高难度_平面向量.doc

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1. 在△ABC中，已知AB＝4，AC＝3，P是边BC的垂直平分线上的一点，则＝_____________
【答案】
解析：A
B
C
P
Q

2. 已知，点在内，.
设，则等于 A
B
O
C

【答案】3
[解析]：法一：建立坐标系，设 则由得
而 故
法二：两边同乘或得
两式相除得
3. 在△ABC中，若，则边的长等于
解析：
4. 已知点G是的重心，点P是内一点，若的取值范围是___________
解析：A
B
C
G
P
’D
Q’

(其中)
=
=，则
5. 已知为所在平面内一点，满足
，则点是的 心 垂心

，可知，其余同理
6. 设点O是△ABC的外心，AB＝，AC＝，则·的取值
范围
解析：A
B
C
O

7. 在△ABC和△AEF中，B是EF的中点，AB=EF=1，BC=6，
，若，则与的夹角的余弦值等于_____
解析：（2007全国联赛类似38.39题）因为，所以，即。因为，
，，所以，即。设与的夹角为θ，则有，即3cosθ=2，所以
8. 已知向量,,满足,,.若对每一确定的,的最大值和最小值分别为,则对任意,的最小值是　　
解析：数形结合.A
B
C
D
,,,
，点在以为直径的圆上运动，就是，而（共线时取等号）和9题相同.
9. 已知向量a ，b ，c 满足 | a | = 1，|a - b | = | b |，(a - c) (b - c ) = 0 ，若对每一个确定的b，|c | 的最大值和最小值分别为m，n，则对于任意的向量b ，m + n 的最小值为_________ ．
解析：本题和8完全相同。数形结合，具体参见8
10. 设是夹角为的两个单位向量，已知，，若是以为直角顶点的直角三角形，则实数取值的集合为_____________{1}
解析：画图解即可
11. 如图放置的边长为1的正方形的顶点分别在轴，轴上正半轴上滑动，则的最大值为________2
解析：O
A
B
C
D
x
y

12. 给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为。如图所示，点在以为圆心的圆弧上变动，若，其中，则的最大值是___2
解析：

【研究】如果要得到满足的准确条件，则建系，则
，则满足，且
【变题】给定两个长度为1且互相垂直的平面向量和，点C在以O为圆心的圆弧AB上运动，若，其中x、yR，则的最大值为 2
解析：建系，利用坐标法是可以得到最准确的满足条件，如
，点C在以O为圆心的圆弧AB上运动，故满足
13. 在平行四边形已知，点的中点，点在上运动（包括端点），则的取值范围是
解析：分两种情形，结合图形分析。（1）当P在BC上时，，则；同理，当P在CD上时，
14. 在周长为16的中，，则的取值范围是
解析：，因，故，，或者用消元的方法
，当时取等号，故
；同时，当时，故，

另法：本题可以得出P的轨迹是椭圆，得出椭圆方程然后设P坐标来解决
15. 已知且，是钝角，若的最小值为，则的最小值是
O
B
B’
A
C

解析：共线，用几何图形解）的最小值为根据几何意义即为A到OB的距离，易得，要使最小，则，利用面积法可求得
16. 如图，在正方形中，为的中点，为以为圆心、为半径的圆弧上的任意一点，设向量，则的最小值为
解析：坐标法解，
由得，
，令，，故最小值为，最小值为
17. 已知为边长为1的等边所在平面内一点，且满足，则
=________3
解析：如图P
A
B
C
，=

18. 已知向量M={ | =(1,2)+l(3,4) lÎR}， N={|=(-2,2)+ l(4,5) lÎR }，则MÇN=________
解析：
19. 等腰直角三角形中，，，是边上的高，为的中点，点分别为边和边上的点，且关于直线对称，当时，______3

C
A
D
E
B
解析：
20. 如图在三角形ABC中，E为斜边AB的中点，CD⊥AB，AB＝1,
则的最大值是
解析：

21. 已知A，B，C是平面上不共线上三点，动点P满足,则P的轨迹一定通过的______________重心
解析：设重心为，
，故三点共线
22. 已知点O为的外心，且,则 6
解析：
23. 设是边延长线上一点，记 ，若关于的方程
在上恰有两解，则实数的取值范围是____
或
解析：令则在上恰有一解，数形结合知或，或者
又
所以或
24. 是锐角ABC所在平面内的一定点,动点P满足:

,,则动点P的轨迹一定通过ABC的______心 内心
解析：设高为，则显然成立
25. 已知为坐标原点，，，，，记、、中的最大值为M，当取遍一切实数时，M的取值范围是_____
解析：不妨设，即，此时,当取遍一切实数时，点在轴上滑动，而到点的距离等于到轴距离的点的轨迹是以为焦点，轴为准线的抛物线，其方程为C
A
,它交直线于点，显然此时，而为的垂足时最小，即最小是
法2：对于某个固定的,到的最大值显然可以趋向，最小值呢？实际上就是当为外心时，此时的最小值，因为当不是外心时，至少有一个会变大，这样就变大.解得外心坐标为,要使得最小，则圆与坐标轴相切，此时
26. 已知中，为内心，，则的值为 _________ . ,
解析：延长交于点,则
27. 设G是的重心，且，则角B的大小为__________60°
解析：由重心性质知，下面用余弦定理即可求解
28. 平面内两个非零向量，满足，且与的夹角为，则的取值范围是_________

解析：数形结合。利用正弦定理得，，
29. 在中，，为外接圆的圆心，则____
解析：A
B
C
O
D
E

30. △ABC内接于以O为圆心的圆，且．则 ．135
解析：

31. 在△ABC中，AB＝8，BC＝7，AC=3，以A为圆心，r=2为半径作一个圆，设PQ为圆A
的任意一条直径，记T＝,则T的最大值为 ．22
解析：A
B
C
P
Q
设的夹角为，注意到由余弦定理知，故

32. 如图，在ΔABC中，，，，则=____________
33. 已知点O为△ABC内一点，且＋2＋3＝，则△AOB、△AOC、△BOC的面积之比等于_______________3:2:1
法一：延长OB,OC至B’,C’，使得,，则为重心，然后由面积计算；法二：建立坐标系，设A(0,0),C(c,0),B(a,b),O(x,y)，

34.已知A.B.C是△ABC的三个顶点，为_________________三角形. 直角三角形
解：注意到,故
35.平面上的向量满足，且,若向量
，则的最大值为___________
解析：两边平方后知，即重合时.
36.已知在平面直角坐标系中，满足0的最大值为
解析：即已知求最大值问题，线性规划问题.
37、在△中，已知，，，于，为
的中点，若，则 .
解析：，两边同数乘得；两边同数乘得
解方程组得
38. 如图，在和中，是的中点，，，
若，则与的夹角的余弦值等于 _．
解析：39题类似，，下面求

(=

=，解方程得
39. 如图，在△ABC和△AEF中，B是EF的中点，AB=EF=1，CA=CB=2，若，则与的夹角等于 ；
解析： 解题思路：在已知等式中，将不知模长的向量作替换转化。

与的夹角与的夹角∵，
∴

而在等腰△ABC中，作底边的高CD，则在Rt△ACD中由已知边长可得，设与的夹角为。
∴，
从而，又，∴。
40. 如图，已知的一条直角边与等腰的斜边重合，若，，，
则 ＝ .-1
解析：两边分别同乘分别得到

41.在中，若是其内一点，满足，求证：为内心
证明：
，注意到是单位向量，则在角平分线上，同理可得是内心.
42. 已知向量满足条件：，且=2，点P是ABC内一动点，则 18 .
43. 如图所示，A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O 外的点D，若，则的取值范围是 （-1,0）
解析：设
，由于共线

A
B
C
P
44.如图，，点在阴影区域内（不含边界），则
满足的条件是___________，
解析：设与交与点，
，
45. 在△ABC中，，D是BC边上任意一点（D与B、C不重合），且，则等于
解析：
说明AD是BC边中垂线，得AB=AC
46. 在中，，是内切圆圆心，设是⊙外的三角形区域内的动点，若，则点所在区域的面积为

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