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扬中市第二高级中学高一数学复习教案
第四讲 函数的奇偶性
一、知识要点：
1、函数奇偶性定义：
如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=－f(x)，则称f(x)为奇函数；
如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。
如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)既不是奇函数也不是偶函数
如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数。
2、函数奇偶性的判定方法：定义法、图像法
（1）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：
①首先确定函数的定义域是否关于原点对称；②确定f(－x)与f(x)的关系；③作出相应结论
2、
若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；
若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数。
①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；
②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，定义域关于原点对称。
(2) 利用图像判断函数奇偶性的方法：
图像关于原点对称的函数为奇函数，图像关于y轴对称的函数为偶函数，
（3）简单性质：
设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：
奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇
二、基础练习：
1. f
3、x),g(x)是定义在R上的函数，h(x)=f(x)+g(x)，则f(x)，g(x)均为偶函数,h(x)一定为偶函数吗？
反之是否成立？
2.已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中是奇函数的是
①y=f(|x|); ②y=f(-x); ③y=x·f(x); ④y=f(x)+x.
3.设函数若函数是偶函数，则的递减区间是
4.已知y=f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x2-2x，则在x<0上f(x)的表达式为
5
4、 设f(x)是R上的偶函数，且在(0,+∞)上是减函数，若x1＜0,且x1+x2＞0,则 f(x1)与f(-x2)的大小关系是
三、例题精讲：
题型1： 函数奇偶性的判定
例1. 判断下列函数的奇偶性：
① ,②,③④
变式：设函数f（x）在（－∞，+∞）内有定义，下列函数：
① y=－|f（x）|； ②y=xf（x2）； ③y=－f（－x）； ④y=f（x）－f（－x）。
必为奇函数的有_ __（要求填写正确答案的序号）
题型2： 函数奇偶性的证明
例2、已知函数f(x),当x,y∈R时，
5、恒有f(x+y)=f(x)+f(y).求证：f(x)是奇函数；
变式：已知f（x）=是奇函数，则实数a的值等于
题型3： 函数奇偶性的应用
例3.设定义在[-2，2]上的偶函数f(x)在区间[0，2]上单调递减，若f(1-m)6、合应用
例5.f(x)、g(x)都是定义在R上的奇函数，且F(x)=3f(x)+5g(x)+2,若F(a)=b,则F(-a)=
变式：已知函数f(x)=g(x)+2,x∈［-3，3］，且g(x)满足g(-x)=-g(x),若f(x)的最大值、最小值分别为M、N，则M+N= .
例6．已知函数为奇函数，，且不等式的解集是∪。
（1）求；
（2）是否存在实数m使不等式对一切成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由。
例7.已知f(x)是定义在［－1，1］上的奇函数，且f(1
7、)=1,若a,b∈［－1,1］,a+b≠0时，
有＞0.
(1)判断函数f(x)在［－1，1］上是增函数，还是减函数，并证明你的结论；
（2）解不等式：f(x+)＜f();
(3)若f(x)≤m2－2pm+1对所有x∈［－1,1］,p∈［－1,1］(p是常数）恒成立，求实数m的取值范围.
能 力 训 练 题
1.判断下列函数的奇偶性：
（1）f(x)=； （2）； （3）f(x)=x+1 (x[-10,10))；
2.函数f(x),g(x)在区间［-a，a］ (a＞0）上都是奇函数，则下列结论：①f(x)-g(x)在［-a,a］
8、上是奇函数；②f(x)+g(x)在［-a,a］上是奇函数；③f(x)·g(x)在［-a,a］上是偶函数；④f(0)+g(0)=0,其中正确的个数是
3．已知函数f(x)(xÎR)是奇函数，且 _。
4.设是定义在上的一个函数，则函数在上的奇偶性是
5. 已知函数为偶函数，则的值是
6.已知y=f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x2-2x，则在R上f(x)的表达式为
7.如果奇函数在区间 上最大值为，那么在区间上最小值是
8.若φ(x)，g(x)都是奇函数，f(x)=mφ(x)+ng(x)+2在（0，+∞）上有最大值，则f(x)在（-∞，0）
上最小值为_ _。
9.为奇函数，则 ．
10．如果函数是奇函数，则
11.判断的奇偶性。
12.已知函数f(x)=x2+|x-a|+1,a∈R.
（1）试判断f(x)的奇偶性；（2）若-≤a≤，求f(x)的最小值.
4
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