专题讲座四平面向量.doc

2013届二轮必考内容专题复习
第四讲 平面向量
【考纲要求】
1．平面向量的有关概念（A）2．平面向量的线性运算（B）3平面向量的坐标表示（B）
4．平面向量的数量积（C）；5．平面向量平行、垂直（B）；6．平面向量的应用（B）。
【真题体验】
1．(2011江苏，10)已知e1，e2是夹角为π的两个单位向量，a＝e1－2e2，
b＝ke1＋e2，若a·b＝0，则k的值为________；

2．(2012·江苏，9)如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC
的中点，点F在边CD上，若·＝，则·的值是 ；

3．(2006·江苏6)已知两点M（－2，0）、N（2，0），点P为坐标平面内的动点，满足
　＝0，则动点P（x，y）的轨迹方程为 ；

4．(2005·江苏，18)在中，为中线上一个动点，若，则的最小值是 ；

5．(2010·江苏，15)设向量
（1）若与垂直，求的值；（2）求的最大值；（3）若，求证：∥；

6．(2010·江苏，15)在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；(2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值；

7．(2012江苏15)在中，已知．（1）求证：；
（2）若求A的值。

【典型问题】
例1 (2012·扬州)已知G1，G2分别为△A1B1C1与△A2B2C2的重心，且＝e1，＝e2，＝e3，则＝________；(用e1，e2，e3表示)

例2如图，△ABC是边长为2的等边三角形，P是以C为圆心，1为半径的圆上的任意一点，则(·)min＝________.

例3在RtABC中，已知斜边BC=a，若长为2a的线段PQ以A为中点，问与的夹角取何值时， 的值最大？并求出这个最大值；

例4已知A(3,0)，B(0,3)，C(cos α，sin α)．(1)若·＝－1，求sin的值；(2)O为坐标原点，若|－|＝，且α∈(0，π)，求与的夹角．

例5（湖南）如图，过抛物线x2=4y的对称轴上任一点P（0，m）(m>0)作直线与抛物线交
于A，B两点，点Q是点P关于原点的对称点；（1）设，证明: ；
（2） 设直线AB的方程是x-2y+12=0，过A、B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的
切线，求圆C的方程。

例5已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x＝8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且·＝0.(1)求动点P的轨迹方程；(2)若EF为圆N：x2＋(y－1)2＝1的任一条直径，求·的最值。

【强化训练】
1．(2012·苏州期中)已知O，A，B是平面上不共线的三点，设P为线段AB垂直平分线上任意一点，若||＝7，||＝5，则·(－)的值为________．
2． (2012·南通调研)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且3a＋4b＋5c＝0，则a∶b∶c＝________.

3．若 =(2，0)，=（2，2），=（），则，夹角为 ；

4．点在平面上作匀速直线运动，速度向量为；设开始时点的坐标为，则５秒后点的坐标为 ；

5．已知向量≠，||＝1，对任意t∈R，恒有|－t|≥|－|，则一定有 ；
A．(＋)⊥(－) B．⊥(－) C．⊥(－)　 D．⊥

6．在△ABC中，AD为BC边上的中线，||＝2||＝2||＝4，则||＝ ；

7．若向量a＝(x,2x)，b＝(－3x,2)，且a，b的夹角为钝角，则实数x的取值范围是

8．如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD=DC=1， AB=3，动点P在△BCD内运动
（含边界），设，则的取值范围是 .

9．在中，已知求角A、B、C的大小；

10．(2012·湖北)已知向量a＝(cos ωx－sin ωx，sin ωx)，b＝(－cos ωx－sin ωx，2cos ωx)，
设函数f(x)＝a·b＋λ(x∈R)的图象关于直线x＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈；
(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若y＝f(x)的图象经过点，求函数fx)在区间
上的取值范围；

11．(2012·张家界模拟)已知向量a＝，b＝，且x∈.
(1)求 a·b及|a＋b|；(2)若f(x)＝a·b－2λ|a＋b|的最小值为－，求实数λ的值；

12．已知两点，且点使，，成公差小于
零的等差数列；（1）点的轨迹是什么曲线？（2）若点的坐标为，记为
与的夹角，求

【答案与提示】
【真题体验】
1．解析　因为e1，e2是夹角为π的两个单位向量，所以e1·e2＝cos〈e1，e2〉＝cos＝－，又a·b＝0，所以(e1－2e2)·(ke1＋e2)＝0，即k－－2＋(－2k)＝0，解得k＝.
2．解析　以顶点A为坐标原点，AB、AD所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(，0)，E(，1)，设F(x,2)，所以·＝(，0)·(x,2)＝x＝⇒x＝1，即F(1,2)，所以·＝(，1)·(1－，2)＝(1－)＋2＝. 答案　
3．设，，，
则由，
则，化简整理得 4．-2
5．【解析】由与垂直，，
即，；

，最大值为32，所以的最大值为。
由得，
即，所以∥. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
6．解　(1)由题设知＝(3,5)，＝(－1,1)，则＋＝(2,6)，－＝(4,4)．
所以|＋|＝2，|－|＝4.故所求的两条对角线的长分别为4，2.
(2)由题设知：＝(－2，－1)，－t＝(3＋2t,5＋t)．
由(－t)·＝0，得：(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0，
从而5t＝－11，所以t＝－.或者：·＝t2，＝(3,5)，t＝＝－.
【典型问题】
例1解析　根据向量的线性运算求解．由＝＋＋＝e1，①
＝＋＋＝e2，② ＝＋＋＝e3，③
且G1，G2分别为△A1B1C1与△A2B2C2的重心，所以＋＋＝0，＋＋＝0，将①②③相加得＝e1＋e2＋e3)．答案　(e1＋e2＋e3)
例2解：取AB的中点D，连接CD、CP.
所以·＝(＋)·(＋)＝·＋·(＋)＋2
＝(2)2×－·2＋1＝7－6cos〈，〉当cos〈，〉＝1
时，·取得最小值1.
例3解：以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系。设|AB|=c，|AC|=b，则A（0，0），B（c，0），C（0，b）.且|PQ|=2a，|BC|=a.设点P的坐标为（x，y），则Q（-x，-y），

∴cx-by=a2cos.∴=- a2+ a2cos.故当cos=1，即=0（方向相同）时，的值最大，其最大值为0 ；
例4解　(1)＝(cos α－3，sin α)，＝(cos α，sin α－3)，所以·＝(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)＝－1，得sin2α＋cos2α－3(sin α＋cos α)＝－1，所以sin＝.
(2)因为|－|＝，所以(3－cos α)2＋sin2α＝13，所以cos α＝－，因为
α∈(0，π)，所以α＝，sin α＝，所以C，所以·＝，
设与的夹角为θ，则cos θ＝＝，因为θ∈(0，π)，所以θ＝为所求．
例5解（1）设过C点的直线为，所以，即，设A，=，，因为，所以
，即，

所以，即所以
（2）设过Q的切线为，，所以，即，它与的交点为M，又，所以Q，因为,所以，所以M,所以点M和点Q重合，也就是QA为此抛物线的切线。
（3）（2）的逆命题是成立，由（2）可知Q，因为PQ轴，所以
因为，所以P为AB的中点。
例6解　(1)设P(x，y)，则Q(8，y)．由·＝0，得|PC|2－|PQ|2＝0，
即(x－2)2＋y2－(x－8)2＝0，化简得＋＝1.所以点P在椭圆上，其方程为＋＝1.
(2)因·＝(－)·(－)＝(－－)·(－)＝(－)2－2＝2－1，
P是椭圆＋＝1上的任一点，设P(x0，y0)，则有＋＝1，即x＝16－，又N(0,1)，所以2＝x＋(y0－1)2＝－y－2y0＋17＝－(y0＋3)2＋20. 因y0∈[－2，2]，所以当y0＝－3时，2取得最大值20，故·的最大值为19；当y0＝2时，2取得最小值(2－1)2＝13－4，(此时x0＝0)，故·的最小值为12－4.
【强化训练】
1． 解析　设AB的中点为C，则·(－)＝(＋)·＝·
＝(＋)·(－)＝(||2－||2)＝(25－49)＝－12.
2．解析　因为＝－，所以原式可以变形为(3a－4b)－(3a－5c)＝0，且，不共线，所以3a＝4b＝5c，解得a∶b∶c＝20∶15∶12. 答案　20∶15∶12
3．［，］提示 ：点C的轨迹是以（2,2）为圆心，为半径的圆.
4．提示：设5秒后点P运动到点A,则,
∴=(10,-5).
5．. 6． ；
7．解析　∵a，b的夹角为钝角，∴a·b＝x·(－3x)＋2x·2＝－3x2＋4x＜0，解出x＜0或x＞，又由a，b共线且反向可得x＝－，所以x的取值范围是∪∪.
8．解：建立如图所示的平面直角坐标系，设P（x，y），
（x，y）=α•（3，0）+β•（0，1），∴α= x/3 ，β=y
∴z=α+β= x/3+ y
∵B（3，0），D（（0，1），C（1，1）
根据图象，可得z= x/3+ y在BD边取得最小值1，在点C处取得最大值4/3
∴α+β的取值范围是[1，4/3]
9．，，；或，，；
10． 解　(1)a·b＝cos x·cos －sin xsin ＝cos＝cos 2x，
|a＋b|2＝2 ＋2＝2＋2cos 2x＝4cos2x，
∵x∈，∴cos x≥0，∴|a＋b|＝2cos x.
(2)∵f(x)＝cos 2x－4λcos x＝2cos2x－4λcos x－1，
∴f(x)＝2(cos x－λ)2－1－2λ2.∵x∈，∴cos x∈[0,1]．
①当λ<0时，当且仅当cos x＝0时，f(x)取最小值－1与已知最小值－矛盾．
②当0≤λ≤1时，当且仅当cos x＝λ时，f(x)取最小值－1－2λ2＝－，解得λ＝.
③当λ>1时，当且仅当cos x＝1时，f(x)取最小值1－4λ＝－，解得λ＝与λ>1矛盾．
综上所述，λ＝即为所求．
12．（1）；（2）
第 9 页 共 9 页