“平面解析几何初步”的教学解决策略.doc

平面解析几何初步”的教学解决策略
一、教学设计的总体把握：
解析几何是17世纪数学发展的重大成果之一，是高中数学的经典内容．其实质是用代数方法研究图形的几何性质，体现数形结合的重要思想．高中解析几何的学习大致分成三个阶段：学生在高一阶段的必修2中学习“平面解析几何初步”，进入高二年级，在选修1-1或2-1中学习“圆锥曲线与方程”．理科还要学习选修 4-4“坐标系与参数方程”，高三阶段，我们还对这些构成解析几何的经典内容进行系统的梳理和复习．可以看出，对解析几何的学习不是一步到位的，体现了循序渐进的原则，符合认知规律的螺旋上升．那么，贯穿解析几何的教学的主线在每个学段是如何体现的呢？如何让学生从接触解析几何的第一天起，就感受到其内容的核心与精华，了解这段内容的学习方法和研究方法，我们就每个学段要达到的教学要求、不同学段的教学策略、各学段教学内容的衔接等几个方面进行了具体实践.
二、不同学段对解析几何思想方法的探究实践
我们重温了课标对解析几何的教学要求，在此基础上讨论了教材体系和教学内容与过去大纲版的变化。如教材的分层设计，这种处理方式体现了循序渐进的原则，关注学生初高中的衔接．我们认真揣摩各学段的教学要求，在此基础上，以解析几何的思想方法为主线，以课例为载体，增加一线教师操作的可行性和实效性，对各学段解析几何的教学内容、要求、教法进行具体、深入的探索研究．把理性的思考和具体的课例结合起来，开展了此次校本教研活动．三个年级的研究课题是的课题分别为：高一：直线与圆的位置关系；高二：直线与圆锥曲线；高三：解析几何专题研究
设计例说：
课例1：直线与圆的位置关系
研究教材：
“平面解析几何初步”的重点是帮助学生初步体会解析几何的思想历程：将几何问题代数化——处理代数问题——分析代数结果的几何含义——解决几何题．在平面直角坐标系中，点、直线和圆都有了代数形式，我们就可以用代数的方法来研究几何问题了．这与初中阶段我们直接借助几何图形来研究其形状、大小、位置关系不同．实际上我们是在用代数方法研究平面几何问题．另一方面，用代数方法研究问题也不是全新的、没见过的，初中已经将点和有序实数对建立了一一对应关系，只是没有系统地接触解析几何的思想方法罢了．在这里体现了初高中在知识上的的衔接．
教法学法分析：
在本章的前半部分，学生已经学习了直线与圆的方程，知道在直角坐标系中，直线和圆可以用方程表示，（从形到数）．通过方程，我们研究了直线间的位置关系，点到直线的距离等，（用数研究形）．这些处理问题的方法的共性是都需要把几何问题代数化，先用方程表示直线和圆，然后再通过代数运算解决有关问题.结合对例题的讲解分析，我们突出用坐标方法解决几何问题的“三步曲”：第一步：建立平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.对解析几何的思想方法有了初步体验．这是我们继续研究直线与圆的位置关系的基础．
作为承上启下的部分，这也是后面学习圆锥曲线的基础．由于学习内容由低到高有递进关系，我们希望前一层级的学习对后一层级有积极影响，即学生遇到新问题时，能在已有知识的基础上展开探究，找到新旧的联系，主动解决后面问题．
主要教学环节：
1、对解析几何的研究对象、研究方法的回顾：
让学生初步体验解析几何的研究方法，为以后学习圆锥曲线奠定基础．
2、设置情境、问题新知：
（1）在初中，怎样判断直线和圆的位置关系？
这个问题是与初中知识的衔接，回忆平面几何中如何判定直线与圆的位置关系的．
（2）通过直线和圆的方程怎样判断它们的位置关系？
让学生认识到我们是用代数方法研究几何问题．有利于保持学生知识结构的连续性，同时开拓视野，激发学生的学习兴趣．也让学生体验研究位置关系的方法的多样性．平面直角坐标系成为沟通平面几何、解析几何的纽带，对同一个问题可以从不同的角度去认识.
我们总结出两种判断方法：
从几何角度，圆心到直线的距离与半径的大小关系刻画直线与圆位置关系；这样把几何位置关系转化为距离的代数计算．
从方程观点．利用直线与圆的方程组是否有解研究曲线间的位置关系．
本质上说，两种方法都是用坐标法解决问题．
我们认为两种方法无所谓优劣强调在掌握共性（方程的方法）的基础上注意个性（圆心距与半径的关系）．前者更好地挖掘了圆特有的几何特征，简化了代数运算，比联立方程组的方法快捷．可以看出用解析法解几何题时，对几何对象的几何特征的不同挖掘，转化的代数形式不尽相同，带来的解法是互异的，这在学生的后续学习中体现得更明显．联立方程组的解法有着很好的认知基础和可持续发展性．学生可以根据求两条直线交点问题的经验，想到判断直线与圆的交点个数也可以通过研究方程组的解来解决．把形的问题（求直线和圆的交点）转化为方程组的实数解的问题（数的问题）．充分体现了解析几何中利用代数方法解决几何问题的思想方法．这个解法又成为后续研究直线与圆锥曲线位置关系的通法”．
所以这里的讲授突出了两点：几何要素（确定直线和圆的几何要素、确定直线与圆位置关系的几何要素）以及在几何要素引导下的代数变形，最终要回到几何上，体现对几何问题的研究．例题围绕这两点设计：
3、例题研究：
例1．（1）直线：和C：，判断直线与圆的位置关系．
（2）直线：和C：的位置关系
（3）直线：和C：（）恒有公共点，求m的范围
对于（3），分析优解：直线与圆恒有公共点直线经过的定点（0，1）在圆上或圆内．突出对图形的认识．
本题的设计意图是让学生熟知直线和圆中参数的几何意义体会参数对求法的影响．强调画图．不是纯代数的推导．
我们还可以引导学生思考：围绕直线和圆，还会产生哪些新问题（如求切线、弦长等）如何解决等．
课例2：直线与圆锥曲线的位置关系
研究教材：
我们继续采用高一学段研究直线与圆所用的坐标法，通过方程组研究直线与圆锥曲线的位置关系．直线和圆的位置关系作为直线和圆锥曲线的位置关系中的一种，在必修学段已经做了比较系统的研究，其研究方法、研究思路、研究内容等可以类比、借鉴，用来处理直线与其他圆锥曲线的位置关系．
椭圆作为三种圆锥曲线的重要代表，直线与椭圆的位置关系更是解析几何的经典内容．由于它的几何性质比圆更复杂，所以直线与椭圆的位置关系比直线与圆的位置关系更难把握．
鉴于高三阶段我们还要对这部分知识做系统的复习和提炼，所以这节课肩负着承上启下的任务．
研究学生：
在学习了平面解析几何初步的基础上，学生已经掌握了直线和圆的几何要素和它们的代数表示．掌握了确定这些基本图形位置关系的几何要素，以及如何运用代数的方法讨论这些图形之间的位置关系，学生积累了一定的用坐标法研究几何图形的经验．
在本模块中，学生完成了椭圆、双曲线、抛物线的标准方程、基本性质的学习，再次体验了几何要素代数化的过程．体会了几何直观带来的好处．
主要教学环节：
1、回顾复习，唤醒回忆：
（1）在必修2中我们研究了直线与圆的哪几种位置关系？如何判断直线与圆的位置关系呢？
前一学段的学习是后一学段的基础，前面的知识会在后续学习中得到巩固、拓展和深化．学生的学习就是在这种多次反复、螺旋上升中完成的．
（2）用解析几何的方法研究问题的思路是什么？

    一节数学课应该体现知识的核心内容，包括思想方法的渗透，也是数学作为一种理性文化的核心所在．上述流程图是解析几何最核心的部分，理应沉淀下来并在后续的学习中体现认识的螺旋上升．
2、例题选讲与练习：
我们拟从直线与封闭曲线（圆、椭圆）、直线与非封闭曲线（抛物线、双曲线）两方面探索直线与圆锥曲线的位置关系．
例1、已知直线：，椭圆：，试判断直线和椭圆的位置关系．
意图1：体会几何特征是怎样转化成代数形式的；
意图2：通过实例总结判断直线与圆锥曲线交点个数的方法：
直线与圆锥曲线交点个数直线与圆锥曲线组成的方程组解的个数．最终转化为一元二次方程的根的个数问题．
练习：已知直线，椭圆   
（1）试判断直线和椭圆的位置关系；（2）若相交，求弦的长；
分析：
（1）点（0，-2）在椭圆上．与高一的课例1中，处理圆的相关问题类似．说明直线与圆锥曲线的位置关系还可以利用数形结合、以形助数的方法来解决．体现衔接．
（2）方法1：求出交点坐标，用两点间距离公式求弦长
方法2：设，推导弦长公式，弦长= ，对交点设而不求，简化运算．
回顾处理圆中弦长问题的方法：由于椭圆没有圆的完美对称性，故在圆中利用半径、半弦、边心距组成的直角三角形求弦长的方法失效了．但弦长公式也适用于求与圆有关的弦长．
例2：已知直线，椭圆   ，相交于A、B两点，若弦的中点为，求中点P的轨迹方程．
思考1：如果是直线与双曲线或抛物线，位置关系如何判断？            
思考2：对例2的进一步研究．如，直线和椭圆的方程不变，继续提问:
（2）若为坐标原点，且，求直线的方程；
（3）若弦的中点为，且，求直线的方程.
（4）当k=1时，问椭圆上是否存在一点，它到直线的距离的最小？最小距离是多少？
设计意图：再次体会如何用代数方法研究几何问题．以点带面，解决多种相关问题．
课例3：直线与圆锥曲线复习
背景分析：
高三的复习是在高一、高二学习基础上的再认识．本节课的教学设计应从整体、系统的高度把握知识，注重知识之间的联系，建构自己的认知结构．我们可以以专题研究的方式避免复习在低思维层次上重复：
专题1：几何对象如何代数化
分析体验对几何特征的不同角度的挖掘，转化成的代数问题不同，解决问题的难易程度也不同．2010年北京高考题就是很好的示范．
专题2：化解代数运算的常见思路
    思想方法的学习是一个“渐悟”的过程，经过前两个学段润物细无声的渗透，力求高三阶段有所“顿悟”．以专题的形式突破难点，彻底解决学生“听得懂、想不到”、见到解析几何题就联立方程组，算到最后无疾而终的问题．让学生在实践中体会解一道解析几何题，如何在前面的流程图的指引下，不仅知道该做什么，更知道怎样做！效果立竿见影．
三、教研的感悟和思考：
解析几何是高中数学的重点内容，对它的研究我们关注了学生的学习起点和生长点，强调教学资源的整合和教学目标层级要求的落实，在一个时间段同时上三节课，对比作用明显、研讨时效性高；课例的研究在基层教学实践中行之有效.每一次磨课和修改体现了认识的深化、对教学内容的去伪存真、对教学活动有意识的审视．而教学反思让我们对活动的整体框架进一步思考：如，我们在哪些地方还可以有突破？如何设计、认识、评价学生活动？如果做文科系列，要怎样的教学设计？如何设问？如何选配例题等．
当然，我们还可以以立体几何、函数、概率、统计等内容开展对其通性、通法的教学研究．这些内容都是高中数学的重要部分，值得老师们认真探讨；
    总之，我们可以以新课程实施过程中教师遇到的各种具体问题为研究对象，开展教学研究，通过共同切磋、相互学习，促进了教师专业化水平的提高，实现了团队可持续发展，产生了积极的教科研效果．