专题五平面向量学生版.doc

第八节——平面向量
【考点整合及典例分析】
1.向量有关概念：
（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别.向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）.

【例1】已知A（1,2），B（4,2），则把向量按向量＝（－1,3）平移后得到的向量是_____

（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的；
（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与共线的单位向量是)；
（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；
（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：∥，规定零向量和任何向量平行. 向量（≠）与向量共线的充要条件为存在唯一实数使
提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有)；④三点共线共线；
（6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量.的相反向量是－.

【例2】下列命题：
（1）若，则.（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同.
（3）若，则是平行四边形.（4）若是平行四边形，则.
（5）若，则.（6）若，则.其中正确的是_______

2.向量的表示方法：
（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后；
（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，，等；
（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量，为基底，则平面内的任一向量可表示为，称为向量的坐标，＝叫做向量的坐标表示.如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同.

3.向量的运算
运算
几何运算
坐标运算
加法
利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设，那么向量叫做与的和，即；

设，则：
向量的加法运算： .
减法
用“三角形法则”：
设，
由减向量的终点指向被减向量的终点.注意：此处减向量与被减向量的起点相同.
设，则：
向量的减法运算： .
数乘
实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下：当>0时，的方向与的方向相同，当<0时，的方向与的方向相反，当＝0时，，注意：≠0.

数量积
（1）两个向量的夹角：对于非零向量，，作，
称为向量，的夹角，当＝0时，，同向，当＝时，，反向，当＝时，，垂直.
（2）平面向量的数量积：如果两个非零向量，，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积（或内积或点积），记作：，即＝.规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量.

向量的模：.
两点间的距离：若，则.
（1）交换律：，，；
（2）结合律：，
；
（3）分配律：，.
提醒：
（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；
（2）向量的“乘法”不满足结合律，即，为什么？
考点1、向量的线性运算
【例3】化简：①___；②____；③_____
【例4】若正方形的边长为1，，则＝_____

变式1、若O是所在平面内一点，且满足，则的形状为___

变式2、若为的边的中点，所在平面内有一点，满足，设，则的值为__ _

考点2、向量共线定理的应用
【例5】已知点，，若，则当＝____时，点P在第一、三象限的角平分线上

【例6】已知，，则

变式3、设，且，，则C、D的坐标分别是_____

考点3、夹角问题

【例7】已知均为单位向量，它们的夹角为，那么＝___

【例8】△ABC中，，，，则_________

变式4、已知，与的夹角为，则等于__

变式5、已知，则等于

【例9】已知是两个非零向量，且，则的夹角为

【例10】已知向量＝（sinx，cosx）, ＝（sinx，sinx）, ＝（－1，0）.（1）若x＝，求向量、的夹角；（2）若x∈，函数的最大值为，求的值

（3）在上的投影为，它是一个实数，但不一定大于0.
【例11】已知，，且，则向量在向量上的投影为

（4）的几何意义：数量积等于的模与在上的投影的积.
（5）向量数量积的性质：设两个非零向量，，其夹角为，则：
①；
②当，同向时，＝，特别地，；当与反向时，＝－；当为锐角时，＞0，且不同向，是为锐角的必要非充分条件；当为钝角时，＜0，且不反向，是为钝角的必要非充分条件；
③非零向量，夹角的计算公式：；④.
【例12】已知，，如果与的夹角为锐角，则的取值范围是______

变式6、已知，若与的夹角为钝角，求的取值范围。

【例13】已知的面积为，且，若，则夹角的取值范围是_______

变式7、已知与之间有关系式
其中，①用表示；②求的最小值，并求此时与的夹角的大小

考点4.平面向量的基本定理
如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数、，使a=e1＋e2.
【例14】若，则___ ___（用表示）

【例15】下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 ( )
A. B.
C. D.
变式8、已知分别是的边上的中线,且,则可用向量表示为

考点5.向量平行(共线)的充要条件：
＝0.
【例16】若向量，当＝_____时与共线且方向相同

【例17】已知，，，且，则x＝______

变式9、设，则k＝_ ____时，A,B,C共线

考点6.向量垂直的充要条件：
.特别地.
【例18】已知，若，则

变式10、已知向量，且，则的坐标是___

8.向量中一些常用的结论：
（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；
（2），特别地，当同向或有
；当反向或有；当不共线(这些和实数比较类似).
（3）在中，
①若，则其重心的坐标为.
【例19】若⊿ABC的三边的中点分别为（2，1）、（-3，4）、（-1，-1），则⊿ABC的重心的坐标为_______

②为的重心，特别地为的重心；
③为的垂心；
④向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)；
⑤的内心；
（3）若P分有向线段所成的比为，点为平面内的任一点，则，特别地为的中点；
（4）向量中三终点共线存在实数使得且.
【例20】平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点,,若点满足,其中且,则点的轨迹是_______

变式11、已知平面上三点A、B、C，
（1）若三点A，B，C不能构成三角形，求实数k应满足的条件
（2）若为直角三角形，求k的值