已知=(2,1), =(－1,3),若存在向量使得：·=4, ·=－9，试求向量的坐标、

【例4】 求向量=(1,2)在向量=(2，－2)方向上的投影、

【例5】 已知△ABC的顶点分别为A(2，1)，B(3，2)，C(－3，－1)，BC边上的高AD，求及点D的坐标、

【例6】 已知
① 求；
②当k为何实数时,k与平行, 平行时它们是同向还是反向？

【例7】 已知与的夹角为,若向量与垂直, 求k.

【例8】 已知向量满足条件，，求证：是正三角形..

【变式】已知是所在平面内一点，为边中点，且，那么（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．

【例9】用向量方法证明:

【例10】用向量方法证明柯西不等式

【巩固练习】
1.(2009山东卷理)设P是△ABC所在平面内的一点，，则（　　　）
A. B. C. D.
答案 B
解析 :因为，所以点P为线段AC的中点，所以应该选B。
【命题立意】:本题考查了向量的加法运算和平行四边形法则，可以借助图形解答.
2.(2009年广东卷文)已知平面向量a= ，b=， 则向量 ( )
A平行于轴 B.平行于第一、三象限的角平分线
C.平行于轴 D.平行于第二、四象限的角平分线
答案 C
解析 ,由及向量的性质可知,C正确.
3.（2009广东卷理）一质点受到平面上的三个力（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知，成角，且，的大小分别为2和4，则的大小为( ) A. 6 B. 2 C. D.
答案 D
解析 ，所以，选D.
4.（2009北京卷文）已知向量，如果
那么 ( )
A．且与同向 B．且与反向
C．且与同向 D．且与反向
答案 D
解析 本题主要考查向量的共线（平行）、向量的加减法. 属于基础知识、基本运算考查.
∵a，b，若，则cab，dab，
显然，a与b不平行，排除A、B.
若，则cab，dab，
即cd且c与d反向，排除C，故选D.
5.（2009全国卷Ⅱ文）已知向量a = (2,1)， a·b = 10，︱a + b ︱= ，则︱b ︱=
A. B. C.5 D.25
答案 C
6.（2009全国卷Ⅰ理）设、、是单位向量，且·＝0，则的最
小值为 ( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 是单位向量
.
7.（2009辽宁卷理）平面向量a与b的夹角为，， 则 ( )
A. B. C. 4 D.2
答案 B
解析 由已知|a|＝2,|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝4＋4×2×1×cos60°＋4＝12
∴
8.（2009宁夏海南卷理）已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的 ( )
A.重心 外心 垂心 B.重心 外心 内心
C.外心 重心 垂心 D.外心 重心 内心
答案 C
（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）
解析

9.（2009湖南卷文）如图1， D，E，F分别是ABC的边AB，BC，CA的中点，则( )
A．
B．
C．
D．
答案 A
图1
解析 得.
或.
10.（2009全国卷Ⅰ文）设非零向量、、满足，则( )
A．150° B.120° C.60° D.30°
答案 B
解析 本小题考查向量的几何运算、考查数形结合的思想，基础题。
解 由向量加法的平行四边形法则，知、可构成菱形的两条相邻边，且、为起点处的对角线长等于菱形的边长，故选择B。
20.（2009宁夏海南卷文）已知，向量与垂直，则实数的值为 ( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 向量＝（－3－1，2），＝（－1,2），因为两个向量垂直，故有（－3－1，2）×（－1,2）＝0，即3＋1＋4＝0，解得：＝，故选.A.
11.（2009重庆卷文）已知向量若与平行，则实数的值是 （ ）
A．-2 B．0 C．1 D．2
答案 D
解法1 因为，所以
由于与平行，得，解得。
解法2 因为与平行，则存在常数，使，即
，根据向量共线的条件知，向量与共线，故
12.（2009江苏卷）已知向量和向量的夹角为，，则向量和向量的数量积= .
答案 3
解析 考查数量积的运算。
13.（2007北京）已知是所在平面内一点,为边中点,且，那么 （　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
答案 Ａ
14.（2007海南、宁夏）已知平面向量，则向量（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
答案 Ｄ
15.（2007山东）已知向量，若与垂直，则（ ）
A． B． C． D．4
答案 Ｃ
16.（2008陕西）关于平面向量．有下列三个命题：
①若，则．②若，，则．
③非零向量和满足，则与的夹角为．
其中真命题的序号为　　　　．（写出所有真命题的序号）
答案 ②
17.(2005上海)直角坐标平面中，若定点与动点满足，则点P的轨迹方程是__________.
答案 x+2y-4=0