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倍数和因数”教学中主题图的运用

作者:高邮实验小学 徐宏臻   录入时间:2014-8-1  阅读次数:463

教材中的主题图是一种重要的教学资源，是编者经过反复斟酌、精心挑选才确定的，承载着丰富的教育功能和发展功能。同时，主题图也拉近了数学与生活、数学与学生的距离，便于学生直观地理解数学，体验数学，进而亲近数学。在教学中，教者本该重视主题图的“原型启发”和“根基”作用，但笔者发现，部分教师没有深入挖掘主题图的丰富内涵，没有充分发挥主题图的独特价值，只把主题图作为“敲门砖”，引入新的数学内容后很亏就丢弃了，致使主题图的功能大打折扣。如何充分彰显主题图的价值，让主题图为学生的数学理解服务呢？下面以苏教版四年级下册“倍数和因数”教学中的主题图为例，谈谈笔者的一些想法和做法。
此课的教学大多是：在课始引进教材中的主题图，引出乘法算式，或让学生用12个同样大的正方形拼一个长方形，或观察课件演示的拼摆过程，从而得出3道不同的乘法算式：4×3=12，6×2=12，12×1=12。接着，就把主题图丢弃在一边，指着其中一道乘法算式介绍“倍数和因数”的意义，说明哪个数是哪个数的倍数（或因数），让学生模仿说，并迁移到另外两道算式中。在找一个数的倍数时，仍把主题图弃置一边，让学生用乘法口诀找一个数的1倍、2倍、3倍……各是多少。根据多个数的倍数的特点，运用不完全归纳法得到一个数倍数的特征。在找一个数的因数时，也是丢弃主题图，让学生根据乘法（或除法）算式找因数，根据多个数的因数的特点，运用不完全归纳法得到一个数因数的共同特征。教者大多割裂所学知识与主题图的关系，只让学生机械地记忆和运用、抽象和概括，得出干瘪的数学结论。笔者不禁要问：这里的主题图难道只是为了引出乘法算式，以便介绍“倍数和因数”的意义吗？如果是这样，为什么不直接出示几道乘法算式，或改用其他主题图，而偏偏选用这样的主题图呢？
笔者认为：可能是教师没有仔细揣摩编者的意图，没有充分理解主题图的价值，没有真正站在学生的角度和知识的编排体系中看待此图，导致主题图的作用远没有发挥好。学生似乎在玩枯燥的数字游戏。不仅如此，笔者还发现，学生在刚开始学习的时候，特别是在单独学习找一个数的倍数或因数时，似乎都会了，但当把两者放在一起时就混淆了，没过多久几乎都忘了。问题究竟出在哪儿？笔者认为，主要有三个方面：
一是没有切实尊重儿童的思维特点。小学生的思维正处在由具体形象思维为主逐步向以抽象逻辑思维为主的过渡阶段，其抽象思维水平在很大程度上依赖于形象或表象的支撑。可以这样说，动作思维、形象思维和表象思维在儿童思维中占有很大的比重，过早地抽象反而会增加学生理解的难度和记忆的负担，会挫伤学生学习的积极性。显然，学生建立倍数和因数的概念必须先积累大量的直观感知，然后才可能进行抽象。若不能以丰富的形象或表象作支撑，概念的建立就成为无源之水、无本之木。为此，教师必须尊重儿童的认知规律，站在学生的角度设计教学过程。
二是没有准确理解教材的编排意图。这部分知识属于“数论”内容，相当抽象。教过老教材的教师都知道，老教材是先教学“整除”的意义，再教学倍数和因数的意义，而且纯粹是对着整除算式给倍数和因数下定义，导致学生理解起来十分费劲，运用起来更困难。课改之后，不再单独教学“数的整除”，而是从乘法算式引出倍数和因数，结合实际情境教学相关概念，让学生通过操作具体理解相关概念的意义。并且，还把相关知识分散教学，大大降低了部分知识的教学要求，这样大大降低了学生理解知识的难度，便于学生理解和掌握。为此，教师要尊重教材所作的变动，从教材的编排体系、知识的纵横联系和促进学生达成数学理解等角度领悟编者的意图。
三是没有落实新课程的基本理念。《义务教育数学课程标准（2011年版）》要求数学教学内容“重视过程，要求处理好过程和结果的关系；重视直观，要求处理好直观和抽象的关系；重视直接经验，要求处理好直接经验和间接经验的关系”，重视发展学生的理解、数感、几何直观和等。教材编排的主题图充分体现了这些基本理念，教学时要有效地落实在教学过程之中。为此，教师要从落实新课程基本理念的角度出发，理解教材的编排意图，挖掘主题图的教育价值，改进教学行为，从而全面发挥主题图的作用。
教学如何改进？笔者认为，关键是运用几何直观，建构概念意义，逐步抽象概括，为促进理解而教。具体做法是：
一，用图理解规定。笔者先让学生人人动手操作，在拼摆图形的过程中强化感知，丰富体验。之后引导学生讨论：拼成的长方形的长或宽可以是0吗？为什么？学生很自然地发现：不能是0，因为至少要摆一排，否则就摆不出长方形；每排摆的个数相当于长方形的长，摆的排数相当于长方形的宽，必须都是非0自然数，小数和分数都不行，否则就不是12个完整的正方形了，从而借助借助直观有意义地理解和接受了“0除外的自然数”这一规定。
此外，作为教师还必须明白，这里的“倍数”与学生在二年级下册学习的“倍”既有联系，又有区别。二年级学习的“倍”是指两个数之间的倍比关系，那两个数可以是整数、小数或分数，而且商也可以是整数、小数或分数，但这里的“倍数”只包括两个整数之间的倍比关系，而且商必须是整数，没有余数。
二，用图理解概念。在得出三道乘法算式后，笔者引导学生对照相应的拼图揭示“倍数和因数”的意义，进行意义建构。如对照4×3=12和拼图，说明：12是4的倍数，12也是3的倍数，4和3都是12的因数。并让学生看图感悟到，这里的“4”是每排摆的个数，相当于长方形的“长”，“3”是摆的排数，相当于长方形的“宽”，“12”是两者的乘积，相当于长方形的“面积”。笔者还引导学生逐步把图“印”在脑中，从而说出哪个数是哪个数的倍数（或因数）。同样，在教学根据6×2=12、12×1=12说关系时也如此，并引导学生逐步根据相应的拼图表象说关系，为向抽象思维发展铺路架桥。在此基础上，再让学生根据一道乘法算式想象拼图说出关系，最后过渡到直接看着乘法算式说关系。
三，用图建构模型。笔者让学生通过操作或看图感悟到，找一个数的倍数，其实就是用小正方形摆大长方形，只要把每排摆的个数，即长方形的“长”摆成这个数，根据摆的排数，即长方形的“宽”，算出总个数，即长方形的“面积”而已，从而根据概念的意义，建构找的方法模型。如找3的倍数，就是先每排摆3个，摆1排，即3×1=3；接着摆两排，即3×2=6；再摆3排，即3×3=9；依此类推……

这样便于学生发现：3 的最小倍数必定是3×1=3，即它本身，3没有最大的倍数，3的倍数的个数是无限的……同样，在分别找2、5等数的倍数时，也启发学生先在脑中拼图，经历上述过程，再找出各自的倍数。最后，归纳出找任意一个数的倍数的方法，即从这个数的1倍开始找起，分别找它的2倍、3倍……这样，在归纳时，学生就很自然地发现并理解一个数倍数的特征：一个数最小的倍数必定是它本身，没有最大的倍数，一个数倍数的个数是无限的。
类似地，笔者让学生通过操作或看图感悟到，找一个数的因数，其实就是根据小正方形的总个数，即“面积”，分别找每排摆的个数，即长方形的“长”；找摆的排数，即长方形的“宽”，从而根据概念的意义，建构找的方法模型。如，找36的所有因数，其实就是根据小正方形一共有36个，即“面积”是36，分别找长方形的“长”和“宽”。

即可以根据（ ）×（ ）=36，找出36的因数。为了培养学生有序思考的意识，笔者引导学生先从摆一排开始，即“宽”是1，思考每排可摆几个，即“长”是几，得到36的因数有1和36；接着，摆两排，即“宽”是2，思考每排可以摆几个，于是得到36的因数有2和18；接着，摆3排，即“宽”是3，思考每排可摆几个，即“长”是几，于是得到36的因数有3和12……这样便于学生发现可以成对地找36的因数，36的最小因数必定是1，最大因数必定是它本身，它的因数的个数必定是有限的。同样，在分别找15、16等数的因数时，也让学生在脑中摆图，找出各自的因数。经历上述过程之后，在归纳时，学生就很自然地发现和理解一个数因数的特征：一个数最小的因数必定是1，最大的因数必定是它本身，一个数因数的个数是有限的。并且还有其他发现。
上述教学过程，充分发挥了主题图的“原型”启发和支撑作用，利于学生直观地理解“倍数和因数”，发现找一个数的倍数和因数的方法，体会和理解一个数倍数和因数的特征，培养几何直观，感悟数学模型思想。同时，这样教学也便于学生运用相关的知识解决实际问题，与后续相关知识的教学相衔接，比如，可以用若干个小正方形能不能摆成多个长方形，来体会素数与合数的意义。
总之，如果仅仅将教材主题图作为新知教学的“敲门砖”，常常可能削弱主题图的内在教育价值。为了充分发挥主题图的作用，教师首先要深入研读教材，全面地了解和研究学生，充分认识主题图的意义和价值；其次，要具有较好的几何直观课程意识，适当放缓抽象的脚步，架起由形象思维到抽象思维的桥梁，从而让主题图为学生理解和运用数学知识服务，为知识的生长和发展服务，为数学思想的感悟和数学基本活动经验的积累服务。