平面向量的概念及线性运算.doc

句容三中2012—2013学年度第一学期高三一轮复习数学（理科）教学案 第1份 总47份
平面向量的概念及线性运算
主备人：张勇 检查人：庄成明 行政审核人：
【教学目标】
1、了解向量的实际背景，平面向量的概念，理解向量相等的含义，掌握向量的几何表示；
2、掌握向量的加法与减法及其运算律，能根据“平行四边形法则”和“三角形法则”进行向量的和与差运算；
3、理解向量共线定理；
4、了解向量线性运算的性质及其几何意义。
【教学重点】平面向量的概念，平面向量的加法、减法及数乘运算。
【教学难点】、理解向量共线定理，并能运用其解决相关问题。
【教学过程】
一、引入
1、向量的有关概念：
向量：既有______又有_______的量叫做向量，向量的大小叫做向量的_______（或___ _）。
2、几个特殊的向量：
（1）零向量：_____________的向量叫做零向量，其方向是_____ ___的；
（2）单位向量：长度等于______ ____的向量；
（3）平行向量：方向____ _____或__________的__________向量，平行向量又叫做____________，任一组平行向量都可以移到同一直线上。规定：0与任一向量
（4）相等向量：长度_________且方向____________的向量；
（5）相反向量：长度_________且方向____________的向量。
3、向量的加法：
（1）运算法则：①___________________，即_____________________ _ ________；
②______________________，即___________________________________ ___________。
设，则=___________=_____ ___。
（2）运算性质：=_____ ___(交换律)；=______ _____（结合律）；
=___ _ ____=_____ __。
4、向量的减法：
（1）减法与_________互为逆运算；
（2）运算法则：____________法则，_____________________ _________________；
设，则=________________=_______ __。
5、实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作
（1）长度与方向规定如下：①；②当时，的方向与的方向 __；
当时，的方向与的方向_____ ____；当时，=，的方向___ ___。
（2）运算律：设，则①；② ；③ 。
6、两个向量的共线定理：向量与_______（）共线有且只有一个实数，使得。
二、新授内容
（一）基础自测：
1．下列命题：① 平行向量一定相等；② 不相等的向量一定不平行；③ 平行于
同一个向量的两个向量是共线向量；④ 相等向量一定共线，其中不正确的序号
是____________．
2．化简(－)－(－)＝____ ____。
3．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD中点，AE的延
长线与CD交于点F．若=，=，则=___________．
（二）典型例题：
例1．判断下列命题是否正确，不正确的请说明理由．
（1）若向量a与b同向，且|a|=|b|，则a＞b；
（2）若|a|=|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；
（3）若|a|=|b|，且a与b方向相同，则a=b；
（4）由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行；
（5）若向量a与向量b平行，则向量a与b的方向相同或相反；
（6）若向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上；
（7）起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；
（8）任一向量与它的相反向量不相等．
例2． 如图，在△OAB中，延长BA到C，使AC＝BA，在OB上取点D，
使DB＝OB.设＝，OB＝，用，表示向量，.

例3．(1)设两个非零向量e1，e2不共线， = e1- e2，=3 e1+2 e2，
=-8 e1-2 e2，求证：A，C，D三点共线．

（2）设e1，e2是两个不共线向量，已知=2 e1+k e2，
= e1+3 e2，=2 e1- e2．若A，B，D三点共线，求k的值．

（3）已知a，b是不共线的向量，若＝λ1＋，＝＋λ2 (λ1，λ2∈R)，则A、B、C三点共线的充要条件为________．

（4）已知＝λ＋μ (λ、μ为实数)，若A、B、C三点共线，求证：λ＋μ＝1．

三、课堂反馈
1．△ABC是边长为1的正三角形，点O是平面上任意一点，则_______．
2．如图在△OAC中，B为AC的中点，若＝x＋y，
则x－y＝________．
3、如图，设点P,Q是线段BC的三等分点，若，
则 ， （用 表示）

【课后作业】 姓名________
1．若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|－|＝|＋－2 |，则△ABC的形状为________．
2．设P是△ABC所在平面内的一点， ＋＝2 ，则点P、A、B、C其中共线的三点是________．
3．(2011·广州模拟)已知点O，N在△ABC所在平面内，且| |＝||＝| |，＋＋＝0，则点O，N依次是△ABC的________．
4．在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，＝λ＋μ，则λ＋μ的值为________．
5.(2011·合肥模拟)如图，已知＝，＝，＝3 ，用，表示，则＝________.

6．设，是两个不共线的非零向量若8＋k与k＋2共线，则实数k＝________.

7、已知点O为外接圆的圆心，且，则的内角等于

8、设向量e1，e2不共线，＝3(e1＋e2)，＝e2－e1，＝2e1＋e2，给出下列结论：①A、B、C共线；②A、B、D共线；③B、C、D共线；④A、C、D共线，其中所有正确结论的序号为________．

9.如图所示，平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ(不包括边界)．若＝a ＋b ，且点P落在第Ⅲ部分，则实数a，b满足a________0，b________0(用“＞”，“＜”或“＝”填空)．

10．(2012·扬州模拟)已知△ABC中，点D是BC的中点，过点D的直线分别交直线AB、AC于E、F两点，若＝λ (λ＞0)，＝μAF―→ (μ＞0)，则＋的最小值是________．

11．已知△ABC中，＝，＝，对于平面ABC上任意一点O，动点P满足＝＋λ＋λ，则动点P的轨迹是什么？其轨迹是否过定点，并说明理由．

12．已知点G为△ABC的重心，过点G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，且＝x ，＝y ，求＋的值．

作业完成质量： ．
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